2015年北京高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

1、2015年北京高考理科數(shù)學(xué)真題及答案本試卷共5頁，150分考試時長120分鐘考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1復(fù)數(shù)ABCD【答案】A【解析】i（2i）12i【難度】容易【難度】容易【點評】本題考查復(fù)數(shù)的計算。在高二數(shù)學(xué)（理）強化提高班下學(xué)期，第四章復(fù)數(shù)中有詳細講解，其中第02節(jié)中有完全相同類型題目的計算。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對復(fù)數(shù)相關(guān)知識的總結(jié)講解。2若，滿足則的最大值為A0B1CD2【答案】D【解析】可行域如圖所示目

2、標直線的斜率為，易知在（0，1）處截距取得最大值，此時z4【難度】容易【點評】本題考查分段函數(shù)值域求解。在高一數(shù)學(xué)強化提高班上學(xué)期課程講座1，第二章函數(shù)有詳細講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對函數(shù)相關(guān)知識的總結(jié)講解。3執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為ABCD【答案】B【解析】程序運行過程如下表所示x10-2-4y1220k0123s0-2-4t22故輸出結(jié)果為（4，0）【難度】容易【點評】本題算法初步。在高二數(shù)學(xué)（理）強化提高班上學(xué)期，第一章算法初步有詳細講解，其中第02講有完全相似的題目。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對程序框圖題目相關(guān)的總結(jié)講解。4設(shè)，是兩個不同的平面，

3、是直線且“”是“”的A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】兩平面平行，則一平面內(nèi)的任意一條直線與另一平面平行，故“”是“”的必要條件若“”，“”不一定成立，反例如下圖所示【難度】容易【點評】本題考查立體幾何中點到直線的距離問題。在高一數(shù)學(xué)強化提高班下學(xué)期課程講座1，第一章立體幾何有詳細講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對立體幾何相關(guān)知識的總結(jié)講解。5某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是A B C D5【答案】C【解析】例題圖形如下圖所示：過P點做AB的垂線交AB于點D，所以表面積【難度】容易【點評】本題考查圓的綜合知識。在高

4、一數(shù)學(xué)強化提高班下學(xué)期課程講座2，第三章圓錐曲線與方程有詳細講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班、百日沖刺班中均有對圓橢圓、雙曲線、拋物線相關(guān)知識的總結(jié)講解，同時高清課程平面解析幾何專題也有圓的專題講解。6設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是A若，則 B若，則C若，則 D若，則【答案】C【解析】當(dāng)d0， a1a3（a2d）（a2d）a22d2 a22a22d2 【難度】容易【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)。在高一數(shù)學(xué)強化提高班下學(xué)期課程講座2，第二章數(shù)列有詳細講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對數(shù)列相關(guān)知識的總結(jié)講解。7如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是A BC D【答案】C【解析

5、】如圖，x1時，f（x）log2（x1） f（x）log2（x1）解集為（1，1，需要注意，log2（x1）定義域不包含1，故選C【難度】一般【點評】本題考查分段函數(shù)值域求解。在高一數(shù)學(xué)強化提高班上學(xué)期課程講座1，第二章函數(shù)有詳細講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對函數(shù)相關(guān)知識的總結(jié)講解。8汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況. 下列敘述中正確的是A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D某城市機動車最高限速80千米

6、/小時. 相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D【解析】A問的是縱坐標最大值B消耗1升油甲走最遠，則反過來路程相同甲最省油C此時甲走過了80千米，消耗8升汽油D80km/h以下丙“燃油效率”更高，更省油所以選擇D【難度】一般【點評】本題考查概率、期望、方差的計算。在高二數(shù)學(xué)（理）強化提高班下學(xué)期，第六章概率有詳細講解，其中第04講主要講解“高考中的概率題”，有完全相似題目的講解。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對概率相關(guān)知識的總結(jié)講解。第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9在的展開式中，的系數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】中的項為所以系數(shù)為

7、40【難度】容易【點評】本題考查二項式的意義。在高一數(shù)學(xué)強化提高班上學(xué)期課程講座1，第九章排列、組合、二項式有詳細講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對概率、排列、組合相關(guān)知識的總結(jié)講解，同時包含概率與立體幾何相結(jié)合的綜合題目。10已知雙曲線的一條漸近線為，則【答案】【解析】漸近線為所以有，有雙曲線的方程得b1，且a0.所以 【難度】容易【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程。在高二數(shù)學(xué)（理）強化提高班，第六章圓錐曲線與方程中有詳細講解，其中在第02講有相似題目的詳細講解。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對圓錐曲線相關(guān)知識的總結(jié)講解。11在極坐標系中，點到直線的距離為【答案】1【解析】點

8、對應(yīng)的直角坐標系為點，極坐標方程對應(yīng)的直角坐標方程為，根據(jù)點到直線的距離公式12在中，則【答案】1【解析】由余弦定理可得由正弦定理和二倍角公式可得，【難度】一般【點評】本題考查解三角形及三角函數(shù)綜合題。在高一數(shù)學(xué)強化提高班下學(xué)期課程講座2，第一章解三角形應(yīng)用問題有詳細講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對解三角形相關(guān)知識的總結(jié)講解。13在中，點，滿足，若，則；【答案】【解析】【難度】中等【點評】本題考查向量的計算問題。在高一數(shù)學(xué)強化提高班上學(xué)期課程講座1，第六章平面向量有詳細講解，其中第01講，有向量計算問題的專題講解。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對向量相關(guān)知識的總結(jié)講解，在百日

9、沖刺班有向量與三角函數(shù)綜合類型題目的講解。14設(shè)函數(shù)若，則的最小值為；若恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是【答案】 1； 1/2a1或a2【解析】當(dāng)a1時，14（x1）（x2）4（x1.5）211當(dāng)x1.5時最小為1 若函數(shù)在x1時與x軸有一個交點，所以a0，并且當(dāng)x1時，所以0a2，函數(shù)有一個交點，所以2a1且a1，所以1/2a1若函數(shù)與x軸沒有交點，有兩個交點，當(dāng)a0，h（x）與x軸無交點，g（x）無交點，所以不滿足題意（舍）；當(dāng)h（1）2a時，a2，g（x）的兩個交點為x1a，x22a都是滿足題意的，綜上所述，a的取值范圍是1/2a1或a2【難度】一般【點評】本題考查分段函數(shù)值域求解。在高

10、一數(shù)學(xué)強化提高班上學(xué)期課程講座1，第二章函數(shù)有詳細講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對函數(shù)相關(guān)知識的總結(jié)講解。三、解答題（共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15（本小題13分）已知函數(shù)() 求的最小正周期；() 求在區(qū)間上的最小值【答案】【解析】（1） f（x）的最小周期T2/12（2） x0 在區(qū)間上的最小值為【難度】容易【點評】本題考查分段函數(shù)值域求解。在高一數(shù)學(xué)強化提高班上學(xué)期課程講座1，第二章章函數(shù)有詳細講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對函數(shù)相關(guān)知識的總結(jié)講解。16（本小題13分），兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄

11、如下：組：10，11，12，13，14，15，16組：12，13，15，16，17，14，假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨立，從，兩組隨機各選1人，組選出的人記為甲，組選出的人記為乙() 求甲的康復(fù)時間不少于14天的概率；() 如果，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；() 當(dāng)為何值時，兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）；（2）；（3）a11或a8.【解析】（1）（2）當(dāng)a25時，假設(shè)乙的康復(fù)時間為12天，則符合題意的甲有13天、14天、15天、16天共4人；乙的康復(fù)時間為13天，則符合題意的甲有14天、15天、16天共3人；乙的康復(fù)時間為14天，則符合題意的甲有15天

12、、16天共2人；乙的康復(fù)時間為15天，則符合題意的甲有16天共1人；乙的康復(fù)時間為其他值時，由于甲的最大康復(fù)時間為16天，均不合題意所以符合題意的甲、乙選擇方式共：432110種所有甲、乙組合情況共因為任何組合情況都是等可能的，故（3）a11或a8.根據(jù)數(shù)據(jù)平移和調(diào)整順序不影響方差易得【難度】中等【點評】本題考查概率、期望、方差的計算。在高二數(shù)學(xué)（理）強化提高班下學(xué)期，第六章概率有詳細講解。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對概率相關(guān)知識的總結(jié)講解。17（本小題14分）如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，平面平面，為的中點() 求證：；() 求二面角的余弦值；() 若平面，求的值【答案】【解析】

13、（1） AEF是等邊三角形，O為EF的中點 AOEF又 平面AEF平面EFCB，且平面AEF平面EFCBEF AO平面EBCF AOBE（2）取CB的中點D，連接OD如圖分別以O(shè)E，OD，OA為x，y，z軸建立直角坐標系設(shè)平面AEF的法向量為平面AEB的法向量所以所以FAEB二面角的余弦值因為FAEB二面角為鈍二面角，所以余弦值為（3）由（1）知AO面FEBC AOBE若BE平面AOC僅需BEOC由（2）得，解得a2（舍）或【難度】中等【難度】較難【點評】本題考查立體幾何中垂直關(guān)系的證明及計算二面角等。在高一數(shù)學(xué)強化提高班下學(xué)期課程講座2，第四章立體幾何，高二數(shù)學(xué)（理）強化提高班上學(xué)期，第七章

14、空間向量與立體幾何有詳細講解，有完全相似的題目剖析。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班、寒假特訓(xùn)班中有對立體幾何相關(guān)知識的總結(jié)講解。18（本小題13分）已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：當(dāng)時，；（）設(shè)實數(shù)使得對恒成立，求的最大值【答案】【解析】（1），x（1，1），所以切線方程為y2x（2）原命題等價于設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)F（x）在上是單調(diào)遞增的，因此（3） ，函數(shù)是單調(diào)遞增，顯然成立當(dāng)k2時，令x（0，x0）x0（x0，1）t（x）0t（x）極小值，顯然不成立由此可知k的最大值為2【難度】稍難【點評】本題考查分段函數(shù)值域求解。在高一數(shù)學(xué)強化提高班上學(xué)期課程講座1，第二章函數(shù)有詳細講解

15、，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班中有對函數(shù)相關(guān)知識的總結(jié)講解。19（本小題14分）已知橢圓：的離心率為，點和點都在橢圓上，直線交軸于點（）求橢圓的方程，并求點的坐標（用，表示）；（）設(shè)為原點，點與點關(guān)于軸對稱，直線交軸于點問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由【答案】【解析】橢圓過， b21離心率 橢圓方程為 直線PA的方程為，直線PA與x軸交于M，令y0，則 （2） 直線PB的方程為，直線PB與x軸交于N，令y0，則 設(shè)Q（0，y0） ， 存在點，使【難度】稍難【點評】本題考查在拋物線的簡單性質(zhì)。在高一數(shù)學(xué)強化提高班下學(xué)期課程講座2，第三章圓錐曲線與方程有詳細講解

16、，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強化提高班、百日沖刺班中均有對圓錐曲線、解三角形相關(guān)知識的總結(jié)講解。20（本小題13分）已知數(shù)列滿足：，且記集合（）若，寫出集合的所有元素；（）若集合存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)；（）求集合的元素個數(shù)的最大值【答案】（1）M6，12，24；（2）略；（3）8【解析】（1）a16，a212，a324，a42243612，M6，12，24（2）用反證法證明a1是3的倍數(shù)否則若a1不是3的倍數(shù)，用歸納法證明所有的an都不是3的倍數(shù)n1時，a1不是3的倍數(shù)，假設(shè)nk時，ak不是3的倍數(shù)，對于nk1，ak12ak或2ak36都不是3的倍數(shù)，則所有的an都不

17、是3的倍數(shù)，這與an中存在一個數(shù)是3的倍數(shù)矛盾因此a1是3的倍數(shù)，于是a22a1或2a136是3的倍數(shù)，以此類推，所有的an都是3的倍數(shù)（3）M的元素個數(shù)的最大值為8首先，M中的元素都不超過36，由a136，易得a236，類似可得an36其次，M中的數(shù)最多除了前面兩個數(shù)外，都是4的倍數(shù)因為第二個數(shù)肯定是偶數(shù)，由an定義可知第三個數(shù)及其后面的數(shù)肯定是4的倍數(shù)再次，M中的數(shù)除以9的余數(shù)，由定義式可知，an1與2an除以9的余數(shù)一樣 若an中有3的倍數(shù)，由（2）可知，所有的an都是3的倍數(shù)，所以，an除以9的余數(shù)為3，6，3，6，或者6，3，6，3，或0，0，0，而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12，除以9余6且是4的倍數(shù)只有24，除以9余0且是4的倍數(shù)只有36，則M中的數(shù)從第三項起最多2項，加上前面兩項最多4項an中沒有3的倍數(shù)，則an都不是3的倍數(shù)，對于a3除以9的余數(shù)，只能是1，4，7，2，5，8中的一個，從a3起，an除以9的余數(shù)，只能是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，不斷6項循環(huán)的（可能是從2，4