2分子對稱性和群論初步

1、第一章 分子對稱性和群論初步 對稱操作：對稱操作：如果某種變換能引起一種不能區(qū)分的分子取向，那么這種變換就是一種“對稱操作對稱操作”，對稱元素：對稱元素：借以實(shí)現(xiàn)對稱操作的該分子上的點(diǎn)、線或面被稱為“對稱元素對稱元素”。一、 對稱元素與對稱操作1.定義定義 對稱性：對稱性：如果分子各部分能夠進(jìn)行互換，而分子的取向沒有產(chǎn)生可以辨認(rèn)的改變，這種分子就被說成是具有對稱性對稱性。（1） 恒等元素 和恒等操作 )(E)(E（2）對稱軸 和旋轉(zhuǎn)操作 )(nC)(nCs（3）對稱面 和反映操作 s（4）對稱中心 和反演操作 )(i)(i（5）象轉(zhuǎn)軸 和旋轉(zhuǎn)反映操作 )(nS)(nS旋轉(zhuǎn)是真操作旋轉(zhuǎn)是真操作,

2、 可直接實(shí)現(xiàn)，其它對稱操作為虛操作，在想象中實(shí)現(xiàn)。可直接實(shí)現(xiàn)，其它對稱操作為虛操作，在想象中實(shí)現(xiàn)。恒等操作是所有分子幾何圖形都具有恒等操作是所有分子幾何圖形都具有 的，其相應(yīng)的操作是對分子施行這種的，其相應(yīng)的操作是對分子施行這種對稱操作后，分子保持完全不動，即對稱操作后，分子保持完全不動，即分子中各原子的位置及其軌道的方位分子中各原子的位置及其軌道的方位完全不變。完全不變。（1） 恒等元素 和恒等操作 )(E)(E恒等操作恒等操作（2）對稱軸 和旋轉(zhuǎn)操作 )(nC)(nC單重（次）軸單重（次）軸 p/1p/1q q2= =)(2C二重（次）軸二重（次）軸三重（次）軸三重（次）軸n重（次）軸重（

3、次）軸np pq q2= =3p pq q2= =2p pq q2= =)(1C)(3C)(nC對稱軸對稱軸即一條特定的直線，其相應(yīng)的操作是把分子圖形以直線為軸旋轉(zhuǎn)某個角度q（=2p/n），能產(chǎn)生分子的等價(jià)圖形。按照能使分子完全復(fù)原時(shí)繞軸旋轉(zhuǎn)的最少次數(shù)，可將對稱軸分為：C2C3分子中可能含有分子中可能含有n個對稱軸，個對稱軸，n值最大的為主軸（對應(yīng)的角稱值最大的為主軸（對應(yīng)的角稱為基轉(zhuǎn)角），其它為副軸（非主軸），如為基轉(zhuǎn)角），其它為副軸（非主軸），如BF3。（2）對稱軸 和旋轉(zhuǎn)操作 )(nC)(nCCn旋轉(zhuǎn)軸能生成n個旋轉(zhuǎn)操作，記為：操作定義操作定義,nC,1Cnn,2CnECnn= 若取逆時(shí)

4、針方向的旋轉(zhuǎn)為正操作，表示為 ，則順時(shí) 針 旋 轉(zhuǎn) 為 逆 操 作 ， 表 示 為 ， 不 難 理解 。CknCknCknnCkn)(=對稱操作連續(xù)作用能使分子圖形完全復(fù)原的最少次數(shù)。Cn軸產(chǎn)生n個旋轉(zhuǎn)操作的周期均為n。操作的周期操作的周期（2）對稱軸 和旋轉(zhuǎn)操作 )(nC)(nC對稱元素對稱元素: 旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸C2對稱操作對稱操作: 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)H2O2中的中的C2NH3中的C3軸SF6中的中的C4軸軸Fe(C5H5)2中的C5軸C6H6中的C6軸N2中的C軸相當(dāng)于一個鏡面，把分子圖形分成兩個完全相等的對稱相當(dāng)于一個鏡面，把分子圖形分成兩個完全相等的對稱部分，兩部分之間互為鏡中映象；對稱面所相應(yīng)

5、的對稱部分，兩部分之間互為鏡中映象；對稱面所相應(yīng)的對稱操作是鏡面的一個反映，在對稱面的反映操作下，分子操作是鏡面的一個反映，在對稱面的反映操作下，分子圖形相等的兩部分互相交換位置，相同性質(zhì)的點(diǎn)（同類圖形相等的兩部分互相交換位置，相同性質(zhì)的點(diǎn)（同類原子）彼此置換。顯然，反映操作的周期為原子）彼此置換。顯然，反映操作的周期為2，即：，即：s（3）對稱面 和反映操作 s對稱面對稱面E2=s2面：包含主軸vs對稱面對稱面 面：包含主軸且平分相鄰 軸夾角 面：垂直于主軸hsdsCs（3）對稱面 和反映操作 s按照對稱面和主軸的關(guān)系，對稱面可以分為：VerticalHorizontalDiagonal o

6、r Dihedral 對稱面與對稱軸關(guān)系示意圖對稱面與對稱軸關(guān)系示意圖 2個v，彼此垂直相交，交線為C23個v，彼此成120相交，交線為C36個d，互成30相交，交線為C6，還有一個與C6垂直的h個v，交線為C（無對稱中心的線型分子）個v，交線為C，還有一個垂直于的C的h （具有對稱中心的線型分子）分子圖形具有一個中心點(diǎn)，對于分子中任何一個原子分子圖形具有一個中心點(diǎn)，對于分子中任何一個原子來說，在中心點(diǎn)的另一側(cè)，必能找到一個同它相對應(yīng)來說，在中心點(diǎn)的另一側(cè)，必能找到一個同它相對應(yīng)的同類原子；互相對應(yīng)的兩個原子和中心點(diǎn)同在一條的同類原子；互相對應(yīng)的兩個原子和中心點(diǎn)同在一條直線上，且到中心點(diǎn)距離相

7、等。這個中心點(diǎn)即是對稱直線上，且到中心點(diǎn)距離相等。這個中心點(diǎn)即是對稱中心。中心。（4）對稱中心 和反演操作 )(i)(i對稱中心的反演操作，能使分子中各相互對應(yīng)的原子對稱中心的反演操作，能使分子中各相互對應(yīng)的原子彼此交換位置。即分子圖形中任意一個原子的位置彼此交換位置。即分子圖形中任意一個原子的位置A(x,y,z)將反射到點(diǎn)將反射到點(diǎn)A(-x,-y,-z)，同時(shí)，同時(shí)A點(diǎn)將反射到點(diǎn)將反射到A點(diǎn)，點(diǎn)，從而產(chǎn)生分子的等價(jià)圖形。從而產(chǎn)生分子的等價(jià)圖形。示意圖示意圖.exe=)( i)(為奇數(shù)為偶數(shù)nnEin對分子圖形若連續(xù)反演n次，可以滿足：如果分子圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一定角度后，再作垂直此軸的鏡面反映，可

8、以產(chǎn)生分子的等價(jià)圖形，則將該軸和鏡面組合所得到的對稱元素稱為nhhnnCCSss=（5）象轉(zhuǎn)軸 和旋轉(zhuǎn)反映操作 )(nS)(nS象轉(zhuǎn)軸象轉(zhuǎn)軸在分子中，若獨(dú)立存在一個Cn軸和一個垂直于它的對稱面sh，則分子必然存在Sn軸且 ；然而，當(dāng)分子中既不存在Cn，也不存在垂直于Cn的sh時(shí)，Sn軸往往存在。=hSs1如反式二氯乙烯分子, Z軸是C2軸, 且有垂直于Z軸的鏡面，因此Z軸必為S2，此時(shí)的S2不是獨(dú)立的。而Y軸不是C2軸, 且沒有垂直于Y軸的鏡面, 但Y軸方向滿足S2對稱性，此時(shí)的S2是獨(dú)立的。若連續(xù)操作兩次，分子圖形完全復(fù)原，在該分子中，反演i和S2操作是等價(jià)的。sZxY2獨(dú)立：可以通過其它對

9、稱元素或組合來產(chǎn)生。CH4中的象轉(zhuǎn)軸中的象轉(zhuǎn)軸S4與旋轉(zhuǎn)反映操作與旋轉(zhuǎn)反映操作注意注意: C4和與之垂直的和與之垂直的都不獨(dú)立存在都不獨(dú)立存在1111222233334444旋轉(zhuǎn)90反映補(bǔ)充：反軸（In）和旋轉(zhuǎn)反演操作 )(nI如果分子圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一定角度（=2/n）后，再按軸上的中心點(diǎn)進(jìn)行反演，可以產(chǎn)生分子的等價(jià)圖形，則將該軸和反演組合所得到的對稱元素稱為iCCiInnn=反反 軸軸120具有反軸I3的分子（完全交叉式的C2H6）反軸和象轉(zhuǎn)軸是相通的，對它們只選擇一種即可。通常對分子的對稱性用Sn較多，對晶體對稱性則采用In。Example如果一個操作產(chǎn)生的結(jié)果和兩個或多個其它操如果一個操作

10、產(chǎn)生的結(jié)果和兩個或多個其它操作連續(xù)作用的結(jié)果相同，通常稱這一操作為其作連續(xù)作用的結(jié)果相同，通常稱這一操作為其它操作的乘積。它操作的乘積。對對 稱稱 操操 作作 的的 乘乘 積積分子具有 等對稱操作，若其中某些操作滿足于關(guān)系 ，即對分子先后施行 和 操作，其結(jié)果相當(dāng)于對分子單獨(dú)施行 操作，則稱 為 和 的乘積（操作次序先右后左先右后左）。如果 則稱對稱操作A和B是可交換的。D,C,B,ACBA=BACCBACABBA=例如例如, ,先作二重旋轉(zhuǎn)，再對垂直先作二重旋轉(zhuǎn)，再對垂直于該軸的鏡面作反映，等于對于該軸的鏡面作反映，等于對軸與鏡面的交點(diǎn)作反演。軸與鏡面的交點(diǎn)作反演。兩個或多個對稱操作兩個或多

11、個對稱操作的結(jié)果，等效于某個的結(jié)果，等效于某個對稱操作。對稱操作。對稱操作的乘積示意圖對稱操作的乘積示意圖 分子可以按 “點(diǎn)群”或“對稱群”加以分類。2.2.分子點(diǎn)群的確定分子點(diǎn)群的確定2.1無軸群：無軸群：1)C1點(diǎn)群：只包含點(diǎn)群：只包含C1旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸2)Cs點(diǎn)群：點(diǎn)群：C1 + s s3)Ci點(diǎn)群：點(diǎn)群：C1+i 在一個分子上所進(jìn)行的對稱操作的完全組合構(gòu)成一個“點(diǎn)群”或“對稱群”。 點(diǎn)群具有一定的符號:如C2、C2v、D3h、Oh、Td等。2.2線性分子連續(xù)群 1) Cv:無對稱中心的線性分子 2) Dh有對稱中心的分子2.3軸向群 1)Cn群：分子中只有一個n重軸22OHCn群群=nv

12、vvnnnnnvCCCECsss,2112群中有 軸，還有通過 軸的n個對稱面，共2n個元素。nCnC點(diǎn)群示例點(diǎn)群示例點(diǎn)群表示點(diǎn)群表示vC33NHvCCOvC2222ClHC2). Cnv群群vC3群中含有一個群中含有一個Cn軸，還有一個垂直于軸，還有一個垂直于Cn軸軸h面面點(diǎn)群示例點(diǎn)群示例64HC2hC3). Cnh群2.4 二面體群在 群的基礎(chǔ)上，加上n個垂直于主軸 的二重軸2CnCnCDHC362部分交錯式的(右圖中紅色的軸為C3，藍(lán)色的軸為C2)1). Dn群群 唯一的唯一的C3旋轉(zhuǎn)軸從旋轉(zhuǎn)軸從xyz軸連軸連成的正三角形中心穿過成的正三角形中心穿過, 通向通向Co;xyz C3C2C2

13、C2三條三條C2旋轉(zhuǎn)軸分別從每個旋轉(zhuǎn)軸分別從每個NN鍵中心穿過通向鍵中心穿過通向Co。D3：這種分子比較少見，其對稱元素也不易看出。：這種分子比較少見，其對稱元素也不易看出。 Co(NH2CH2CH2NH2)33+是一實(shí)例。是一實(shí)例。hD242HC在在Dn群的基礎(chǔ)上，加上一個垂直于群的基礎(chǔ)上，加上一個垂直于Cn軸的鏡軸的鏡面面s sh，就得到，就得到Dnh群，它有群，它有4n個群元素。個群元素。點(diǎn)群示例點(diǎn)群示例點(diǎn)群定義點(diǎn)群定義2). Dnh群群D4hD6hD3hD4hDhD5h在在Dn群的基礎(chǔ)上，加上一個通過群的基礎(chǔ)上，加上一個通過Cn軸又平分相鄰兩軸又平分相鄰兩個個C2軸夾角的對稱面軸夾角的

14、對稱面d，就得到，就得到Dnd群。群。dD243HC點(diǎn)群示例點(diǎn)群示例點(diǎn)群定義點(diǎn)群定義3).Dnd群群D3d交錯式C2H6點(diǎn)群示例點(diǎn)群示例Dnd群群D3d交錯式C2H6TaF83- D5d : 交錯型二茂鐵交錯型二茂鐵俯視圖俯視圖S8分子為皇冠型構(gòu)型，屬分子為皇冠型構(gòu)型，屬D4d點(diǎn)群，點(diǎn)群，C4旋轉(zhuǎn)軸位于旋轉(zhuǎn)軸位于皇冠中心?；使谥行?。4個個C2軸分別穿過軸分別穿過S8環(huán)上正對的環(huán)上正對的2個個S原原子，子，4個垂直平分面把皇冠均分成八部分。個垂直平分面把皇冠均分成八部分。 S8 只有S4是獨(dú)立的點(diǎn)群。例如：1,3,5,7-四甲基環(huán)辛四烯，有一個S4映轉(zhuǎn)軸，沒有其它獨(dú)立對稱元素。2.5 假軸向群假

15、軸向群 Sn群群Sn：有一個n重象轉(zhuǎn)軸，須考慮n的奇偶性。n為偶數(shù)時(shí)，群中有n個元素，n為奇數(shù)時(shí)，Sn不獨(dú)立存在。S2S4若一個若一個四面體骨架四面體骨架的分子，存在的分子，存在4個個C3軸，軸，3個個C2軸，同時(shí)每軸，同時(shí)每個個C2軸還處在兩個互相垂直的平面軸還處在兩個互相垂直的平面s sd的交線上，這兩個平面還的交線上，這兩個平面還平分另外平分另外2個個C2軸（共有軸（共有6個這樣的平面）則該分子屬個這樣的平面）則該分子屬Td對稱性。對稱性。對稱操作為對稱操作為E，3C2，8C3，6S4，6sd共有共有24階。階。四面體四面體CH4、CCl4對稱性屬對稱性屬Td群，一些含氧酸根群，一些含氧

16、酸根SO42-、PO43-等亦是。在等亦是。在CH4分子中，每個分子中，每個C-H鍵方向存在鍵方向存在1個個C3軸，軸，2個氫個氫原子連線中點(diǎn)與中心原子連線中點(diǎn)與中心C原子間是原子間是C2軸，還有軸，還有6個個s sd平面。平面。2.6 六方群六方群 1). Td群群四四面面體體 屬于屬于Oh群的分子有八面體構(gòu)型的群的分子有八面體構(gòu)型的SF6、WF6、Mo(CO)6，立方體構(gòu)型的，立方體構(gòu)型的OsF8、立方烷、立方烷C8H8，還有一，還有一些金屬簇合物對稱性屬些金屬簇合物對稱性屬Oh點(diǎn)群。點(diǎn)群。 2). Oh群群八八面面體體SF6 立方烷立方烷C8H8 Oh群確定分子是否屬于連續(xù)點(diǎn)群Cv和Dh

17、。首先著眼于分子是否是直線型的；如果是，再看它是否有對稱中心，如果有（如CO2）則分子屬于Dh群；如果沒有中心（如HCN）則分子屬于Cv群。確定分子是否具有大于2的多重旋轉(zhuǎn)軸。若分子具有這種旋轉(zhuǎn)軸（如4個三重軸），則屬立方群。其中四面體構(gòu)型的屬于Td群；八面體構(gòu)型的屬于Oh 群。如果在分子中除恒等元素之外，只有一個對稱面的屬于Cs群；只有一對稱中心的屬Ci群；什么對稱元素都沒有的屬C1群確定分子是否具有象轉(zhuǎn)軸Sn（n為偶數(shù)），如果只存在Sn軸而別無其它對稱元素，這時(shí)分子屬于假軸向群類的Sn群。ThirdFirstSecond3. 分子點(diǎn)群的確定分子點(diǎn)群的確定P276若有一個sd對稱面 屬于Dn

18、d群若有一個sh對稱面 屬于Dnh群若沒有對稱面 屬于Dn群假如分子均不屬于上述各群，而且具有Cn旋轉(zhuǎn)軸時(shí)可進(jìn)行第四步。當(dāng)分子不具有垂直于Cn軸的C2軸時(shí)，則屬于軸向群類。有以下三種可能：當(dāng)分子具有n個垂直于Cn軸的C2軸時(shí)，則屬于二面體群類，并有以下三種可能：若有1個sh對稱面 屬于Cnh群若有n個sv對稱面 屬于Cnv群沒有對稱面 屬于Cn群FifthForth3. 分子點(diǎn)群的確定分子點(diǎn)群的確定nC軸向群無snvChDnhD起點(diǎn)線型分子有n個大于2的高次軸立方群有i無i無軸群vC正四面體正八面體dThO無CniCsC1C有s有i無 或 si有Sn(n為偶數(shù)，n2)3(n有hsnS有Cnnh

19、C有n個垂直于Cn軸的C2無垂直于Cn軸的C2二面體群有ds有vs有hs沒有snDndDhvCD 3. 分子點(diǎn)群的確定分子點(diǎn)群的確定一些化學(xué)中重要的點(diǎn)群一些化學(xué)中重要的點(diǎn)群點(diǎn)群 對 稱 元 素(未包括恒等元素) 舉例Cs 僅有一個對稱面 ONCl, HOClC1 無對稱性 SiFClBrICn 僅有一根n重旋轉(zhuǎn)軸 H2O2, PPh3Cnv n重旋轉(zhuǎn)軸和通過該軸的鏡面 H2O, NH3Cnh n重旋轉(zhuǎn)軸和一個水平鏡面 反N2F2Cv 無對稱中心的線性分子 CO，HCNDn n重旋轉(zhuǎn)軸和垂直該軸的n根C2軸 Cr(C2O4)33Dnh Dn的對稱元素、再加一個水平鏡面 BF3，PtCl42Dh

20、有對稱中心的線性分子 H2, Cl2Dnd Dn的對稱元素、再加一套平分每一C2軸的垂直鏡面 B2Cl4,交錯C2H6Sn 有唯一對稱元素(Sn映軸) S4N4F4Td 正四面體分子或離子，4C3、3C2、3S4和6sd CH4, ClO4Oh 正八面體分子或離子，3C4、4C3、6C2、6sd、3sh、i SF6Ih 正二十面體，6C5、10C3、15C2及15 B12H122分子h ?Cn ?直線型 ?取最高階Cn T,Th,Td,O,Oh是是否兩個或多個Cn(n3) ?Cvi ?Dh i 是是否否nC2 Cn 是否Cnv是h ?nd ?否Dnh是Dnd否Dn否否Cnh是Cnnv ?S2n

21、?否是S2n ?i ?否否否C1Ci是Cs是分子h ?Cn ?直線型 ?取最高階Cn T,Th,Td,O,Oh是是否兩個或多個Cn(n3) ?Cvi ?Dh是是否否nC2 Cn 是否Cnv是s h ?nd ?否Dnh是Dnd否Dn否否Cnh是Cnnv ?S2n?否是S2n ?i ?否否否C1Ci是Cs是 下面舉例說明分子屬于何種點(diǎn)群的判斷下面舉例說明分子屬于何種點(diǎn)群的判斷BFClBr 一個平面三角形分子，存在一個對稱元素，即分子所在的平面(無主軸,有一個對稱面)，屬于Cs點(diǎn)群。BFClBr SiFClBrI 這個分子除恒等元素E 之 外 ， 既無旋轉(zhuǎn)軸,也無對稱面，也沒有對稱中心，屬于C1點(diǎn)群

22、。SiFClBrI分子h ?Cn ?直線型 ?取最高階Cn T,Th,Td,O,Oh是是否兩個或多個Cn(n3) ?Cvi ?Dh 是是否否nC2 Cn 是否Cnv是s h ?nd ?否Dnh是Dnd否Dn否否Cnh是Cnnv ?S2n?否是S2n ?i ?否否否C1Ci是Cs是NH3 一個角錐形分子，具有一根三重旋轉(zhuǎn)軸，但沒有垂直于該軸的C2 軸，沒有水平鏡面，但有三個通過主軸的垂直面，因而它屬于C3v點(diǎn)群。反反N2O22 離子有平面形的結(jié)構(gòu),有一根對稱軸(垂直于離子平面的C2),沒有映軸, 沒有垂直于對稱軸的C2軸，但有一個水平面，因此屬于C2h點(diǎn)群。CH4 正四面體分子,有四根C3,沒有

23、C4軸, 有旋轉(zhuǎn)反映軸,沒有對稱中心,故屬于Td點(diǎn)群。一些常見結(jié)構(gòu)的無機(jī)分子的點(diǎn)群一些常見結(jié)構(gòu)的無機(jī)分子的點(diǎn)群結(jié)構(gòu) 分子 點(diǎn)群 結(jié)構(gòu) 分子 點(diǎn)群直線型 N2、CO2 Dh 正四面體 CH4 Td CuCl2 Dh 正八面體 SF6 Oh HCl、CO C 夾心化合物彎曲型 H2O C2v 重疊型 Fe(cp)2 DnhT型 ClF3 C2v 交錯型 Fe(cp)2 Dnd三角錐 NH3 C3v 五角雙錐 B7H72 D5h四方錐 TeF5 C4v 加冠八面體 Os7(CO)21 D5h平面型 BF3 D3h 十二面體 B8H82 D2h PtCl42 D4h 加冠三棱柱 B9H92 D3h 環(huán)

24、戊二烯 D5h 加冠四方反棱柱 B10H102 D4d C6H6 D6h 十六面體 B11H112 C2v三角雙錐 PCl5 D3h 正二十面體 B12H122 Ih二、二、 群論群論1.特征標(biāo)特征標(biāo) 群論是系統(tǒng)地研究群的性質(zhì)和應(yīng)用的一門學(xué)科 用“” 表示群。下表示出C2V群的“特征標(biāo)表”將分子置于直角坐標(biāo)系，將分子置于直角坐標(biāo)系，符號不改變符號不改變：指：指f(x,y,z)f(x,y,z)，全對稱，全對稱 函數(shù)符號改變函數(shù)符號改變：指：指f(x,y,z) f(x,y,z) 。 反對稱反對稱分子運(yùn)動：分子運(yùn)動： 平動平動+轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動+振動振動運(yùn)動向量：運(yùn)動向量：x,y,z, Rx,Ry,Rz,

25、V1,V2,V3 3N-6(5)1.1 特征標(biāo)的確定特征標(biāo)的確定 1.操作前后，向量的改變?yōu)榈年P(guān)系，則對特征標(biāo)的貢獻(xiàn)為 2.操作前后，向量的改變?yōu)榈年P(guān)系，則對特征標(biāo)的貢獻(xiàn)為 3.操作前后，轉(zhuǎn)動向量的旋轉(zhuǎn)方向，則對特征標(biāo)的貢獻(xiàn)為 4.操作前后，轉(zhuǎn)動向量的旋轉(zhuǎn)方向，則對特征標(biāo)的貢獻(xiàn)為類似地，將py 、pz 進(jìn)行操作可以得到 E C2 xz yz x x x x x y y y y y z z z z z 特征標(biāo)表 C2v E C2 xz yz B1 1 1 1 1 x B2 1 1 1 1 y A1 1 1 1 1 z E C2 xz yz pz pz pz pz pz py py py py p

26、y特征標(biāo)表 C2v E C2 xz yz A1 1 1 1 1 pz B2 1 1 1 1 py1.2特征標(biāo)的矩陣算法 1.恒等操作： 2.對稱面： 3.旋轉(zhuǎn)軸： 4.對稱中心： 5.象轉(zhuǎn)軸：1.3 分子點(diǎn)群特征標(biāo)的不可約表示 1.不可約表示： E C2 xz yz x x x x x y y y y y z z z z z 特征標(biāo)表 C2v E C2 xz yz B1 1 1 1 1 x B2 1 1 1 1 y A1 1 1 1 1 z 2.不可約表示的符號：Mulliken Rules 1)若分子軌道的簡并度是1維，則以A或B表示；若為2維，則以E表示；若為3維，則以T表示 2)對分子軌

27、道的簡并度是1維的符號，若主軸操作下為全對稱，則以A表示，反對稱以B表示 3.下標(biāo)1或2： 1)若垂直于主軸的C2軸操作下為全對稱，則下標(biāo)以1表示，若為反對稱，則下標(biāo)以2表示。 2)若v平面操作下為全對稱，則下標(biāo)以1表示，若為反對稱，則下標(biāo)以2表示。 4. 上標(biāo)一撇或兩撇： 若h平面操作下為全對稱，則上標(biāo)為一撇，若為反對稱，則為兩撇。 5.下標(biāo) g或u: 若對稱中心操作下為全對稱，則下標(biāo)為g,反之為uC2hEC2ihBasic FunctionAu11-1-1zBu1-1-11x,y Bg1-11-1Rx,RyAg1111Rz1.4群的不可約表示的基本特征 1.群的不可約表示的維數(shù)的平方和=群

28、的階 2.群的不可約表示的特征標(biāo)的平方和=群的階 3.群中兩個不可約表示的特征標(biāo)滿足正交關(guān)系 4.群中不可約表示的數(shù)目等于群的對稱操作的類的數(shù)目C2vEC2xzyzBasic FunctionA11111zA211-1-1RzB11-11-1x, RyB21-1-11y, Rx1.5分子點(diǎn)群的總特征標(biāo)及約化 )2cos(21 )( )2 : , 3)( 1)E1.3N323NmnCnCnmnCinatomsofnumberthetorefersNwherenmNCCnBFOHExampleatomsofnumberthetorefersNwhereNEp=操作操作總特征標(biāo)的確定ssspss , )( 5)013)()4 1)2cos(2)( 3)S3N3N3NinatomsofnumberthetorefersNwhereNNiNiNiiSinatomsofnumberthetorefersNwherenmNSniiimnSnSnmn=操作，無，有操作操作2.總特征標(biāo)的約化操作下，總特征標(biāo)值：標(biāo)值這種不可約表示的特征操作下，某種對稱操作前的系數(shù)群的某種對稱