人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講解第6章《6.1.1-6.1.2-6.1.3平面向量》(含解析)

1、6.1平面向量的概念6.1.1向量的實(shí)際背景與概念6.1.2向量的幾何表示6.1.3相等向量與共線向量學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示(重點(diǎn))2理解共線向量、相等向量的概念(難點(diǎn))3正確區(qū)分向量平行與直線平行(易混點(diǎn))1.從物理背景、幾何背景入手，從矢量概念引入向量的概念，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)2類比實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示，給出向量的幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)3通過(guò)相等向量和平行向量的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).1向量與數(shù)量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量(2)數(shù)量：只有大小沒(méi)有方向的量稱為數(shù)量2向量的幾何表示(1)具有方向的線段叫做有向

2、線段它包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度(2)向量可以用有向線段來(lái)表示向量的大小稱為向量 的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|.向量也可以用字母a，b，c，表示，或用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，例如：，.思考：(1)向量可以比較大小嗎？(2)有向線段就是向量嗎？提示(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小(2)有向線段只是表示向量的一個(gè)圖形工具，它不是向量3向量的有關(guān)概念零向量長(zhǎng)度為0的向量，記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，記作ab規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量向量a與b相等，記作ab1正n邊形有

3、n條邊，它們對(duì)應(yīng)的向量依次為a1，a2，a3，an，則這n個(gè)向量()A都相等B都共線C都不共線 D模都相等D因?yàn)槎噙呅螢檎噙呅危赃呴L(zhǎng)相等，所以各邊對(duì)應(yīng)向量的模都相等2有下列物理量：質(zhì)量；溫度；角度；彈力；風(fēng)速其中可以看成是向量的有()A1個(gè) B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)B不是向量，是向量3已知|1，|2，若ABC90，則|_.ABC是以B為直角的直角三角形，所以|.4如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相等的向量是_(填序號(hào))(1)與；(2)與；(3)與；(4)與.(1)(4)由平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義可知：，.向量的有關(guān)概念【例1】判斷下列命題是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由：(1)若向量a與

4、b同向，且|a|b|，則ab；(2)若向量|a|b|，則a與b的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；(3)對(duì)于任意向量|a|b|，若a與b的方向相同，則ab；(4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；(5)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反思路探究解答本題應(yīng)根據(jù)向量的有關(guān)概念，注意向量的大小、方向兩個(gè)要素解(1)不正確因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來(lái)確定，即大小和方向，所以兩個(gè)向量不能比較大小(2)不正確由|a|b|只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確定它們的方向關(guān)系(3)正確因?yàn)閨a|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得ab.(4)不正確依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行(5)不正確因?yàn)橄蛄縜與向量b若

5、有一個(gè)是零向量，則其方向不定1理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問(wèn)題(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等(2)單位向量不一定相等，不要忽略其方向2共線向量與平行向量(1)平行向量也稱為共線向量，兩個(gè)概念沒(méi)有區(qū)別；(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同；(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同提醒：解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心方向和長(zhǎng)度1給出下列命題：若ab，bc，則ac；若單位向量的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)相同；起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)必在同一直線上其中正確命題的序號(hào)是_錯(cuò)誤若b0，則不成立；

6、錯(cuò)誤起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)未必相同；正確對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的；錯(cuò)誤共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量，必須在同一直線上向量的表示及應(yīng)用【例2】(1)如圖，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫出_個(gè)向量(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：，使|4，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45；，使|4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；，使|6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30.(1)12可以寫出12個(gè)向量，分別是：，.(2)解由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等又|4，小方

7、格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量如圖所示由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量如圖所示由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30處，且|6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為35.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量如圖所示1向量的兩種表示方法(1)幾何表示法：先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長(zhǎng)度確定向量的終點(diǎn)(2)字母表示法：為了便于運(yùn)算可用字母a，b，c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線

8、段的起點(diǎn)與終點(diǎn)表示向量，如，等2兩種向量表示方法的作用(1)用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運(yùn)算，為用向量處理幾何問(wèn)題打下了基礎(chǔ)(2)用字母表示法表示向量，便于向量的運(yùn)算2某人從A點(diǎn)出發(fā)向東走了5米到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向沿東北方向走了10米到達(dá)C點(diǎn)，到達(dá)C點(diǎn)后又改變方向向西走了10米到達(dá)D點(diǎn)(1)作出向量，；(2)求的模解(1)作出向量，如圖所示：(2)由題意得，BCD是直角三角形，其中BDC90，BC10米，CD10米，所以BD10米ABD是直角三角形，其中ABD90，AB5米，BD10米，所以AD5(米)，所以|5米.相等向量和共線向量探究問(wèn)題1兩個(gè)相等的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)是

9、否都分別重合？提示不一定因?yàn)橄蛄慷际亲杂上蛄?，只要大小相等，方向相同就是相等向量，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無(wú)關(guān)2若，則從直線AB與直線CD的關(guān)系和與的方向關(guān)系兩個(gè)方面考慮有哪些情況？提示分四種情況(1)直線AB和直線CD重合，與同向；(2)直線AB和直線CD重合，與反向；(3)直線AB直線CD，與同向；(4)直線AB直線CD，與反向【例3】如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且a，b，c.(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請(qǐng)一一列出與a，b，c相等的向量思路探究根據(jù)相等向量與共線向量的概念尋找所求向量解(1)與a的長(zhǎng)度相等、方向相反的向量有，.(2)與

10、a共線的向量有，.(3)與a相等的向量有，；與b相等的向量有，；與c相等的向量有，.1本例條件不變，寫出與向量相等的向量解相等向量是指長(zhǎng)度相等、方向相同的向量，所以題圖中與相等的向量有，.2本例條件不變，寫出與向量長(zhǎng)度相等的共線向量解與長(zhǎng)度相等的共線向量有：，.3在本例中，若|a|1，則正六邊形的邊長(zhǎng)如何？解由正六邊形中，每邊與中心連接成的三角形均為正三角形，所以FOA為等邊三角形，所以邊長(zhǎng)AF|a|1.相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長(zhǎng)度相等的向量，再確定哪些同向共線(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向

11、的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點(diǎn)為起點(diǎn)，起點(diǎn)為終點(diǎn)的向量提醒：與向量平行相關(guān)的問(wèn)題中，不要忽視零向量1向量是近代數(shù)學(xué)重要的和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何和物理背景，它是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，注意向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系2從定義上看，向量有大小和方向兩個(gè)要素，而有向線段有起點(diǎn)、方向和長(zhǎng)度三個(gè)要素，因此它們是兩個(gè)不同的量在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由移動(dòng)的向量可以用有向線段表示，但并不能說(shuō)向量就是有向線段3共線向量與平行向量是一組等價(jià)的概念兩個(gè)共線向量不一定要在一條直線上當(dāng)然，同一直線上的向量也是平行向量4注意兩個(gè)特殊向量零向量和單位向量，零向量與任何向量都平

12、行，單位向量有無(wú)窮多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個(gè)單位圓.1判斷正誤(1)長(zhǎng)度為0的向量都是零向量()(2)零向量的方向都是相同的()(3)單位向量的長(zhǎng)度都相等()(4)單位向量都是同方向. ()(5)任意向量與零向量都共線()答案(1)(2)(3)(4)(5)2汽車以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托車以45 km/h的速度向東北方向走了2 h，則下列命題中正確的是()A汽車的速度大于摩托車的速度B汽車的位移大于摩托車的位移C汽車走的路程大于摩托車走的路程D以上都不對(duì)C速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比較大小，路程可以比較大小 3在下列命題中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共線向