《任意角的三角函數(shù)》教學設計(共6頁)

1、任意角的三角函數(shù)教學設計 高一級 王拴禮 一、 學情分析在初中學生學習過銳角三角函數(shù)。因此本課的內(nèi)容對于學生來說，有比較厚實的基礎，新課的引入會比較容易和順暢。學生要面對的新的學習問題是，角的概念推廣了，原先學生所熟悉的銳角三角函數(shù)的定義是否也可以推廣到任意角呢？通過這個問題，讓學生體會到新知識的發(fā)生是可能的，自然的。二、教學目標分析 （一）知識與技能 1掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；2已知角終邊上一點，會求角的各三角函數(shù)值；3記住三角函數(shù)的定義域、值域以及象限符號。（二）過程與方法 銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)引導學生把這個定義推廣到任意角，通過單位圓和角的終邊

2、，探討任意角的三角函數(shù)值的求法，最終得到任意角三角函數(shù)的定義根據(jù)角終邊所在位置不同，分別探討各三角函數(shù)的定義域、象限符號。（三）情感、態(tài)度與價值觀1使學生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；2通過共同探究，發(fā)現(xiàn)新知的過程，培養(yǎng)學生團結協(xié)作的意識以及大膽猜想、勇于探索的科學精神 三、教學重點、難點分析（1） 教學重點 三角函數(shù)是函數(shù)的一個特例，與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)具有相同的地位，但是在具體的定義方式上又有所不同，應該按照概念的體系將之納入到原有的認知結構中，揭示彼此之間的關系，認識新概念的本質屬性。因此本課時的教學重點是：通過概念的同化與精致過程，

3、幫助學生理解任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號），并在這個過程中突出單位圓的作用。 （二）教學難點本課時研究的是任意角的三角函數(shù)，學生在初中階段研究過銳角三角函數(shù)，研究范圍是銳角；研究方法是幾何的，沒有坐標系的參與；研究目的是為解直角三角形服務。以上三點都是與本課時不同的，因此在教學過程中要發(fā)展學生的已有認知經(jīng)驗，發(fā)揮其學生的主體作用。具體而言要做到：明確研究范圍的變化，開闊學生的視野，并揭示由此帶來的新問題，激發(fā)學生的學習興趣；借助單位圓在坐標系中進行研究，要先將銳角的三角函數(shù)問題置于坐標系中，幫助學生利用坐標系借助單位圓重新認識銳角三角函數(shù)，這

4、樣做激活了學生的已有知識經(jīng)驗，并且用新的視角認識已有知識經(jīng)驗，復習了舊知識，同時為新的研究內(nèi)容做好鋪墊。認識一個函數(shù)，關鍵是認識函數(shù)的三要素。在任意角的三角函數(shù)學習過程中也可能在自變量和對應法則上出現(xiàn)問題，應該注意明確任意角的三角函數(shù)的三要素，比如正弦函數(shù)y=sin中自變量是角，并且R，對應法則是一個角與其正弦值對應，至于這個值怎么計算，在此處是規(guī)定為角終邊與單位圓交點的縱坐標，通過例2可以看出，也可以利用比值定義。對于一次函數(shù)、二次函數(shù)也需要將自變量的值進行計算得到函數(shù)值，這一點本質上是統(tǒng)一的，要引導學生類比理解。綜合上述分析，本課時的教學難點是： 用角的終邊上的點的坐標來刻畫三角函數(shù)；三角

5、函數(shù)符號. 四、學法與教學用具分析 利用“班班通”的幾何畫板改變角的位置，認識角的終邊位于不同象限時如何定義角的三角函數(shù)值，充實學生的直觀感知材料，幫助學生形成比較全面的認知。5、 教學過程設計 （一）創(chuàng)設情境，導入新課1、復習引入（情景1）我們在初中通過銳角三角形的邊角關系，學習了銳角的正弦、余弦、正切等三個三角函數(shù). 請回想：這三個三角函數(shù)分別是怎樣規(guī)定的？ （設計意圖：溫故而知新。要讓學生體會知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，就要從源頭上開始，從學生現(xiàn)有認知狀況開始。）對邊鄰邊sin=，con=，tan=（圖1） 學生口述后再投影展示，教師再根據(jù)投影進行強調(diào)： 2. 引伸鋪墊、創(chuàng)設情景（情景2）我們

6、已經(jīng)把銳角推廣到了任意角，銳角的三角函數(shù)概念也能推廣到任意角嗎？試試看，可以獨立思考和探索，也可以互相討論！ （設計意圖：現(xiàn)有認知水平和認知能力出發(fā)，創(chuàng)設問題情景，讓學生產(chǎn)生知識沖突，進行必要啟發(fā)，將學生思維引上自主探索、合作交流的再創(chuàng)造征途。） 留時間讓學生獨立思考或自由討論，教師參與討論或巡回對學困生作啟發(fā)引導. 能推廣嗎？怎樣推廣？針對剛才的問題點名讓學生回答. 用角的對邊、鄰邊、斜邊比值的說法顯然是受到阻礙了，由于1.1節(jié)已經(jīng)以直角坐標系為工具來研究任意角了，學生一般會想到（否則教師進行提示）繼續(xù)用直角坐標系來研究任意角的三角函數(shù). （2） 主題探究，合作交流 問題1 本章研究的問題是

7、三角函數(shù)，函數(shù)的研究離不開平面直角坐標系。現(xiàn)在請你結合初中時我們學習的銳角三角函數(shù)的定義，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？（設計意圖：將已有知識坐標化,分化難點。用新的觀點再認識學生的已有知識經(jīng)驗，發(fā)揮學生的主體作用，同時使本課時的學習與學生的已有知識經(jīng)驗緊密聯(lián)系起來。）預計的回答：學生可以回憶出初中學過的銳角三角函數(shù)的定義，但是在用坐標語言表述時可能會出現(xiàn)困難即使將角置于坐標系中但是仍然習慣用三角形邊的比值表示銳角三角函數(shù)，需要教師引導學生將之轉換為用終邊上的點的坐標表示銳角三角函數(shù)。 解答過程：（1）再現(xiàn)銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在直角POM中，M是直角，于是。

8、 MOyP(x,y)x （2）坐標化：如圖，建立平面直角坐標系，設銳角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，那么它的終邊在第一象限在的終邊上任取一點P，設點P的坐標為（x，y），它與原點的距離過作軸的垂線，垂足為，則線段的長度為X，線段的長度為y則：； 問題2 對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？為什么？（設計意圖：引入單位圓。深化對單位圓作用的認識，用數(shù)學的簡潔美引導學生進行研究，為定義的拓展奠定基礎。該問題與問題1結合，分步推進，降低難度，基本尊重教材的處理方式。）預計的困難：由于學生第一次接觸單位圓，對它所能起的作用不了解，所以需要教師的引導。也可以引導學

9、生從形式上對上述定義化簡，使得分母為1，之后通過分母的幾何意義將之與單位圓結合起來。根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角 ，三個比值不以點P在 的終邊上的位置的改變而改變大小我們可以將點P取在使線段的長的特殊位置上，這樣就可以得到用直角坐標系內(nèi)的點的坐標表示銳角三角函數(shù)：單位圓：在直角坐標系中，我們稱以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓稱為單位圓上述P點就是的終邊與單位圓的交點， 銳角的三角函數(shù)可以用單位圓上點的坐標表示 問題3：上述定義是借助于單位圓，利用角的終邊與單位圓的交點的坐標給出的，它可以推廣到任意角的三角函數(shù)，結合上述銳角的三角函數(shù)值的求法，請你寫出任意角的三角函數(shù)的定義。分小組分別寫

10、出角的終邊位于第二、三、四象限和x軸、y軸上時的三角函數(shù)。（設計意圖：具體認識任意角的三角函數(shù)，突現(xiàn)本課時的研究重點。如果問題太一般化，如設計為：上述定義可以推廣到任意角的三角函數(shù)，請寫出任意角的三角函數(shù)的定義。那么學生不知道“上述定義”是指哪個，而且不明白任意角該如何取。所以在問題設計中再次強調(diào)要借助于單位圓，利用坐標，限定學生的思維，以免太發(fā)散。再者在一般要求“寫出任意角的三角函數(shù)”之后，又提出具體的活動方式：分小組針對不同位置的角分別寫出其三角函數(shù)。這樣將問題具體化，學生容易著手解決。寫出定義的過程也是鞏固推廣的過程，而且這樣做盡可能避免出現(xiàn)學生用計算器算cos的現(xiàn)象。）活動形式：由學生

11、分組獨立完成之后再展示交流，形成具體而全面的認識。學生可能會在寫出任意角的三角函數(shù)的定義時出現(xiàn)困難，教師的幫助不要具體，而是在思維上引導用坐標表示，并引導學生正確認識三角函數(shù)的定義域。結論：如圖，設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點，那么：aA(1,0)_OP(x,y)yx（1）叫做的正弦(sine)，記做，即 ；（2）叫做的余弦(cosine)，記做，即；（3）叫做的正切(tangent)，記做，即問題4：在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應關系有什么特點，函數(shù)值是什么？ （設計意圖：通過這樣的活動強化學生對任意角三角函數(shù)定義的理解，達到對概念的初步精致。）預計的困難：學生對三角函數(shù)的

12、自變量認識可能會存在問題。教師的引導：引導學生利用單位圓的幾何意義解釋正弦、余弦的值域。預計的答案：設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y）。說明：（1）當時，的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫坐標都等于，所以無意義，除此情況外，對于確定的值，上述三個值都是唯一確定的實數(shù)（2）當是銳角時，此定義與初中定義相同；當不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值（3）正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)（三）例題講解例1 求的正弦、余弦和正切值。

13、（設計意圖：鞏固對定義的理解。）分析：根據(jù)定義求解，先利用銳角三角函數(shù)知識求出點P的坐標，再根據(jù)定義求解。解：如圖5，可知在RTOPC中，OPC=30o，所以OC=，CP=，所以點P的坐標是。根據(jù)定義可得： 例2 已知角的終邊經(jīng)過點P0(-3，-4)，求角的正弦、余弦和正切值。（設計意圖：通過問題的轉化，進一步加深對定義的理解。）分析：如右圖，由OMPOM0P0，可求出相應的三角函數(shù)值.解：由已知，可得|OP0|=5如圖，設角的終邊與單位圓交于點P(x，y)分別過點P、P0作x軸的垂線MP、M0P0，則|M0P0|=4，|MP|=-y，|OM0|=3，|OM|=-x，OMPOM0P0，于是si

14、n=y=；cos=x=；tan=（點評：本例是已知角終邊上一點的坐標，求角的三角函數(shù)值問題可以先根據(jù)三角形相似將這一問題化歸到單位圓上，再由定義得解）探究：請根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，將正弦、余弦和正切函數(shù)的定義域填入下表；再將這三種函數(shù)的值在各個象限的符號填入表格中：三角函數(shù)定義域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制三角函數(shù)的定義告訴我們，各三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，取決于x，y的符號，當點P在第一、二象限時，縱坐標y0，點P在第三、四象限時，縱坐標y0，所以正弦函數(shù)值對于第一、二象限角是正的，對于第三、四象限角是負的(可制作課件展示);同樣地，余弦函數(shù)在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負的;正切函數(shù)在第一、三象限是正的，在第二、四象限是負的從而完成上面探究問題即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”六、課堂小結1本章的三角函數(shù)定義與初中