向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

1、向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1. 線性組合設(shè)印，玄2,何 Rn,人*2, ,kt R，稱kia飛a亠亠ktat為qa, g的一個(gè)線性組合。 %、【備注1】按分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)那么，匕印+ k2a2+ktat = (a!,a2,at) k2。這樣的表示是有*好處的。2. 線性表示設(shè)印忌禺 Rn，b Rn，如果存在g,kR，使得那么稱b可由a,a2,a線性表示。kb+k2a2十十ktat，寫(xiě)成矩陣形式，即b =佝，a2,q) / 。因此，b可由aa?,atF線性表示即線性方程組(q,a2,at) =b有解，而該方程組有解當(dāng)且僅當(dāng)*r(ai,a2, ,a二r(ai,a2,ab)。3. 向量組等價(jià)設(shè)a!,

2、a2, ；at,b!,b2, ,bs Rn，如果ag, ,at中每一個(gè)向量都可以由db, ,bs線性表示，那么稱向量組aa2,at可以由向量組Db, ,bs線性表示。如果向量組ai,a2,at和向量組bi,b2,bs可以相互線性表示，那么稱這兩個(gè)向量組是等價(jià)的。向量組等價(jià)的性質(zhì)：(i) 自反性 任何一個(gè)向量組都與自身等價(jià)。 對(duì)稱性 假設(shè)向量組I與II等價(jià)，那么向量組II也與I等價(jià)。傳遞性假設(shè)向量組I與II等價(jià)，向量組II與III等價(jià)，那么向量組I與III等價(jià)。證明:自反性與對(duì)稱性直接從定義得出。至于傳遞性，簡(jiǎn)單計(jì)算即可得到。設(shè)向量組I為a1,a2,ar，向量組II為D ,b2,bs，向量組II

3、I為gs ,ct。向量組IIt可由III線性表示，假設(shè)bjyqCk，j =1,2 ,s。向量組I可由向量組II線性表示，假設(shè)k4sai 二Xjibj， i =1,2, , r。因此，j 土sstt sa = Xji bj = Xji 二.ykjc = x (二 ykjxji)ck ， i = h2， ,rj 4j 4k =4k=1 j $因此，向量組I可由向量組III線性表示。向量組II可由I線性表示，III可由II線性表示，按照上述方法再做一次，同樣可得 出，向量組III可由I線性表示。因此，向量組I與III等價(jià)。結(jié)論成立！4. 線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)設(shè)ai,a2, ；a Rn，如果存在不全為零

4、的數(shù)&也，,kR，使得那么稱ai,a2,at線性相關(guān)，否那么，稱印總，,印線性無(wú)關(guān)。按照線性表示的矩陣記法，ai, a2,at線性相關(guān)即齊次線性方程組有非零解，當(dāng)且僅當(dāng)r(a4,a2, ,at) ： t。a4,a2, ,at線性無(wú)關(guān)，即只有零解，當(dāng)且僅當(dāng)口642, ,at)=t。特別的，假設(shè)t =n，貝U ai,a2,aRn線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)口印,a?,a“)二n，當(dāng)且僅當(dāng)總，,a.)可逆，當(dāng)且僅當(dāng)佝屜,a.) = 0。例1.單獨(dú)一個(gè)向量a Rn線性相關(guān)即a=0，線性無(wú)關(guān)即a = 0。因?yàn)椋僭O(shè)a線性相關(guān)，那么存 在數(shù)k = 0，使得ka = 0，于是a = 0。而假設(shè)a = 0，由于1a =

5、a = 0，1 = 0因此，a線性相關(guān)。 例2.兩個(gè)向量a,b，Rn線性相關(guān)即它們平行，即其對(duì)應(yīng)分量成比例。因?yàn)椋僭O(shè)a,b線性相關(guān)，k那么存在不全為零的數(shù)k1,k2，使得k1ak2b=0。k1, k2不全為零，不妨假設(shè)k-0，那么a =b，故a,b平行，即對(duì)應(yīng)分量成比例。如果a,b平行，不妨假設(shè)存在，使得a-b，那么a-b = 0，于是a, b線性相關(guān)。例3.30線性無(wú)關(guān)，且任意x= X2 e R3都可以由其線性表示,且表示方法唯一O事實(shí)上,5. 線性相關(guān)與無(wú)關(guān)的性質(zhì) (1)假設(shè)一向量組中含有零向量，那么其必然線性相關(guān)。證明：設(shè)曰,a2,at R，其中有一個(gè)為零，不妨假設(shè)at = 0 ,那么

6、 因此，ai,a2,at線性相關(guān)。(2) 假設(shè)一向量組線性相關(guān)，那么增添任意多個(gè)向量所形成的新向量組仍然線性相關(guān)；假設(shè)一向量 組線性無(wú)關(guān)，那么其任意局部向量組仍然線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè)da,d ,：2,，：s Rn，印,可線性相關(guān)。存在不全為零的數(shù) kih,k，使得這樣，ki,k2,kt不全為零，因此，ai, a?,a.，：2,廠s線性相關(guān)。后一個(gè)結(jié)論是前一個(gè)結(jié)論的逆否命題，因此也正確。(3) 假設(shè)一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，在其中每個(gè)向量相同位置之間增添元素，所得到的新向量組仍 然線性無(wú)關(guān)。證明:設(shè)ai,a2, ；ar Rn為一組線性無(wú)關(guān)的向量。不妨假設(shè)新的元素都增加在向量最后一個(gè)分量之后，成為92 由

7、* *Jb2丿bt丿bib, ,bt是同維的列向量。令那么kiai k2a2亠亠kt at =0。由向量組&,，a線性相關(guān)，可以得到kk=k0。結(jié)論得證!(4) 向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。設(shè)印，玄2,q Rn為一組向量。必要性 假設(shè)ai,a2,at線性相關(guān)，那么存在一組不全為零的數(shù) ?匕，,kt，使得ki,k2,kt不全為零，設(shè)kj 7，貝U充分性 假設(shè)印2,at中某個(gè)向量可以表示成其余向量的線性組合，假設(shè)aj可以表示成ai,aj,aj .仆,at的線性組合，那么存在一組數(shù)ki,kjkj 1,kt，使得也就是但ki, , kj j, _1,kj i, ,kt不

8、全為零，因此，a2,at線性無(wú)關(guān)?！緜渥?】請(qǐng)準(zhǔn)確理解其意思，是其中某一個(gè)向量可以由其余向量線性表示，而不是全部向 量都可以。 假設(shè)印,玄2,可 Rn線性無(wú)關(guān)，b Rn，使得印,ab線性相關(guān)，那么b可由印旦，,at線 性表示，且表示方法唯一。證明：ai,a2, ,at,b線性相關(guān)，因此，存在不全為零的數(shù) 匕出，K, K彳，使得kt i=0，否那么K 1=0，那么ki ka 2 屆=0。由耳屜 g線性無(wú)關(guān)，我們就得到ki =k2二二kt =0，這樣，?匕，,kt, kt i均為零，與其不全為零矛盾！這樣， 因此，b可由ai,a2,at線性表示。假 b = xiai x2a2 宀“宀人色=yiai

9、 y2a2 宀“ytat，貝U由ai, a2,at線性無(wú)關(guān)，有 為-yi = x? - y?二二人-yt = 0，即卩因此，表示法唯一?！緜渥?】剛剛的證明過(guò)程告訴我們，如果向量b可由線性無(wú)關(guān)向量組ai,at線性表示，那么 表示法唯一。 事實(shí)上，向量b可由線性無(wú)關(guān) 向量組ai,at線性表示，即 線性方程組 (ai,ajxb有解。而ai,at線性無(wú)關(guān)，即r(ai,aj =t。因此，假設(shè)有解，當(dāng)然解唯一，即 表示法唯一。 假設(shè)線性無(wú)關(guān)向量組ai,a2,at可由向量組bi, dubs線性表示，那么t s。XiiX21 印=為山 +X2ib2 + +Xsibs =(b,b2,bs)*X12X22a2=

10、Xi2bX22b2ns2bs=(bib,bs):w丿at 二為心 X2Q2*stbs=(b,b2, ,bs)XitX2t任取ki,k2,kt，那么由于X11X21XI2X22IIIIIIXitX2t為一個(gè)s階矩陣，而t as，因此，方程組Xs2III必有非零解，設(shè)為k2，于是ker ka 2 ktat =0。因此，存在一組不全為零的數(shù)kih,k，使得 気 k0 2Kd =0。因此，向量組 印,at線性相關(guān)，這與向量組ai, a2,a線性無(wú)關(guān)矛盾！因此，t s。 假設(shè)兩線性無(wú)關(guān)向量組ai,a2,at和Db,bs可以相互線性表示，那么t=s 證明：由性質(zhì)，t - s， St，因此，s =t?！緜渥?/p>

11、4】等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)一樣。(8)設(shè)da, g R， P為n階可逆矩陣，那么印,at線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)Pai,Pa2,Pat線性無(wú)關(guān)。b可由印耳，,印線性表示，當(dāng)且僅當(dāng)Pb可由Pai,Pa2,Pat線性表示。假設(shè)可以線性表示，表示的系數(shù)不變。證明：由于P可逆，因此如此，結(jié)論得證！6. 極大線性無(wú)關(guān)組定義1設(shè)aa?,at R，如果存在局部向量組玄?02,a.，使得 ai1, ai2,a線性無(wú)關(guān)； ai,a2,at中每一個(gè)向量都可以由an，ai2,a.線性表示；那么稱玄兀，,ar為ai,a2,at的極大線性無(wú)關(guān)組?！緜渥?】 設(shè)ai,a2,4乏Rn，ah, a2,為其極大線性無(wú)關(guān)組。按

12、照定義，ai,a2,目可由ah, ab,線性表示。但另一方面，玄斤屜，,ar也顯然可以由ai,a2,4線性表示。因此，aia?,印與舛，兀，,a#等價(jià)。也就是說(shuō)，任何一個(gè)向量組都與 其極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)。向量組的極大線性無(wú)關(guān)組可能不止一個(gè)，但都與原向量組等價(jià)，按照向量組等價(jià)的傳遞 性，它們彼此之間是等價(jià)的，即可以相互線性表示。它們又都是線性無(wú)關(guān)的，因此，由之前 的性質(zhì)，向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組含有相同的向量個(gè)數(shù)。這是一個(gè)固定的參數(shù)，由向量組本身所決定，與其極大線性無(wú)關(guān)組的選取無(wú)關(guān)，我們稱其為向量組的秩，即向量組的任何一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)?！緜渥?】按照定義，向量組ai,a2,

13、at線性無(wú)關(guān)，充分必要條件即其秩為t。定義2設(shè)ai,a2,at乏Rn，如果其中有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量a,兀，,a-，但沒(méi)有更多的線性無(wú)關(guān)向量，那么稱屯，軌，,ar為印赴，,at的極大線性無(wú)關(guān)組，而r為ai, a2,at 的秩。【備注7】 定義2生動(dòng)地表達(dá)了極大線性無(wú)關(guān)組的意義。一方面，有 r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量， 表達(dá)了“無(wú)關(guān)性，另一方面，沒(méi)有更多的線性無(wú)關(guān)向量，又表達(dá)了“極大性。【備注8】?jī)蓚€(gè)定義之間是等價(jià)的。一方面，如果 a,軌，,寺線性無(wú)關(guān)，且ai,a2,中每一個(gè)向量都可以由a, a：?,a線性表示，那么，印,可就沒(méi)有更多的線性無(wú)關(guān)向量，否那么，假設(shè)有，設(shè)為 0,6，,bs, s r。 b|,

14、b2,bs當(dāng)然可以由冃2,線性表 示，且還線性無(wú)關(guān)，按照性質(zhì)6 , swr，這與假設(shè)矛盾！另一方面，假設(shè)a1,ai2-,ar為印?，,4中r個(gè)線性無(wú)關(guān)向量，但沒(méi)有更多的線性無(wú)關(guān)向量，任取aa2,at中一個(gè)向量，記為b，那么ah, ai2,ajr,b線性相關(guān)。按照性質(zhì)5， b可有a,兀，,線性表示且表示方法 唯一?！緜渥?】設(shè)向量組aa2,印的秩為r，那么其極大線性無(wú)關(guān)向量組含有r個(gè)向量。反過(guò)來(lái)，其中任何r個(gè)線性無(wú)關(guān)向量所成的向量組也是 aa2,at的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。這從定義即可得到。6.向量組的秩的矩陣的秩的關(guān)系稱矩陣A的列向量組的秩為A的列秩，行向量組轉(zhuǎn)置后所得到的列向量組的秩稱為矩陣

15、A的行秩。定理1任意矩陣的秩等于其行秩等于其列秩。證明：設(shè)A = ajRm，rA = r。將其按列分塊為A =佝,a2,an。存在m階可逆矩陣P，使得PA為行最簡(jiǎn)形，不妨設(shè)為1 0+00+61線性無(wú)關(guān)，且PA中其余列向量都可以由其線性表示，因此,01丿1丿為PA的極大線性無(wú)關(guān)組，其個(gè)數(shù)為r，因此，印忌,ar線性無(wú)關(guān)，且A中其余列向量均可由其線性表示且表示的系數(shù)不變。因此，A的列秩等于A的秩將A按行分塊，A=：，那么AT =(bi,b2,bm)，因此，按照前面的結(jié)論，A的行秩為A 的秩，而At的秩等于A的秩。至此，結(jié)論證明完畢！【備注10】證明的過(guò)程其實(shí)也給出了求極大線性無(wú)關(guān)組的方法。7. 擴(kuò)充

16、定理定理2設(shè)ai,aRn，秩為r，備兀，,aik為其中的k個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，k_r，那么能在其中參加ai, a2,a中的(r -k)個(gè)向量，使新向量組為q,a2,可的極大線性無(wú)關(guān)組。證明：如果k = r，那么ai1, a,2,ak已經(jīng)是ai,a2,at的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，無(wú)須再添加向量如果k ： r，那么a,aj2,ajk不是aa2,at的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，于是,ai,a2,at必有元素不能由其線性表示，設(shè)為a：k ，由性質(zhì)，向量組a a2 , aik , aik !線性無(wú)關(guān)。如果k，1=r，那么a ,ai2,aik ,aik q已經(jīng)是aa?,且的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，無(wú)須再添加 向量。如果

17、k V： r，那么,a，,aik ?ik .不是ai,a2,at的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，于是，ai,a2,at 必有元素不能由其線性表示，設(shè)為aik2，由性質(zhì)(5)，向量組 aii, 3i2 ,aik，aik “電 2 線性無(wú)關(guān)。同樣的過(guò)程一直進(jìn)行下去，直到得到r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量為止?！緜渥il證明的過(guò)程其實(shí)也給出了求極大線性無(wú)關(guān)組的方法。只是，這方法并不好實(shí)現(xiàn)。8. 求極大線性無(wú)關(guān)組并將其余向量由極大線性無(wú)關(guān)組線性表示求向量組ai,a2, ar Rn的極大線性無(wú)關(guān)組，可以按照下面的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。(1) 將ai,a2, -at合在一起寫(xiě)成一個(gè)矩陣 人=佝包，aj ;(2) 將A通過(guò)初等行變換化成

18、行階梯形或者行最簡(jiǎn)形，不妨設(shè)化得的行階形為bnb12IIIgrIIIgn 0+b22IIIib2r卜b2,r 卑IIIb2,nKAt+00+IIIhbrrbr ,r 卑IIIrbr ,n=B， 6 式0,i =1,2,r， r = r(A)0+0III0卜0III0I+30III卜00IIIf0 在上半局部找出r個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，設(shè)為ji,j2,jr列，那么jl,j2,jr為B列向量組 的極大線性線性無(wú)關(guān)組，也是 A列向量組的極大線性線性無(wú)關(guān)組，也就是 42,at的極大線 性無(wú)關(guān)組。為了在上半局部尋找r個(gè)線性無(wú)關(guān)向量，必須且僅須在上半局部尋找r階的非奇異子矩陣。r階非奇異子矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)。顯而易見(jiàn)，上面矩陣第1到第r列即向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。其余情形同理。4將其余向量組表示為極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合。這時(shí)候得解方程組。我們將矩陣化為行最簡(jiǎn)形，那么一步就很容易完成了。不妨設(shè)行最簡(jiǎn)形為在B中第1到第r列