求解數(shù)學(xué)綜合題的思維策略

1、求解綜合題綜合求解綜合題綜合題的思維策略題的思維策略 上海市金山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院 白偉雄 數(shù)學(xué)綜合題指的是涉及數(shù)學(xué)的不同分支或同一分支的多個方面知識點(diǎn)，因而不能靠單一地運(yùn)用某個概念、性質(zhì)或方法來解。求解綜合題需要解題者全面深刻地分析題目所提供的信息，廣泛聯(lián)想已有的數(shù)學(xué)知識、方法及思想，努力探索和發(fā)現(xiàn)信息之間的聯(lián)系，以期溝通。綜合題雖然比較復(fù)雜、題型千變?nèi)f化，但解題時如能根據(jù)具體情況，采用相應(yīng)的思維策略，問題還是能夠圓滿解決的。 一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的 有些綜合題，主要是多種概念、方法的綜合，解此類綜合題只要順其自然，循序漸進(jìn)，層層深入，引向結(jié)論。 基本思維策略基本思維策

2、略. . . . 例1如圖，已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以點(diǎn)A( ,0)為圓心、1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點(diǎn)A與A關(guān)于y=x對稱，設(shè)直線l過點(diǎn)A，斜率為k。2yoxA.(2)當(dāng)k=1時，在雙曲線S的上半支上求點(diǎn)B，使其與直線 l的距離為 ；2(1)求雙曲線S的方程；(3)當(dāng)0k 1 時,若雙曲線S上支上有且只有一個點(diǎn)B到直線l的距離為 ，求斜率k的值及相應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo).2yoxA.雙曲線S的漸近線解： (1)由題意得：y=x，因而可設(shè)雙曲線方程為： x2y2=m (m0)，2將點(diǎn)A(0, ) 的坐標(biāo)代入得，所以雙曲線 S 的方程為： x2 y2= 2。m=2，yoxA.方程

3、為： 例1如圖，已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以點(diǎn)A( ,0)為圓心、1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點(diǎn)A與A關(guān)于y=x對稱，設(shè)直線l過點(diǎn)A，斜率為k。2(1)求雙曲線S的方程；(2)設(shè)B(x, )22x是雙曲線 S 的上支上到22222xx則 ，|22|2xx所以 =2得：222xx=2 或222xx = 2，222xx由 = 2得： x= 2檢驗(yàn)知滿足方程，故方程 =2無解，222xxx 0，22x2所以B( ,2)。yoxA.B直線l:y=x 的距離為 的點(diǎn)，22l(2)當(dāng)k=1時，在雙曲線S的上半支上求點(diǎn)B，使其與直線 l的距離為 ；2當(dāng)0k1時，雙曲線S 的上支在直線l的

4、上方，所以點(diǎn)(3)B在直線l的上方， 將直線l向上平移至直線l，使直線l 與直線l之間的距離為 ，2的上支只有一個公共點(diǎn)。設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由l上的點(diǎn)A到l的距離為 ，得：2| |= ，212kmk2所以m= k ，2221k點(diǎn)B在直線l的上方，得(k21)x2+2mkx+m22=0，因?yàn)閗21，xyoA.則問題等價于直線l與雙曲線S221k2m= k+ ，聯(lián)列方程，消去y，所以=4(m2 2+2k2) =8k(3k2 )=0，12k又0k0)，若C的上半支的頂點(diǎn)為A，且與直線y=x交于點(diǎn)P，以A為焦點(diǎn)，M(0,m)為頂點(diǎn)的開口向下的拋物線通過點(diǎn)P,當(dāng)C的一條漸近線的斜率在區(qū)間 y

5、xMPoA,322 23上變化時，求直線PM 斜率的最大值。(92年上海高考題)已知雙曲線C的方程為：(1a2)x2+a2y2a2=0，(參數(shù)a0)，若C的上半支的頂點(diǎn)為A，且與直線y=x交于點(diǎn)P，以A為焦點(diǎn)，M(0,m)為頂點(diǎn)的開口向下的拋物線通過點(diǎn)P，當(dāng)C的一條漸近線的斜率在區(qū)間分析： 由雙曲線C方程得： 112222aaxyP(a,a) 從而得出A(0,1)，以A為焦點(diǎn)、 M為頂點(diǎn)開口向下的拋物線方程： x2= 4(m1)(ym)， 故應(yīng)有：a2=4(m1)(am)， 又兩條漸近線的斜率為 aa213212 232aa2a3。aam a2=4(ka+k1)ka ，因a0,(4k2+4k

6、1)a=4k , ma,k0，a=,14442kkk即：m=mk+a，代入上面方程得且4k2+4k1 0， 2444132kkk解之得： 1326514kkmax514yxMPoA由于kPM=上變化時，求直線PM 斜率的最大值。,322 23 說明說明：這里的分析過程完全根據(jù)題目的要求，循序漸進(jìn)，一步一個腳印，層層深入，引向結(jié)論的。 一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的 有些綜合題，主要是多種概念、方法的綜合，解此類綜合題只要順其自然，循序漸進(jìn)，層層深入，引向結(jié)論。 基本思維策略基本思維策略一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的基本思維策略一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的基本思維策略二、轉(zhuǎn)化是重要的思維

7、策略二、轉(zhuǎn)化是重要的思維策略 (1)有些綜合題，表面上看起來很復(fù)雜，但若能對題目仔細(xì)分析，適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，就能使問題得以順利解決。(1) 如果 f(x)當(dāng)x(,1 時有意義,求的取值(90年全國高考理科題)成立。(aR,nN*,n2) , n1(2) 如果a(0,1,證明 2f(x) 0其中 x1,n2，即：)()2)1xnn1(xxnna Lx1, ( )knx(k=1,2,n 1)在(,1上都是增函數(shù)， ( )( )() 121nnnnxxxLL在(,1是也增函數(shù)，121()nan 121().故它在x=1時取得最大值為n2)，(1)如果f(x)當(dāng)x(,1時有意義,求的取值范圍；即分析：第(1

8、)題可轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性求a值域。第(2)題可利用換元法轉(zhuǎn)化為不等式問題。由于x0，所以g(x)恒大于零，故0，從而原命題得證。(2) 分析：要證2f(x)f(2x)， a(0,1 ，當(dāng)x0時成立，只要證： 1+2x+(n1)x+nxa2n1+22x+(n1)2x+n2xa，即證：41+2x+(n1)x+nxa2 4n1+22x+(n1)2x+n2xa0，使f(a)=1；(3)對x(0,2a)，有f(x)0.問f(x)是否是周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期；使f(a)=1；(3)對x(0,2a)，有f(x)0.例4設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且適合下列三個條件。)()(1)()()

9、(212121xfxfxfxfxxf(1)對于定義域內(nèi)的x1、x2都有 求出它的一個周期；若不是，請說明理由。(2)存在常數(shù)a0，問f(x)是否是周期函數(shù)？若是，分析：本題條件(1)類似于兩角差的正切公式，故聯(lián)想f(x)是周期函數(shù)，周期為4a。條件(3) (0,2a)類似(0,/2)，解：f(x2a)=f(x a)=)()(1)()(afxfafxf)(11)(xfxf)()(1)()(afaxfafaxf)(11)(11)(11)(xfxfxfxf)(1xff(x4a)= f(x2a)2a= f(x)f(xa)af(x)是以4a為周期的周期函數(shù)條件(2)類似tg =14p三、適當(dāng)分類，以求簡

10、化三、適當(dāng)分類，以求簡化 一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的基本思維策略一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的基本思維策略二、轉(zhuǎn)化是重要的思維策略二、轉(zhuǎn)化是重要的思維策略 有些題目由于約束條件較少，在解題過程中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究；也有些題目由于含有參數(shù)而使得結(jié)論不能唯一確定，對于這類綜合題，可根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，適當(dāng)分類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決。 例5已知22332222)1()1()1()1(nnnrrrrrrrrSL其中r0，記Tn = Sn+2n， ，WTTnnn1求 。limnnW分析：Sn=rrrrrrnnn2422421112LL()求Sn時運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時，應(yīng)對r 進(jìn)行分類，limnnW

11、limnnq求的存在性，對r 進(jìn)行分類。時還要根據(jù) 解：1.當(dāng)r =1時，Sn=0，Tn = 2n， WTTnnnnn1222則 =1 limnnW2.當(dāng)r1時，Sn= rrrrrrnnn2422421112LL()Srrrrrrnnnn22222211112()() Trrrrrrrrrnnnnn2222222222111111()Wrrrrrrnnnnn()()2222222211(1)當(dāng)0r1時， Wrrrrrrrnnnnn ()()222422421112limrWnnlimnnr 0由于 四、借助圖形，直觀分析四、借助圖形，直觀分析三、適當(dāng)分類，以求簡化三、適當(dāng)分類，以求簡化 一、循

12、序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的基本思維策略一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的基本思維策略二、轉(zhuǎn)化是重要的思維策略二、轉(zhuǎn)化是重要的思維策略 有些題目的條件具有某種幾何意義，若用純代數(shù)方法去解運(yùn)算很繁，不易得出結(jié)論，若注意利用條件的幾何意義，以形輔數(shù)，則能輕易地得到結(jié)論。 例6. 當(dāng)s, tR時，求(s+53|cost|)2+(s 2|sint|)2的最小值。 分析： 設(shè)： P(s+5, s)、 Q(3|cost|,2|sint|)，則P、Q為兩動點(diǎn)，原問題轉(zhuǎn)化為求|PQ|2的最小值。解：由P(s+5, s)消去s得P的軌跡方程：y=x 5由Q(3|cost|,2|sint|)消去t得Q的軌跡方程：其中(0 x3, 0

13、y2) 14922 yx55 32yxo由圖形直觀可知，過點(diǎn)(3,0)到直線y=x 5的距離即為|PQ|的最小值，即|PQ|2min=2即原題的最小值為2五、分析、探索、歸納、證明五、分析、探索、歸納、證明 四、借助圖形，直觀分析四、借助圖形，直觀分析三、適當(dāng)分類，以求簡化三、適當(dāng)分類，以求簡化 一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的基本思維策略一、循序漸進(jìn)是數(shù)學(xué)解題的基本思維策略二、轉(zhuǎn)化是重要的思維策略二、轉(zhuǎn)化是重要的思維策略 有些題目只有條件而沒有結(jié)論或只給出結(jié)論而沒有條件， 這就需要解題者去探索其結(jié)論或應(yīng)具備的條件。解這類題目一般要通過分析、探索、歸納、證明，從而使問題得以解決。例7. 設(shè)等差數(shù)列an

14、的首項(xiàng)為a1，公差為d。(2)探索數(shù)列 是什么數(shù)列？nSn(3)利用(1、2)的結(jié)論求解下列問題：等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)分別為Sn和Tn，若對一切n都成立，求432nnTSnn1212ba等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)分別為Sn和Tn，若，求132nnTSnnnnnbalim等差數(shù)列an 的前m項(xiàng)分別為30，前2m項(xiàng)和為100，求它的前3m項(xiàng)的和。(1)探索數(shù)列 是什么數(shù)列？1212nSn例7. 設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d。(1)探索數(shù)列 是什么數(shù)列？(2)探索數(shù)列 是什么數(shù)列？nSn1212nSn分析：nana22nnaan) 12(2)(12(121nnS1212故它是以a1為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列。分析：211dnSnSnnnSnnSn 是以a1為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列。2dndnnna) 1(211dna) 1(211(3)利用(1、2)的結(jié)論求解下列問題：等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)分別為Sn和Tn，若對一切n都成立，求432nnTSnn1212ba等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)分別為Sn和Tn，若，求132nnTSnnnnnbalim 1312nn1) 12( 3) 12(2nn1212TSnn1212nTn1212nSnbann分析：nnnbalim32分析：732542332232323TS2323T2323S1212banann