第九講(邊緣分布及隨機(jī)變量的獨(dú)立性)

1、練習(xí)七練習(xí)七 參考答案參考答案一一 解：解： 所以可能的取值為所以可能的取值為0，1，4，9,且且YX2 P YP XP XP YP XP XP XP YP XP XP XP YP XP X22220000.20;11110.200.200.40;44220.100.150.25;9930.10. Y 0 1 4 9P 0.25 0.40 0.15 0.10所以所以Y的分布律為的分布律為二二 解：方法一解：方法一YXyyFyP YyPXyP Xyfx dxdxx33332(1)(1)( )1(1) 1( )(1) YYyfyFyyyy233 2613(1)( )( )(1) 1(1) 1(1)

2、 yx31 方法二方法二 由于函數(shù)由于函數(shù) 在在R上為嚴(yán)格單上為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，從而有反函數(shù)調(diào)減函數(shù)，從而有反函數(shù)xh yy3( )(1) YXfyfh yh yyyyy233 26( ) ( )( )13(1)(1) 1(1) 1(1) YyyxXyyyyF yP YyPXyPXfx dxedx2211222112211( )1 2221( )2 yyYYyyyfyFyeeey22112222141111( )( )222212(1) 三三 解：解：1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)時(shí)y1 2( )120( )0YYFyP YyPXyfy 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)y1 yYeyfyy141,1( )2(1)0, 其其他他22

3、2,0( )0,yYeyfy 其其他他2222222222)(21)(21)()(21)()()(,0, 0)()()(0)2yyyYYxyyYYeyeyeyFyfdxeyXyPyXPyFyyXPyYPy Fy時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)?shù)诰胖v第九講 邊緣分布及邊緣分布及隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性 二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律的取值及其概率規(guī)律. 而單個(gè)隨機(jī)變量而單個(gè)隨機(jī)變量X,Y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布. 那么要問那么要問:二者之間有二者之間有什么關(guān)系呢什么關(guān)系呢?這一節(jié)里這一節(jié)里,我們就來探求這個(gè)問題我們就來探求這

4、個(gè)問題 .二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 (X,Y)作為一個(gè)整體作為一個(gè)整體,具有分布函具有分布函數(shù)數(shù) ,F x y而而 和和 都是隨機(jī)變量都是隨機(jī)變量 ,XY也有各自的分也有各自的分布函數(shù)布函數(shù),分別記為分別記為 ,XYFxFy XFxP Xx 變量變量 (X,Y) 關(guān)于關(guān)于 X 和和 Y的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)依次稱為二維隨機(jī) ,YFyP YyP XYyFy 一、邊緣分布函數(shù)一、邊緣分布函數(shù) ,P Xx Y ,F x一般地，對一般地，對離散型離散型 r.v ( X,Y )，則則 (X,Y) 關(guān)于關(guān)于X 的邊緣分布律的邊緣分布律為為X和和Y 的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律為為, 2

5、 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp ,2,1iixXP1,jjiiyYxXxX二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律. ip (X,Y) 關(guān)于關(guān)于 Y 的邊緣分布律的邊緣分布律為為jyYPjiijjiippyYxXP.11, 1,2,j 例例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) ，而，而 Y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3

6、) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=0YX1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 PX=0=PX=1=PX=2=PX=3=PY=1=PY=3=1/8,PX=0, Y=1+PX=0, Y=3=3/8,PX=1, Y=1+PX=1, Y=3=3/8,PX=2, Y=1+PX=2, Y=3PX=3, Y=1+PX=3, Y=3=1/8. 30,1kP Xk Y =3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8. 30,3k

7、P Xk Y 我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.YX1301 83 8001233 8001 8 jP Yy iP Xx 1 83 83 81 86 82 8聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.YX1301 83 8001233 8001 8 jP Yy iP Xx 1 83 83 81 86 82 8 對對連續(xù)型連續(xù)型 r.v ( X,Y ) ，X 和和Y

8、 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為則則 ( X,Y ) 關(guān)于關(guān)于 X 的邊緣概率密度的邊緣概率密度為為),(yxfdyyxfxfX),()( dyyxfdxxFxFxX,事實(shí)上事實(shí)上 , ,XXfxFxfx y dy 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度 x ( X,Y )關(guān)于關(guān)于Y 的邊緣概率密度的邊緣概率密度為為dxyxfyfY),()( y 例例2 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量( X ,Y ) 的概率密度為的概率密度為xyxyyf x y8,0,01,( , )0, 其其他他聯(lián)合分布函數(shù)為聯(lián)合分布函數(shù)為求邊緣概率密度與邊緣分布函數(shù)求邊緣概率密度與邊

9、緣分布函數(shù)F (x,y) =0, x 0 或或 y 0y4 , 0 x 1, 0 y x ，2x2y2y4, 0 x 1, x y 1 ，2x2x4 , 0 x 1, y 1 ，y4 , x 1, 0 y x ，1, x 1, y x ，解：解：),()( xFxFX=0, x 0，2x2x4 , 0 x 1, 1, x 1當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí)),()( xFxFX),()( xFxFXxx242 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)x01 1 0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)x1 XFx( )0, y 0y4 , 0 y 1, 1 , y 1=),()(yFyFY dyyxfxfX),()( 其他其他, 010,81xxvdvxv=u10uv

10、1 其其他他, 010,443xxxYfyf x y dx( )( , ) 08,010,yuyduy 其其他他v=u10uv1yy34,010, 其其他他XXxxxfxFx344,01( )( )0, 其其他他YYyyfyFy34,01( )( )0, 其其他他或或 yxyyxxyxf,)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221 于于是是 21122112221212221)()(2)( xxyyxy dyeexfxyxX2112222121)1(212)(221121)( dyyxfxfX),()(由由于于 令令),(1111222 xyt則則有有 同理同理

11、 yeyfyY,21)(22222)(2 xedteexfxtxX,2121)(2121221212)(122)(1 那么要問，在什么情況下，由邊緣分布那么要問，在什么情況下，由邊緣分布可以唯一確定聯(lián)合分布呢？可以唯一確定聯(lián)合分布呢？兩事件兩事件A,B獨(dú)立的定義是：獨(dú)立的定義是：若若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件則稱事件A,B獨(dú)立獨(dú)立 . 設(shè)設(shè) X,Y是兩個(gè)是兩個(gè)r.v，若對任意的，若對任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 則稱則稱X,Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立 .四、四、 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性1、兩個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性、兩個(gè)隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性定義定義)()()

12、,(yFxFyxFYX用分布函數(shù)表示用分布函數(shù)表示,即即 設(shè)設(shè) X,Y是兩個(gè)是兩個(gè)r.v，若對任意的，若對任意的x,y,有有則稱則稱X,Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立 . 它表明，兩個(gè)它表明，兩個(gè)r.v相互相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積 .因此因此,二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 ( X, Y ) 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,則邊緣分則邊緣分布完全確定聯(lián)合分布布完全確定聯(lián)合分布.),(yxf其中其中是是X,Y的聯(lián)合密度，的聯(lián)合密度，)()(),(yfxfyxfYX 幾乎處處成立，則稱幾乎處處成立，則稱X,Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立 .對任意的對任意的

13、x, y, 有有 若若 (X,Y)是連續(xù)型是連續(xù)型r.v ，則上述獨(dú)立性的，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：定義等價(jià)于：這里這里“幾乎處處幾乎處處成立成立”的含義是：的含義是：在平面上除去面在平面上除去面積為積為0的集合外，的集合外，處處成立處處成立.分別是分別是X的的)(),(yfxfYX邊緣密度和邊緣密度和Y 的邊緣密度的邊緣密度 . 若若 (X,Y)是離散型是離散型r.v ，則上述獨(dú)立性的，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：定義等價(jià)于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP則稱則稱X和和Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立.對對(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有jiijppp 即即 若兩

14、個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立若兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立, 且又有相同且又有相同 的分布的分布, 不能說這兩個(gè)隨機(jī)變量相等不能說這兩個(gè)隨機(jī)變量相等. 如如XP-1 10.5 0.5Y P-1 10.5 0.5X ,Y 相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則X-1 1 -1 10.25 0.25Y 0.25 0.25P X = Y = 0.5, 故不能說故不能說 X = Y .注意注意 02222212122222121212122)(22)(1)()(2)()1(212212121121 yxyyxxeee證證對任何對任何 x,y 有有21,yx取取);,;,(),(222211NYX相互獨(dú)立相互獨(dú)立命題命題 212212

15、121121 故故0 將將0代入代入),(yxf即得即得)()(),(yfxfyxfYX 因?yàn)橐驗(yàn)閄與與Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,解解所以所以ijijP Xx YyP Xx P Yy, 0.3 0.60.18 于是于是P XYP XP Y1,212 例例4 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與與Y 的分布律為的分布律為Y 2 4PY 0.6 0.4X 1 3PX 0.7 0.3求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 (X,Y) 的分布律的分布律P XYP XPY1,41 4 P XYP XPY3,23 2 P XYP XPY3,43 4 0.70.60.42 0.3 0.40.12 0.70.40.28

16、 因此（因此（X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為YX2 4 0.18 0.12 3 0.42 0.28 例例5 已知已知 ( X, Y ) 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為其他, 010 , 10,4),(1yxxyyxf(1)其他, 010 ,0,8),(2yyxxyyxf(2)討論討論X ,Y 是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？解解(1)11xx2 ,01,0, 其其他他yy2 ,01,0, 其其他他顯然，顯然，)()(),(1yfxfyxfYX 故故X ,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 dyyxfxfX),()(xydyx104,01,0, 其其他他Yfyf x y dx( )( , ) xydxy104,0

17、1,0, 其其他他(2)xxx24 (1),01,0, 其其他他yy34,01,0, 其其他他顯然，顯然，)()(),(2yfxfyxfYX 故故X ,Y 不獨(dú)不獨(dú) 立立11 dyyxfxfX),()(xxydyx18,01,0, 其其他他Yfyf x y dx( )( , ) yxydxy08,01,0, 其其他他上上服服從從均均勻勻分分布布且且都都在在相相互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)1 , 0,YX有實(shí)根的概率。有實(shí)根的概率。求方程求方程02 YXtt),1 , 0(,UYX解解1, 01( )0Xxfx，其他1, 01( )0Yyfy，其他,(,)X YX Y相互獨(dú)立 則的概率密度為( , )( )

18、( )XYf x yfx fy例61, 01 010 xy，其他042 YX42XY 24XP Y24( , )xyf x y dxdy 10402xdxdy121 xy0142xy 有實(shí)根有實(shí)根方程方程02 YXtt042 YX例例7 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時(shí)時(shí)30分在某地會面分在某地會面.如果甲來到的時(shí)間在如果甲來到的時(shí)間在12:15到到12:45之間是均勻之間是均勻分布分布. 乙獨(dú)立地到達(dá)乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在而且到達(dá)時(shí)間在12:00到到13:00之間是均勻分布之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過人到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘的概率分

19、鐘的概率. 又甲先到的又甲先到的概率是多少？概率是多少？解解: 設(shè)設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻為甲到達(dá)時(shí)刻,Y為乙到達(dá)時(shí)刻為乙到達(dá)時(shí)刻以以12時(shí)為起點(diǎn)時(shí)為起點(diǎn),以分為單位以分為單位,依題意依題意,XU(15,45), YU(0,60)其它, 04515,301)(xxfX所求為所求為P |X-Y | 5 及及PXY 其它其它, 0600,601)(yyfY解解: 設(shè)設(shè)X為甲到達(dá)時(shí)刻，為甲到達(dá)時(shí)刻， Y為乙到達(dá)時(shí)刻為乙到達(dá)時(shí)刻以以12時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意，時(shí)為起點(diǎn)，以分為單位，依題意，XU(15,45), YU(0,60)其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概

20、率由獨(dú)立性由獨(dú)立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘分鐘的概率的概率解一：解一： 45155x5xdxdy18001P| X-Y| 5 xy015451060405yx5yx=P -5 X -Y 5=1/6=1/2xy01545106040yx PXY 451560 xdxdy18001解二：解二：5| yx |dxdy18001PX YP| X-Y| 5 隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念可以推廣到可以推廣到 n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量則稱隨機(jī)變量X 1, X 2 , , X n 相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若nnXXXnF xxxFx Fx

21、Fx121212(,)()()() 判斷二維連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的判斷二維連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的 兩個(gè)重要結(jié)論兩個(gè)重要結(jié)論1、 設(shè)設(shè)f (x,y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量是二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X ,Y )的聯(lián)合的聯(lián)合 密度函數(shù)，密度函數(shù)，r (x), g(y)為非負(fù)可積函數(shù)，且為非負(fù)可積函數(shù)，且.).()()(),(eaygxryxf 則則(X ,Y )相互獨(dú)立相互獨(dú)立且且.).()()()(eadxxrxrxfX .).()()()(eadyygygyfY 利用此結(jié)果，不需計(jì)算即可得出利用此結(jié)果，不需計(jì)算即可得出(1)中的隨機(jī)變量中的隨機(jī)變量X 與與Y 是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的.再如，服從矩

22、形域再如，服從矩形域(x,y)| a x b, c y d上上的均勻分布的二維隨機(jī)變量的均勻分布的二維隨機(jī)變量( X ,Y ), 其其他他0,)(1),(dycbxacdabyxfX ,Y 是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的. 且其邊緣分布也是均勻分布且其邊緣分布也是均勻分布 其其他他, 0,1)(bxaabxfX 其其他他, 0,1)(dyccdyfY若若 其他其他00, 06),(32yxeyxfyx則則 X ,Y 是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的. 且其邊緣概率密度為且其邊緣概率密度為 其其他他, 00,2)(2xexfxX 其他其他, 00,3)(3yeyfyY若若 其他其他00, 21),(3yxeyxfy則則 X ,Y 是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的. 且其邊緣概率密度為且其邊緣概率密度為 其其他他,