分解因式分組分解法

1、名師輔導教學內(nèi)容：分解因式 分組分解法本章介紹了分解因式的兩種基本方法.為了使讀者更多的掌握靈活進行分解因式的方 法，下而以專題的形式介紹另外兩種分解因式的方法.【基礎知識精講】(1) 理解分組分解法的意義：(2) 能通過分組為使用提公因式法和運用公式法分解因式創(chuàng)造條件；(3) 重點是能根據(jù)分組的目的，找到恰當?shù)姆纸M方法：(4) 難點是預見分組后的結(jié)果，調(diào)節(jié)分組方案.【重點難點解析】1. 分組分解法的意義有的多項式各項既沒有公因式，也不能直接運用公式分解因式，但是某些項通過適當?shù)?結(jié)合成為一組，利用分組來分解一個多項式的因式，這種方法叫分組分解法.它并不是一種 獨立的因式分解的方法，而是為提公

2、因式或運用公式分解因式創(chuàng)造條件.2. 如何分組分組分解方法比較靈活，英關鍵在于分組要適當，它的分組原則是：分組后能直接提 取公因式：分組后能直接運用公式.【典型熱點考題】 分解因式，結(jié)果是 A. (“+)(c) C(a+/?)(“+c)()B(ab)(ac)D(ab)(a-c)(2002年,云南省)點悟：本題分組方法比較多，可一、二項，也可一、三項進行分組.解法 1：原式=a(ab)-c(ab)= (“一 b)(+c)故選D解法 2：原式=a(a+c)b(a-c)= (“ b)(“+c)故選D.點撥：此類題不可一、四結(jié)合分組，原因是二者沒聯(lián)系.例 2-bx-a2 + ab =. (2002 年

3、，武漢市)點悟：本題可一、三，二、四進行分組分解因式.解：原式=(x2 -a-bx-ab)=(x“)(x+d)b(xa)=(xa)(x-ab)點撥：此題也不可亂分組，形成無關現(xiàn)象將會無法分解下去.例3分解因式x3-x2-x+.點悟：此題按系數(shù)比為1或者為一 1，可有不同的分組方法.解法 1：原式=(X、+ 1) (X + X)=(X+1)(A-2 - X+1)-X(X + 1)= (x + l)(x-l)2.解法 2：原式=(xf ) (x 1)=a:2(x-1)-(x-1)= (x-l)(x2-l)= (x-1)2(a + 1).點撥：分組時，不僅要注意各項的系數(shù)，還要注意到各項次數(shù)之間的關

4、系.這往往可以 啟示我們對下一步分解的預測是提公因式還是應用公式等.例 4 分解因式 16a2 -4b2 +2bc-9c2.點悟：后三項提負號后是完全平方式，和原來的1&正好可繼續(xù)用平方差公式分解因式.解： 1&/2-4戸+12/-9疋= 16/-(4，_12bc + 9c2)= (4a)2(2b 3e)2=(4a 一 2b+3c)(4a+2b 3c)點撥：由例1、例2可看岀，對于四項式來說，如果是等項分組，則分解方法不止一種; 如果是不等項分組，則只有一種分解方法.例 5 已知 X2y=3,求x2 -4xy + 4y2 -3x + 6y 的值.點悟：可將已知式分解因式后求解.分解時注意：五項

5、式分組常為三項、二項，且把符 合公式的分為一組，所以前三項x2-4xy + 4y2為一組，后二項一3x+6y為另一組.解： x2 -4xy + 4y2 -3x + 6y=(x2 _ 4xy + 4y2) + (-3x + 6y)= (x-2y)2 -3(x-2y)=(x2y)(x 2y3).原式= 3X(3-3)=O例 6 分解因式x2+4xy + 4y2-92+6t/-l.點悟：前三項與后三項均符合完全平方公式，且兩者之間的符號相反，又可用平方差公 式.解： x2 + 4xy + 4y2 -9a2 + 6-1= (x + 2y)2-(3-D2=(x+2y + 3 “ 一 1 )(x+2y3

6、“ +1)例 7 分解因式x2-2xy + y2-2x + 2y + .點悟：依次分為三項、二項、一項共三組，使其化為二次三項式，再繼續(xù)運用完全平方 公式分解.解： x2 -2xy + y2 -2x + 2y + = (x-y)2-2(x-y) + = d-y-i)2例 8 分解因式(x+2)(x2)4y(xy).點悟：原多項式中有括號，且無法直接再繼續(xù)分解因式，這時，應考慮去掉括號，重新 分組，則可“柳暗花明”，出現(xiàn)轉(zhuǎn)機.解：(x+2)(x-2)-4y(x-y)=x2 -4-4xy + 4y2= (x2 一4與 + 4冋一4= (x-2y)2-22=(x 2y + 2)(x 2y 2)例9已

7、知x+y=2,求x3 + 6xy + y3的值.點悟：根據(jù)題設條件：a+j=2,欲求代數(shù)式的值，必須將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為含有(x+y)的式 子，易知疋+尸=(兀+刃(/一馬+)，2)中有(x+y)項，然后再繼續(xù)進一步變形.解：J x+y=2,/ x3 + 6小 + y3 = (x3 + y) + 6xy=(x+ yXx -xy + y2) + 6xy=2(x2 -xy + y2) + 6xy=2(x2 + 2xy + y2)= 2(x + y)2 =2x22=8.例 10 分解因式(c2-b2+d2-a2)-4(ab-cd)2.點悟：首先應把(c2-b2+d2-a2)與2(,仍一“/)分別看成一個整

8、體，運用平方差公式, 然后再分組分解直至不能分解為止.解： (c2 -b2 +d2 -a2)2 2(ab-cd)2= c2-b2+d2 / +2( M)/ -慶 +2 / 2(“b-c)=(c2 一led + d2) (/ 一2ab + 戸) (c2 +2cd + d2)-(a2 + 2ab + b2)= （C_）2_（“_b）2（c + ）2_（d+b）2=（c+“一b） （c一a+b） （c+“+b） （c+一么一b）【易錯例題分析】例 如果“，方是方程x2+x-l= 0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3+a2b + ab2+b3的值是.(2002年，湖北黃岡市)警示：由/ +b +(ab +

9、ab2) = (a + b) (a2 +ab + b2)+ aba 4-b) = (a + b) (a2 + 2ab+b2) = (a + b)以下則大錯特錯.值得一提的是本題應用了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，這是以后的學習內(nèi)容，在今 后我們將要學到.正解：原式=(沖+戻)+(4鉆+ 2)=(“ + b)(a2 -ab + /?) + aba + b)= a + b)(a2 -ab + b2 + ab)= (a + b)(a2 +b2)=(a + b)(cr +2ab + b2 - lab)=(a + b)(a +b)2 - lab.由已知條件知“+b=-l, ab=-.原式=(_1) x

10、(_1)-_ 2 x (_1)= -(1+2)= _3.【同步達綱練習】一、選擇題1. 用分組分解法把ab-c+b-ac分解因式，分組的方法有()A. 1種B. 2種C. 3種D. 4種2. 用分組分解2bc的因式，分組正確的是A.（廣一 2Z?c）B（a c） + 2beC（/-/）_（c2-2/?c）d. a2 -（h2 +c2 -2bc）3. 用分組分解法把多項式a3-a2b-ab2+b3進行因式分解，不正確的分組方法是（）A （/ 一 /b） ab2 一戻）B （/ 一 ah2） 一的_ 戻）C. （/+，）一（/ + 2）D+4. 分解Sa5-2a2b + 6ab2-b3時，下列分組

11、方法中適當?shù)氖牵ǎ〢. （&r 一12“%） + （62，）B（8/+6“戻）一（12/b +戻）C（&r 一戻）（12a詁一6“戻）D. （&/ 一2ab + 6ubJ-b5. 在以下多項式中：a2+4h2-a + 21 a2-4b2+4b-； a2b2-4ab+4-c2,1&/2_1弘2+&, + 1； 29/+24/疋+ 1&：用分組分解法分解時，能夠分成三項一組 和一項一組的多項式有（）A. 2個B. 3個C. 4丿卜D. 5個二、填空題6 cix+aybxby=7 x2 -2y-4y2 +x = （）+（）：=（） - （）.8 l-x +4yy-4y， =.9. x4 -x2 +8

12、x-16=10. cr +1/+。 + /? b+Z?=三、解答題11. 把下列各式分解因式：+6xy + 9y2 -2x-6y + l:(2) x2 -4y2 -4 + 2x2y-Sy + x2y2:(3) + ir + 6n - 6m 一 2mn + 9 :(4) x5y- x3y + 2x2y- xy :(5) 16a + 2b _2a_b ；(6) 1 + a + ciu +1) + a (a +1) + cici +1)12. 把下列各式分解因式：(1 )9(“+c)(ac) 一 b(b+6c):(2)2(/ +b2)(a + b)2 - (a2 -Z?2)2；(a 一 4)2 +

13、(方一4)2 + 2(ab 一 8)；(4) (/ +b2 -l)2 -4tr/2；(5) a2(b c) + Z?2 (c a) + c2a b)13. 當x-y=l時，求以下代數(shù)式的值：x4 - xy3 - x3y - 3x2y + 3xy2 + y4 .14. 已知g b, c是8BC的三邊長，求證：代數(shù)式(a2+b2-c2)2-4a2b2的值一定為負數(shù).參考答案【同步達綱練習】1. B 2 D 3 D 4. C 5 B6. (x+y)(db)7. x2 -4y2, x2y, x2s x+2y+& (l-x+2y)(l+x-2y)9(妒 +欠一4)(兀2 -x + 4)10. (d +

14、Z?Xd +b2 -ab + a-b + 1)11 (1)原式=(x +3y) 2(x + 3y) +1= (x + 3y-l)(2) 原式=(F + 2x2y + x2y2) 一 (4y2 + 8y + 4)= xy + l)24(y + l)2= (x + 2)(x-2)(y + l)2(3) 原式= (m2 +n2 -2mn)-6m+6n + 9=m 一 n)2 一 6(/n 一 n) + 9=(zn-n-3)2原式=廠(疋-x2 +2x-l)= xyx4-(x-l)2=xy(x2 -x + l)(x2 +x-l)(5) 原式= 2(Sa3+b3)-(2a + b)=2(2a + b)(

15、4a2 一 2ab + b2)-(2a + b)=(2“+ )(&/ -4ab + 2b2 -1)(6) 原式=(a +1)： + a(a +1)2 + a(a +1)3= (d+l)+d(d+l) = (d+l)412. (1)原式=9a，_9c? _b2 _6bc(寸 I q+3H 9I+(q+38l(q+3H 9i+(q +381+ +3H 9 一 lqne+91+qg Jq+9E00l%n 套(E)txq+sH (uz + l/+3Jq+3= L(qs(q + nrrHq+SHJq 13 Jq+3 J(q +3( “q +3Z nKm s (Jclqly)(+q+、&H (+9+%6)

16、|(菽)“Iu(lx 口 (Ix3lq)(ql3= 口。lq)ol(olq)D(qu)H 廠。+ oq I g I qu一(q I3H %+(q+SO I 宜(q IU)H (q 3%+ (2 J331 (心 I3U H (q 13 %+($q I Au)$q I q%) H (q lu)%+ Fq I +川匸 I qlj H Hm6 (Ilql3(I + qls(Ilq+s(I + q+3H=J(ql5=Iq+3T (quz 1112 +)( +11 q +%) H 械匱(寸):.x4 _ xy3 _ x3y _ 3x2y + 3xy2 + y4=(x4 _ x3y) _ (xy _) _ 3x)(x _ y)=X (x _ y) _)，(x _ y) _ 3xyx _ y)= (x-y)(x-y3-3x)0