精品 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析： 1導(dǎo)數(shù)的定義、意義與性質(zhì)：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：對于函數(shù)f(x)，當(dāng)自變量x在x0處有增量x，則函數(shù)y相應(yīng)地有改變量y=f(x0+x)-f(x0)，這兩個增量的比 叫做函數(shù)y=f(x)在x0到x0+x之間的平均變化率，即 。如果當(dāng)x0時， 有極限，我們說函數(shù)在x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率）。記作f(x0)或 ，即 。（2）導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處可導(dǎo)，這時，對于開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個值x0，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f(x0)，這樣就在開區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們把這一新函數(shù)叫做f(x

2、)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作f(x)或y，即 。（3）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。 （4）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：過曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)(x,y)的切線的斜率就是f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)，即 。也就是說，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線的斜率是f(x0)，切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0)。2求導(dǎo)數(shù)的方法：（1）求函數(shù)y=f(x)在x0處導(dǎo)數(shù)的步驟： 求函數(shù)的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均變化率 取極限，得導(dǎo)數(shù) 。（2）幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： C=0(C為常數(shù))； (xn)=nxn-1 (nQ)； (si

3、nx)=cosx； (cosx)=-sinx； (ex)=ex； (ax)=axlna ； （3）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： (uv)=uv (uv)=uv+uv （4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)。說明：1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)實質(zhì)是一個極限問題，不應(yīng)理解為平均變化率，而是平均變化率的極限。2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要熟練掌握求導(dǎo)公式，特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要學(xué)會合理地分析3搞清導(dǎo)數(shù)的幾何意義，為解決實際問題，如切線，加速度等問題打下理論基礎(chǔ)。 二、典型例題：例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=(2x-3)5 y=sin32x解析： 設(shè)u=2x-3，則y=(2x-3)5

4、分解為y=u5，u=2x-3由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得： y=f(u)u(x)=(u5)(2x-3)=5u42=10u410(2x-3)4 設(shè)u=3-x，則 可分解為 ， 。 y=3(sin2x)2(sin2x)=3sin22xcos2x(2x)=6sin22xcos2x例2已知曲線 ，問曲線上哪一點(diǎn)處切線與直線y=-2x+3垂直，并寫出這一點(diǎn)切線方程。 解析： ，令 ，即 ， 得x=4，代入 ，得y=5，曲線在點(diǎn)(4,5)處的切線與直線y=-2x+3垂直，切線方程為 ，即x-2y+6=0。例3已知曲線C：y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程； 第小題中切線與曲線C

5、是否還有其它公共點(diǎn)。解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4， 切點(diǎn)為(1,-4)，y=12x3-6x2-18x 切線斜率為k=12-6-18=-12， 切線方程為y=-12x+8。由 得3x4-2x3-9x2+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0， 。公共點(diǎn)為(1,-4)（切點(diǎn)）， ，除切點(diǎn)外，還有兩個交點(diǎn) 。評析：舉例說明曲線與直線相切并不說明只有一個公共點(diǎn)，當(dāng)曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個公共點(diǎn)，這種觀點(diǎn)對一般曲線不一定正確。*例4設(shè) ，求f(x)。解析：當(dāng)x0時， ，當(dāng)x0 B.x 09設(shè)f(x)=esinx，則f()為 （ ） A、1B、-

6、1C、2D、-210設(shè)y=f(e-x)可導(dǎo)，則y等于（ ）。 A、f(e-x)B、e-xf(e-x)C、-e-xf(e-x)D、-f(e-x)答案與解析 答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C解析：略。專題輔導(dǎo)例談導(dǎo)數(shù)在解高考試題中的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)中強(qiáng)有力的工具，特別在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值方面有著獨(dú)特的作用。本文將依托近幾年的高考試題，例談導(dǎo)數(shù)在解高考試題中的應(yīng)用。一、導(dǎo)數(shù)在解高考選擇題中的應(yīng)用例1（1993理第14題）如果圓柱軸截面的周長l為定值，那么體積的最大值為（ ）。 A、 B、 C、 D、 解：設(shè)圓柱的底

7、面半徑為r，高為h，體積為V，則4r+2h=l, ， V=lr-6r2, 令V=0，得r=0或 ，而r0, 是其唯一的極值點(diǎn)。當(dāng) 時，V取得最大值，最大值為 。 應(yīng)選A。例2（1995年理第11題）已知函數(shù)y=loga(2-ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍為（ ）A、（0，1）B、（1，2）C、（0，2）D、2，+）解： ，由題意可知：y0， ，即 ，或 在0，1上恒成立。當(dāng) 時，由logae0得a1.由2-ax0得： 在0，1上恒成立，而 在0，1上的最小值為2，所以只需a2。由上討論可知1a2。注：作為選擇題即可選出答案B，可以用同樣的方法得出另外一種情況不成立。例3（1996

8、年理第14題）母線長為1的圓錐體積最大時，其側(cè)面展開圖圓心角等于（）。 A、 B、 C、 D、 解：設(shè)母線與底面夾角為，則底面半徑r=cos，h=sin， , , ,令V=0, 得 ，而 ， ，而它是唯一的極值點(diǎn)。 當(dāng) 時，V取得最大值，此時 ，此時側(cè)面展開圖圓心角 ，應(yīng)選D。評：上述幾個選擇題是當(dāng)年高考中難度最大，得分率最低的選擇題，但用導(dǎo)數(shù)求解，可以大大降低試題的難度。二、導(dǎo)數(shù)在解高考解答題中的應(yīng)用例1（1991年理第24題）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明：f(x)=-x3+1在（-，+）上為減函數(shù)。分析：如果去掉證明的要求，本題就成為一個“口答題”即f(x)=-3x2 0, f(x)=-x3

9、+1在（-，+）上為減函數(shù)。例2（1997年理22題）甲，乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知：汽車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(千米/小時)的平方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a。（I）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/小時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；（II）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？解：（I）（略解） 。（II） ，令y=0，得 。當(dāng) 時， 是該函數(shù)唯一的極值點(diǎn)。 當(dāng) 時，y取得最小值，即全程的運(yùn)輸成本最小。 當(dāng) 時，而v(0,c，所以 ，此時y0或f(x)0時，即 在R上恒成立， 而當(dāng)x時， ，所以這樣的a不存在。（2）當(dāng)f(x)1時f(x)為單調(diào)函數(shù)。例4（2001年理第20題）設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面的面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為(0，所以 ，在 時為增函數(shù)。 當(dāng) 時，能使宣傳畫所用的紙張面積最小。三、反思以前我們研究函數(shù)的單調(diào)性時，時常要用到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，而這種方法不是教材中所要求的；