數(shù)值變量的描述性統(tǒng)計

1、 第一講第一講 計量資料的統(tǒng)計描述計量資料的統(tǒng)計描述第一節(jié)第一節(jié) 頻數(shù)分布頻數(shù)分布第二節(jié)第二節(jié) 集中趨勢的描述集中趨勢的描述第三節(jié)第三節(jié)離散趨勢的描述離散趨勢的描述第四節(jié)第四節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布第五節(jié)第五節(jié) 醫(yī)學參考值范圍的制定醫(yī)學參考值范圍的制定第一節(jié)第一節(jié) 頻數(shù)分布頻數(shù)分布 一、頻數(shù)分布表（一、頻數(shù)分布表（frequency table） 例例2-1 測得測得130名健康成年男子脈搏資料名健康成年男子脈搏資料(次次/分分)如下，試編制如下，試編制頻數(shù)表和觀察頻數(shù)分布情況。頻數(shù)表和觀察頻數(shù)分布情況。75767269667257687172697273828082676973647458706

2、460776677646776757571656276727160677575737966697978707270727872677280687061707372718170667571637774766865776977757964797376618064697073696865706966816364807478768466707360768273646573736380687670797764706669737876 （1）求極差求極差（range）：即最大值與最小值之差，又稱）：即最大值與最小值之差，又稱為全距。為全距。R84 57 =27(次次/分分) （2） 決定分組組數(shù)、組距決定

3、分組組數(shù)、組距：根據(jù)研究目的和樣本含量：根據(jù)研究目的和樣本含量n確定分組組數(shù)，通常分為確定分組組數(shù)，通常分為1015個組。組距個組。組距=極差極差/組數(shù)，組數(shù)，為方便計，組距為極差的十分之一為方便計，組距為極差的十分之一, 再略加調(diào)整。再略加調(diào)整。27/10=2.7 3 （3） 列出組段列出組段：第一組段的下限略小于最小值，最后一：第一組段的下限略小于最小值，最后一個組段上限必須包含最大值。個組段上限必須包含最大值。56 59 80 8385 （4） 劃記計數(shù)劃記計數(shù)：用劃記法將所有數(shù)據(jù)歸納到各組段，得：用劃記法將所有數(shù)據(jù)歸納到各組段，得到各組段的頻數(shù)。到各組段的頻數(shù)。頻數(shù)表的編制步驟頻數(shù)表的

4、編制步驟表2-1 130名健康成年男子脈搏(次/分)的頻數(shù)分布表Nf f 二、頻數(shù)分布圖三、頻數(shù)表和頻數(shù)分布圖用途三、頻數(shù)表和頻數(shù)分布圖用途1描述頻數(shù)分布的描述頻數(shù)分布的類型類型（對稱分布、偏態(tài)分布）（對稱分布、偏態(tài)分布） （1 1）對稱分布）對稱分布 ：若：若各組段的頻數(shù)以中各組段的頻數(shù)以中心位置左右兩側(cè)大心位置左右兩側(cè)大體對稱，就認為該體對稱，就認為該資料是對稱分布資料是對稱分布 是否為對稱分布？是否為對稱分布？（2）偏態(tài)分布）偏態(tài)分布 ： 1）右偏態(tài)分布（正偏態(tài)分布）：右側(cè)的組段數(shù)多于）右偏態(tài)分布（正偏態(tài)分布）：右側(cè)的組段數(shù)多于左側(cè)的組段數(shù)，頻數(shù)向右側(cè)拖尾。左側(cè)的組段數(shù)，頻數(shù)向右側(cè)拖尾。

5、 血清轉(zhuǎn)氨酶（mmol/L）051015202513.519.525.531.537.543.5.圖2-2 115名正常成年女子血清轉(zhuǎn)氨酶的頻數(shù)分布人 數(shù)轉(zhuǎn)氨酶含量 人 數(shù) 12 2 15 9 18 14 21 23 24 19 27 14 30 11 33 9 36 7 39 4 4245 3 表表2-2 115名正常成年女子血清轉(zhuǎn)氨名正常成年女子血清轉(zhuǎn)氨酶（酶（mmol/L）含量分布）含量分布 2）左偏態(tài)分布（負偏態(tài)分布）： 左側(cè)的組段數(shù)多于右側(cè)的組段數(shù)，頻數(shù)向左側(cè)拖尾。 血 清 肌 紅 蛋 白（g / m L）05101520252.512.522.532.542.552.5圖 2-3

6、101 名 正 常 人 血 清 肌 紅 蛋 白 的 頻 數(shù) 分 布人 數(shù)肌 紅 蛋 白 含 量 人 數(shù) 0 2 5 3 10 7 15 9 20 10 25 22 30 23 35 14 40 9 45 50 2 表表2-3 101名正常人的血清肌紅蛋白含量分布名正常人的血清肌紅蛋白含量分布g/mL2描述頻數(shù)分布的描述頻數(shù)分布的特征特征表表21數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布特征：數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布特征：數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的范圍在的范圍在5784 （次（次/分分 ）數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)在在6873 （次（次/分）分）之間，尤以組段的人數(shù)之間，尤以組段的人數(shù)71（次（次/分）最多。分）最多。且上下組段的頻數(shù)分布基本對稱。且上下組段的頻數(shù)分

7、布基本對稱。3便于發(fā)現(xiàn)一些特大或特小的可疑值便于發(fā)現(xiàn)一些特大或特小的可疑值 4便于進一步做統(tǒng)計分析和處理便于進一步做統(tǒng)計分析和處理第二節(jié)第二節(jié) 集中趨勢的描述集中趨勢的描述 統(tǒng)計上使用平均數(shù)（統(tǒng)計上使用平均數(shù)（average）這一指標體系來描）這一指標體系來描述一組變量值的集中位置或平均水平。述一組變量值的集中位置或平均水平。常用的平均數(shù)有常用的平均數(shù)有: 算術(shù)均數(shù)（均數(shù)）（算術(shù)均數(shù)（均數(shù)）（mean） 幾何均數(shù)（幾何均數(shù)（geometric mean） 中位數(shù)中位數(shù) （median）與百分位數(shù)（）與百分位數(shù)（percentile） 眾數(shù)（眾數(shù)（mode） 一、算術(shù)均數(shù)一、算術(shù)均數(shù)算術(shù)均數(shù)：簡

8、稱均數(shù)（算術(shù)均數(shù)：簡稱均數(shù)（mean） 可用于反映一組呈對稱分布的變量值可用于反映一組呈對稱分布的變量值在數(shù)量上的平均水平或者說是集中位置在數(shù)量上的平均水平或者說是集中位置的特征值。的特征值。1、計算方法、計算方法（1）直接計算法）直接計算法 公式公式 ：12nXXXXXnn舉例：試計算舉例：試計算4，4，4，6，6，8，8，8，10的均數(shù)？的均數(shù)？1323101836243X例例2-1 測得測得130健康成年男子脈搏資料健康成年男子脈搏資料(次次/分分)如下，試編制頻如下，試編制頻數(shù)表和觀察頻數(shù)分布情況。數(shù)表和觀察頻數(shù)分布情況。75767269667257687172697273828082

9、67697364745870646077667764677675757165627672716067757573796669797870727072787267728068706170737271817066757163777476686577697775796479737661806469707369686570696681636480747876846670736076827364657373638068767079776470666973787632.711307678727675X（2）加權(quán)法）加權(quán)法(利用頻數(shù)表）：利用頻數(shù)表）：公式 ：112233123kkkfXf Xf Xf Xf

10、 XXfffffX 本組段下限值+下組段下限值其中2k：頻數(shù)表的組段數(shù)，：頻數(shù)表的組段數(shù)， f ：頻數(shù)，：頻數(shù)， X：組中值。：組中值。表2-2 130名健康成年男子脈搏(次/分)的頻數(shù)分布表Nf ffXfXfXfX2 22 57.55 60.51 84.5931171.62()251130X 次 分2、應(yīng)用、應(yīng)用 均數(shù)均數(shù)適用于對稱分布，特別適用于對稱分布，特別是正態(tài)分布資料。是正態(tài)分布資料。二、二、 幾何均數(shù)（幾何均數(shù)（geometric mean） 可用于反映一組經(jīng)可用于反映一組經(jīng)對數(shù)對數(shù)轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換后呈對稱分布或正態(tài)分后呈對稱分布或正態(tài)分布的變量值在數(shù)量上的平均布的變量值在數(shù)量上的平均水平

11、。水平。幾何均數(shù)（幾何均數(shù)（geometric meangeometric mean）12121lg1lg(lglglg)lglgnnnGX XXXGXXXnnXGn為正值，為底的反對數(shù)表示以為底的對數(shù)；表示以010lg10lg1X幾何均數(shù)幾何均數(shù)：變量變量對數(shù)值的對數(shù)值的算術(shù)均算術(shù)均數(shù)數(shù)的反對數(shù)的反對數(shù)。 其他對數(shù)（如自然對數(shù)）變換獲得相同的幾何均數(shù)例例2-5 有有8份血清的抗體效價分別為份血清的抗體效價分別為1:5, 1:10, 1:20, 1:40, 1:80, 1:160,1:320,1:640,求平均抗體效價。求平均抗體效價。57.566403201608040201058G1lg

12、(lg5lg10lg20lg640)/856.57G平均抗體效價為：平均抗體效價為： 1：57（2）加權(quán)法）加權(quán)法公式：公式：1lglg ()fXGf 例例2-6 69例類風濕關(guān)節(jié)炎（例類風濕關(guān)節(jié)炎（RA）患者）患者血清血清EBV-VCA-lgG抗體滴度的分布見表抗體滴度的分布見表2-4第第(1)、(2)欄，求其平均抗體滴度。欄，求其平均抗體滴度。111lg150.2778lg () lg () lg (2.1779) 150.669fXGf2、應(yīng)用：、應(yīng)用： 適用于成等比數(shù)列的資料，適用于成等比數(shù)列的資料，特別是服從對數(shù)正態(tài)分布資特別是服從對數(shù)正態(tài)分布資料。料。三、三、 中位數(shù)與百分位數(shù)中位

13、數(shù)與百分位數(shù)11個大鼠存活天數(shù)：個大鼠存活天數(shù)：4，10，7，50，3，15，2，9，13，60，60平均存活天數(shù)平均存活天數(shù)?（一）中位數(shù)（一）中位數(shù)（median） 是將每個變量值從小到大排列，是將每個變量值從小到大排列，位置位置居于中間的那個變量居于中間的那個變量。 計算計算公式公式: n為奇數(shù)時為奇數(shù)時 n為偶數(shù)時為偶數(shù)時 1()2nMX()(1)2212nnMXX例例2-3 9名中學生甲型肝炎的潛伏期名中學生甲型肝炎的潛伏期分別為分別為12，13，14， 14， 15， 15， 15， 17, 19天，求其天，求其中位數(shù)中位數(shù)。88451222214 15 214.5()MXXXX如

14、果只調(diào)查了前八位中學生，則：（）（ ）天)(155219天XXM頻數(shù)表資料的中位數(shù)頻數(shù)表資料的中位數(shù)(50%)(50%)LmMnnfMLif 所在組段下限值至該下限值的累計頻數(shù)組距所在組段下限值至上限值間的頻數(shù)下限值下限值L上限值上限值Ui; fm中位數(shù)中位數(shù)M)%50(Lfn例21頻數(shù)表中位數(shù)的計算Nf f中位數(shù)71+3x(130 x50%59)/2671.69應(yīng)用應(yīng)用1、各種分布類型的資料、各種分布類型的資料2、特別適合大樣本、特別適合大樣本偏態(tài)偏態(tài)分布資料或分布資料或者者一端或兩端無確切數(shù)值的資料一端或兩端無確切數(shù)值的資料。 %X(100)%XXP 百分位數(shù)示意圖百分位數(shù)示意圖（二）百分

15、位數(shù)（二）百分位數(shù)（percentile）1直接計算法直接計算法 設(shè)有設(shè)有n個原始數(shù)據(jù)從小到大排列，第個原始數(shù)據(jù)從小到大排列，第X百分位數(shù)的計算公式為：百分位數(shù)的計算公式為：當當 為帶有小數(shù)位時：為帶有小數(shù)位時： 當當 為為 整數(shù)時：整數(shù)時：%nXtrunc(%) 1XnXPX(%)(% 1)12XnXnXPXX%nXTrunc()取整函數(shù)取整函數(shù) 例例 對某醫(yī)院細菌性痢疾治愈者的住院對某醫(yī)院細菌性痢疾治愈者的住院天數(shù)統(tǒng)計，天數(shù)統(tǒng)計，120名患者的住院天數(shù)從小到大名患者的住院天數(shù)從小到大排列如下，試求排列如下，試求第第5百分位數(shù)和百分位數(shù)和第第99百分位百分位數(shù)。數(shù)。患患 者者：住院天數(shù)住院天

16、數(shù)： （1）n=120， ，為整數(shù)為整數(shù)： 5(6)(7)11(34)3.5()22PXX天120 5%61 2 3 4 5 6 7 8 9 117 118 119 120 1 2 2 2 3 3 4 4 5 40 40 42 45 （2） ，帶有小數(shù)，帶有小數(shù)，故取整故取整 trunc（118.8）= 118120 99% 118.899(119)(%) 142()trunc nXPXX天患患 者者：住院天數(shù)住院天數(shù)：1 2 3 4 5 6 7 8 9 117 118 119 120 1 2 2 2 3 3 4 4 5 40 40 42 452頻數(shù)表法 公式：(%)XXXLXiPLnXff

17、XL：第X 百分位數(shù)所在組段下限 Lf ：小于XL各組段的累計頻數(shù) Xi：第X 百分位數(shù)所在組段組距 n：為總例數(shù) 當 時，公式（2-9）即為中位數(shù)的計算公式50505050()2LinMPLff1%50%2X 例例2-9 試分別求例試分別求例21頻數(shù)表的第頻數(shù)表的第25、第、第75百分位數(shù)。百分位數(shù)。P2565+3x(130 x25%19)/1565.90P7574+3x(130 x75%85)/1974.66眾數(shù)（mode） 眾數(shù)是一組觀察值中出現(xiàn)頻率最高的那個觀察值；若為分組資料，眾數(shù)則是出現(xiàn)頻率最高的那個組段的組中值。適用于大樣本；較粗糙。 例2-7 有16例高血壓病人的發(fā)病年齡(歲)

18、為：42,45,48,51,52,54,55,55,58,58,58,58,61,61,62,62，試求眾數(shù)。眾數(shù)（mode） 眾數(shù)是一組觀察值中出現(xiàn)頻率最高的那個觀察值；若為分組資料，眾數(shù)則是出現(xiàn)頻率最高的那個組段的組中值。適用于大樣本；較粗糙。 例2-7 有16例高血壓病人的發(fā)病年齡(歲)為：42,45,48,51,52,54,55,55,58,58,58,58,61,61,62,62，試求眾數(shù)。正態(tài)分布時： 均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)正偏態(tài)分布時：均數(shù)均數(shù) 中位數(shù)中位數(shù) 眾數(shù)眾數(shù)負偏態(tài)分布時：均數(shù)均數(shù) 中位數(shù)中位數(shù) 眾數(shù)眾數(shù) 設(shè)有甲、乙、丙三名醫(yī)生，分別對相同的設(shè)有甲、乙、丙三名醫(yī)生，

19、分別對相同的5份血樣進行份血樣進行紅細胞計數(shù)（萬紅細胞計數(shù)（萬/mm3），甲得出了），甲得出了560、540、500、460、440，乙得出了，乙得出了520、510、500、490、480，丙得出了，丙得出了510、505、500、495、490，見下圖，見下圖2，三名醫(yī)生的計數(shù)結(jié)果得，三名醫(yī)生的計數(shù)結(jié)果得到的均數(shù)均為到的均數(shù)均為500，5個數(shù)值之和均為個數(shù)值之和均為2500。第三節(jié)第三節(jié) 離散趨勢的描述離散趨勢的描述甲醫(yī)生得出的5個觀察值間的差異（離散程度）較大，而丙醫(yī)生得出的5個觀察值間的差異（離散程度）較小。常用統(tǒng)計指標：常用統(tǒng)計指標：極差、四分位數(shù)間距、極差、四分位數(shù)間距、方差、標準

20、差和變異系數(shù)。方差、標準差和變異系數(shù)。一、極差（一、極差（Range） 極差，用極差，用R表示：即一組變量值最大表示：即一組變量值最大值與最小值之差。值與最小值之差。 對于書中例對于書中例2-1數(shù)數(shù)據(jù)，有據(jù)，有845727(/)R 次 分簡單，但僅利用了兩端點值，穩(wěn)定性差。二、四分位數(shù)間距二、四分位數(shù)間距（quartile range） 四分位數(shù)間距，用Q表示： Q=下四分位數(shù)： 上四分位數(shù)：50P2575PP 25LQP75UQP25P100P0P75P例21數(shù)據(jù)P2565+3x(130 x25%19)/1565.90P7574+3x(130 x75%85)/1974.66三、方差與標準差三

21、、方差與標準差 1. 方差（方差（variance）也稱均方差）也稱均方差（mean square deviation），反映一組數(shù)），反映一組數(shù)據(jù)的平均離散水平。據(jù)的平均離散水平。 總體方差總體方差 樣本方差樣本方差 22()XN離均差平方和SS22()1XXSn2、公式： 樣本標準差用 表示 ，其度量單位與均數(shù)一致，所以最常用。公式：總體標準差用表示 2()XNS2()1XXSn離均差平方和SS 標準差的公式還可以寫成 ：利用頻數(shù)表計算標準差的公式為22()1XXnSn22()1fXfXfSf例2-11 對例2-1的前10個數(shù)據(jù): 75,76,72,69,66,72,57,68,71,72

22、, 用直接法計算標準差。48984727675,698727675,102222XXn248984698 /105.41()10 1S次/分例2-12 利用表2-2中的數(shù)據(jù)和頻數(shù)表法計算標準差。Nf ffXfXfXfX2 22671354.59311.0 /1305.89()130 1S次/分標準差的意義和用途 說明資料的離散趨勢(或變異程度)，標準差的值越大，說明變異程度越大，均數(shù)的代表性越差; .。 標準差與原始數(shù)據(jù)的單位一致，在科技論文報告中，均數(shù)與標準差經(jīng)常被同時用來描述資料的集中趨勢與離散趨勢。 用于計算變異系數(shù) 用于計算標準誤(見第四章) 結(jié)合均值與正態(tài)分布的規(guī)律，估計參考值的范圍

23、(見第五節(jié))。四、變異系數(shù)四、變異系數(shù)C VSX 1 0 0 % 變異系數(shù)(coefficient of variation，CV) 常用于比較度量單位不同度量單位不同或均數(shù)相差均數(shù)相差懸殊懸殊的兩組(或多組)資料的變異程度。 某地某地7歲男孩身高的均數(shù)為歲男孩身高的均數(shù)為123.10cm，標準差為標準差為4.71；體重均數(shù)為；體重均數(shù)為22.59kg，標，標準差為準差為2.26kg,比較其變異度？比較其變異度？ 體重 2.26100%10.14%22.29CV 身高 4.71100%3.83%123.10CV 第四節(jié)第四節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分布圖 2-4 頻 數(shù) 分 布 逐 漸 接 近 正 態(tài)

24、分 布 示 意正態(tài)曲線（正態(tài)曲線（normal curvenormal curve）的發(fā)現(xiàn)）的發(fā)現(xiàn)de Moivre（1667-1754），），published in 1733Laplace（1749-1827）Gauss（1777-1855）正態(tài)分布）正態(tài)分布: 又稱又稱高斯分高斯分布布（Gaussian distribution）一、正態(tài)分布的概念和特征一、正態(tài)分布的概念和特征1正態(tài)分布曲線的數(shù)學表達式正態(tài)分布曲線的數(shù)學表達式(概率密度函數(shù)，概率密度函數(shù)，probability density function，pdf ) ，X 則稱 X 服從正態(tài)分布，記作2( ,)XN ，為 X 的總

25、體均數(shù)， 2為總體方差。 22()21()2Xf Xe2正態(tài)分布的特征正態(tài)分布的特征正態(tài)曲線下面積分布有一定的規(guī)律，總面積正態(tài)曲線下面積分布有一定的規(guī)律，總面積=1。00.10.20.30.40.5-4-3-2-101234 2-5 正態(tài)分布位置變換示意圖 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9-6-5-4-3-2-10123456=0.5 =1=2 2-6 正態(tài)分布形態(tài)變換示意圖 累積面積可通過對概率密度函數(shù)累積面積可通過對概率密度函數(shù)f(X)積分求得積分求得22()21()2XXF XedX X 軸與正態(tài)曲線所夾面積恒等于 1 或 100%； 區(qū)間的面積為 68.27%；

26、 區(qū)間1.96的面積為 95.00%； 區(qū)間2.58的面積為 99.00%。 圖圖2-7 正態(tài)曲線面積分布示意圖正態(tài)曲線面積分布示意圖 二、標準正態(tài)分布二、標準正態(tài)分布見見P404405，ZN(0，1)2221( )2ZZZedZ例2-1的130名健康成年男子脈搏資料的均數(shù)、標準差分別為：71.32與5.80 （次/分）;問在正態(tài)分布假定下，脈搏在6575（次/分）之間有多少人？126571.325.807571.32051.09,.63.0,8ZZ 該界值左側(cè)面積為0.1379該界值左側(cè)面積為0.7357兩者之間的面積為0.73570.1379=0.597860%,即包括60 13078人0

27、 . 00 . 10 . 20 . 30 . 4- 4- 3- 2- 101234Zf ( Z )00.010.020.030.040.050.060.0757606366697275788184Xf(X) 正態(tài)分布 標準正態(tài)分布一、基本概念一、基本概念第五節(jié)第五節(jié) 醫(yī)學參考值范圍的制定醫(yī)學參考值范圍的制定 1.意義：意義：醫(yī)學參考值（醫(yī)學參考值（reference value）是指包括絕大多數(shù)正常人的人體形態(tài)、機能和是指包括絕大多數(shù)正常人的人體形態(tài)、機能和代謝產(chǎn)物等各種生理及生化指標常數(shù)，也稱正代謝產(chǎn)物等各種生理及生化指標常數(shù)，也稱正常值。常值。 由于存在個體差異，生物醫(yī)學數(shù)據(jù)并非由于存在個體差異，生物醫(yī)學數(shù)據(jù)并非常數(shù)而是在一定范圍內(nèi)波動，故采用醫(yī)學參考常數(shù)而是在一定范圍內(nèi)波動，故采用醫(yī)學參考值范圍作為判定正常和異常的參考標準，但不值范圍作為判定正常和異常的參考標準，但不是是“金標準金標準”。2.單、雙側(cè)問題，常依據(jù)醫(yī)學專業(yè)知識而定單、雙側(cè)問題，常依據(jù)醫(yī)學專業(yè)知識而定 雙側(cè)雙側(cè) :如：血清總膽固醇、血液白細胞數(shù)無論過低或過如：血清總膽固醇、血液白