不定積分基本公式表

1、2021/6/161一、不定積分的基本公式一、不定積分的基本公式第四章不定積分第四章不定積分第二節(jié)第二節(jié) 不定積分的基本公式和運(yùn)不定積分的基本公式和運(yùn) 算法則算法則 直接積分法直接積分法二、不定積分的基本運(yùn)算法則二、不定積分的基本運(yùn)算法則三、直接積分法三、直接積分法2021/6/162; )1(,11d21 Cxxx ) )( (;|lnd1 3Cxxx ) )( (;lnd 4Caaxaxx ) )( (不定積分基本公式表不定積分基本公式表; )(d 1為為常常數(shù)數(shù)) )( (kCkxxk ;ede, e Cxaxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2021/6/163；) )( ( Cxxx sindcos 5；

2、) )( ( Cxxx cosdsin 6；) )( ( Cxxx tandsec 72；) )( ( Cxxx cotdcsc 82；) )( ( Cxxxx secdtansec 9；) )( ( Cxxxx cscdcotcsc 102021/6/164；) )( (CxCxxx arccos arcsin1d 112 .cotarctan1122CxCxxx arc d ) )( (2021/6/165;lnd1Cxxx 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)，,1)(lnxx 因?yàn)橐驗(yàn)樗运?)ln(d1Cxxx 綜合以上兩種情況，當(dāng)綜合以上兩種情況，當(dāng) x 0 時(shí)，得時(shí)，得. |lnd1Cxxx

3、例例 1求不定積分求不定積分.d1 xx解解. 01 xx的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)楸环e函數(shù)被積函數(shù)2021/6/166例例 2求不定積分求不定積分.d1)2( xx解解先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)的形式，再利用基先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)的形式，再利用基本積分公式，本積分公式，( (1) ) xxxxxdd252Cx 1251251.723Cxx ( (2) )Cx 1211211 xxxxdd121Cx 212得得.2Cx ;d)1(2 xxx2021/6/167例例 3求不定積分求不定積分.de2 xxx解解 xxxxxd) e2(de2Cx ) e2ln() e2(.2ln1e2Cxx 2021/6/

4、168法則法則 1兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和兩個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和，.d)(d)(d)()( xxgxxfxxgxf即即二、不定積分的基本運(yùn)算法則二、不定積分的基本運(yùn)算法則2021/6/169法則法則1 可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況，可推廣到有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況，即即 xxfxfxfnd)()()(21.d)(d)(d)(21 xxfxxfxxfn 根據(jù)不定積分定義，只須驗(yàn)證上式右端的根據(jù)不定積分定義，只須驗(yàn)證上式右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù).).()(xgxf xxgxxfdd)()(xxgxxfd

5、d)()(證證2021/6/1610法則法則 2被積函數(shù)中的不為零的常數(shù)因子可以被積函數(shù)中的不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面提到積分號(hào)前面，xxfkxxkfd)(d)( (k 為不等于零的常數(shù)為不等于零的常數(shù)) )證證類(lèi)似性質(zhì)類(lèi)似性質(zhì) 1 的證法，的證法，有有即即 xxfkd)( xxfkd)().(xkf 2021/6/1611例例 4求不定積分求不定積分.d)2sin2(xxxxex 但是由于但是由于 任意常數(shù)之和還是任意常數(shù)，任意常數(shù)之和還是任意常數(shù)，xxxxexd)2sin2(xxxxxxexd2sin2dd32521522)cos(2CxCxCex)22(54cos232125CC

6、Cxxex.54cos225Cxxex其中每一項(xiàng)雖然都應(yīng)有一個(gè)積分常數(shù)，其中每一項(xiàng)雖然都應(yīng)有一個(gè)積分常數(shù)，解解 所以只需在最后所以只需在最后寫(xiě)出一個(gè)積分常數(shù)寫(xiě)出一個(gè)積分常數(shù) C 即可即可.2021/6/1612 求積分時(shí)，如果直接用求積分的兩個(gè)運(yùn)算法求積分時(shí)，如果直接用求積分的兩個(gè)運(yùn)算法則和基本公式就能求出結(jié)果，則和基本公式就能求出結(jié)果，三、直接積分法三、直接積分法 或?qū)Ρ环e函數(shù)進(jìn)行或?qū)Ρ环e函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形簡(jiǎn)單的恒等變形 (包括代數(shù)和三角的恒等變形包括代數(shù)和三角的恒等變形) ， 在用求不定積分的兩個(gè)運(yùn)算法則及基本公式就能在用求不定積分的兩個(gè)運(yùn)算法則及基本公式就能求出結(jié)果，求出結(jié)果， 這種

7、求不定積分的方法成為這種求不定積分的方法成為直接積分直接積分法法2021/6/1613例例 5求求.d)1(23 xxx xxxd)1(23 xxxxxd331232 xxxxd3312 xxxxxxxdd3d13d2.213|ln312Cxxxx 解解2021/6/1614例例 6求求.)1(12222xxxxdxxxxxd)1()1(2222xxxxxxxxdd)1()1(1222222xxxxdd1122.arctan1Cxx解解xxxxd)1(122222021/6/1615例例 求求.124xxxdxxxd11124xxxxxxdd111)1)(1(2222xxxxdd2211)1(

8、.arctan33Cxxx解解xxxd1242021/6/1616例例 8求求.sincos2cosxxxxdxxxxxdsincossincos22xxxdsincos.cossinCxx解解xxxxdsincos2cos2021/6/1617例例 9求求.sincos122xxxdxxxxxd2222sincossincosxxxxdd22sin1cos1.cottanCxx解解xxxd22sincos1xxxxdd22sin1cos12021/6/1618例例 10求求.tan2xxdxxxdd2sec.tanCxx解解xxd1sec2xxd2tan2021/6/1619例例 11 已知物體以速度已知物體以速度 v 2 2t2+1 (m/s)作直線運(yùn)動(dòng)，作直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)當(dāng) t=1 s 時(shí)時(shí), 物體經(jīng)過(guò)的路程為物體經(jīng)過(guò)的路程為3m, 求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解解設(shè)所求的運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)所求的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 s = s(t)，按題意有按題意有1