高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 第2課時(shí) 組合的應(yīng)用學(xué)案 蘇教選修23(00001)

1、第2課時(shí)組合的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.2.能解決有限制條件的組合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)組合的特點(diǎn)思考組合的特征有哪些？梳理(1)組合的特點(diǎn)是只取不排組合要求n個(gè)元素是不同的，被取出的m個(gè)元素也是不同的，即從n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出(2)組合的特性元素的無(wú)序性，即取出的m個(gè)元素不講究順序，沒(méi)有位置的要求(3)相同的組合根據(jù)組合的定義，只要兩個(gè)組合中的元素完全相同(不管順序如何)，就是相同的組合類型一有限制條件的組合問(wèn)題例1男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少

2、有1名女運(yùn)動(dòng)員；(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員反思與感悟(1)解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí)，首先要判斷它是不是組合問(wèn)題，組合問(wèn)題與排列問(wèn)題的根本區(qū)別在于排列問(wèn)題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問(wèn)題與取出元素的順序無(wú)關(guān)(2)要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用，即分類與分步的靈活運(yùn)用，在分類和分步時(shí)，一定要注意有無(wú)重復(fù)或遺漏跟蹤訓(xùn)練1在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn)在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加類型二與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題例2如圖，在以AB為直徑的半圓周上，

3、有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4.(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？(2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？反思與感悟(1)圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算常用直接法，也可采用間接法(2)在處理幾何問(wèn)題中的組合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決跟蹤訓(xùn)練2空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，其余點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為_(kāi)類型三分組、分配問(wèn)題例3有6本不同的書，按下列分

4、配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？(1)分成三組，每組分別有1本，2本，3本；(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本；(3)分成三組，每組都是2本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本反思與感悟分組、分配問(wèn)題的求解策略(1)分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題，常見(jiàn)的分組問(wèn)題有三種完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，若有n組均勻，最后必須除以n！.完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象(2)分配問(wèn)題屬于“排列”問(wèn)題分配問(wèn)題可以按要求逐個(gè)分配，也可以分組后再分配跟蹤訓(xùn)練3某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住

5、同一房間，則不同的安排方法有_種例4將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子，求下列方法的種數(shù)(1)每個(gè)盒子都不空；(2)恰有一個(gè)空盒子；(3)恰有兩個(gè)空盒子反思與感悟相同元素分配問(wèn)題的處理策略(1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法隔板法專門解決相同元素的分配問(wèn)題(2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象(nm)，有C種方法可描述為n1個(gè)空中插入m1塊板跟蹤訓(xùn)練4某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位

6、朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有_種1甲、乙、丙三位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有_種2把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有_種3某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯則每天不同午餐的搭配方法共有_種4直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線xn(n0,1,2，5)與平行直線yn(n0,1,2，5)組成的圖形中，矩形共有_個(gè)5要從12人中選出5人參加一次活動(dòng)，其中A，B，C三人至多兩人入選，則有_種不同選法1無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題的解題

7、步驟(1)判斷(2)轉(zhuǎn)化(3)求值(4)作答2有限制條件的組合應(yīng)用題的分類(1)“含”與“不含”問(wèn)題：這類問(wèn)題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來(lái)講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”若正面入手不易，則從反面入手，尋找問(wèn)題的突破口，即采用排除法解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)(2)幾何中的計(jì)算問(wèn)題：在處理幾何問(wèn)題中的組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決(3)分組、分配問(wèn)題：分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間

8、只要元素個(gè)數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因元素不同，仍然是可區(qū)分的答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考組合取出的元素是無(wú)序的題型探究例1解(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C種選法；第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C種選法，故共有CC120(種)選法(2)方法一(直接法)“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分類計(jì)數(shù)原理知共有CCCCCCCC246(種)選法方法二(間接法)不考慮條件，從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有CC246(種)(3)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有C種選法；不選女

9、隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有CC種選法所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有CCC191(種)跟蹤訓(xùn)練1解(1)從中任取5人是組合問(wèn)題，共有C792(種)不同的選法(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需從另外9人中選2人，是組合問(wèn)題，共有C36(種)不同的選法(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C126(種)不同的選法(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分為兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有C種選法，再?gòu)牧硗?人中選4人，有C種選法，共有CC378(種)不同的選法例2解(1)方法一可作出三角形CCCCC116(個(gè))方法二

10、可作三角形CC116(個(gè))，其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有CCCC36(個(gè))(2)可作出四邊形CCCCC360(個(gè))跟蹤訓(xùn)練2205解析方法一可以按從共面的5個(gè)點(diǎn)中取0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)進(jìn)行分類，則得到所有的取法總個(gè)數(shù)為CCCCCCCC205.方法二從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)的方法數(shù)中去掉4個(gè)點(diǎn)全部取自共面的5個(gè)點(diǎn)的情況，得到所有構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為CC205.例3解(1)分三步：先選一本有C種選法，再?gòu)挠嘞碌?本中選兩本有C種選法，最后余下的三本全選有C種選法由分步計(jì)數(shù)原理知，分配方式共有CCC60(種)(2)由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問(wèn)題因此，分配方式共有CC

11、CA360(種)(3)先分三組，有CCC種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書為A，B，C，D，E，F(xiàn)，若第一組取了A，B，第二組取了C，D，第三組取了E，F(xiàn)，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但CCC種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況只能作為一種分法，故分配方式有15(種)(4)在(3)的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方式A90(種)跟蹤訓(xùn)練3114解析5個(gè)人住三個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有(3,1,1)和(2,2,1)兩種當(dāng)為(3,1,1)時(shí)，有CA60(種)，A，B住同一

12、房間有CA18(種)，故有601842(種)當(dāng)為(2,2,1)時(shí)，有A90(種)，A，B住同一房間有CCA18(種)，故有901872(種)根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有4272114(種)例4解(1)先把6個(gè)相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板，有C10(種)(2)恰有一個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000|00|，有C種插法，故共有CC40(種)(3)恰有兩個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙各插一塊隔板，有C種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子，如|00|0000|，有C種插法將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|0000|，有C種插法故共有C(CC)30(種)跟蹤訓(xùn)練410解析第一類：當(dāng)剩余的一本是畫冊(cè)時(shí)，相當(dāng)于把3本相同的集郵冊(cè)和1本畫冊(cè)分給4位朋友，只有1