雞兔同籠問題五種基本公式和例題講解...docx

1、雞兔同籠問題五種基本公式和例題講解【雞兔問題公式】（1）已知總頭數(shù)和總腳數(shù)，求雞、兔各多少：（總腳數(shù) - 每只雞的腳數(shù)總頭數(shù)） （每只兔的腳數(shù) - 每只雞的腳數(shù)）=兔數(shù)；總頭數(shù) - 兔數(shù) =雞數(shù)?；蛘呤牵恐煌媚_數(shù)總頭數(shù)- 總腳數(shù)）（每只兔腳數(shù) - 每只雞腳數(shù)）=雞數(shù)；總頭數(shù) - 雞數(shù) =兔數(shù)。例如，“有雞、兔共 36只，它們共有腳 100只，雞、兔各是多少只？”解一 （100- 236）（ 4-2 ）=14（只） 兔；36-14=22（只） 雞。解二 （436-100 ）（ 4-2 ）=22（只） 雞；36-22=14（只） 兔。（答 略）（ 2）已知總頭數(shù)和雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)雞的總腳數(shù)比兔

2、的總腳數(shù)多時(shí)，可用公式（每只雞腳數(shù)總頭數(shù) - 腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù) +每只兔的腳數(shù)） =兔數(shù)；總頭數(shù) - 兔數(shù) =雞數(shù)或（每只兔腳數(shù)總頭數(shù) +雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù) + 每只免的腳數(shù)） =雞數(shù)；總頭數(shù) - 雞數(shù) =兔數(shù)。（例略）（ 3）已知總數(shù)與雞兔腳數(shù)的差數(shù)，當(dāng)兔的總腳數(shù)比雞的總腳數(shù)多時(shí)，可用公式。（每只雞的腳數(shù)總頭數(shù) +雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù) + 每只兔的腳數(shù)） =兔數(shù)；總頭數(shù) - 兔數(shù) =雞數(shù)?；颍恐煌玫哪_數(shù)總頭數(shù) - 雞兔腳數(shù)之差）（每只雞的腳數(shù) + 每只兔的腳數(shù)） =雞數(shù)；總頭數(shù) - 雞數(shù) =兔數(shù)。（例略）（4）得失問題（雞兔問題的推廣題）的解法，可以用下面的公式：

3、（1只合格品得分?jǐn)?shù)產(chǎn)品總數(shù) - 實(shí)得總分?jǐn)?shù)）（每只合格品得分?jǐn)?shù) +每只不合格品扣分?jǐn)?shù)） =不合格品數(shù)?；蛘呤强偖a(chǎn)品數(shù) - （每只不合格品扣分?jǐn)?shù)總產(chǎn)品數(shù) +實(shí)得總分?jǐn)?shù)）（每只合格品得分?jǐn)?shù) + 每只不合格品扣分?jǐn)?shù)） =不合格品數(shù)。例如，“燈泡廠生產(chǎn)燈泡的工人，按得分的多少給工資。每生產(chǎn)一個(gè)合格品記 4分，每生產(chǎn)一個(gè)不合格品不僅不記分，還要扣除 15分。某工人生產(chǎn)了 1000只燈泡，共得 3525分，問其中有多少個(gè)燈泡不合格？”解一 （41000-3525 ）（ 4+15）=47519=25（個(gè)）解二 1000- （151000+3525）（ 4+15） 1000- 1852519=1000-975

4、=25（個(gè)）（答略）（“得失問題”也稱“運(yùn)玻璃器皿問題” ，運(yùn)到完好無損者每只給運(yùn)費(fèi)元，破損者不僅不給運(yùn)費(fèi)，還需要賠成本元 。它的解法顯然可套用上述公式。 ）（ 5）雞兔互換問題（已知總腳數(shù)及雞兔互換后總腳數(shù)，求雞兔各多少的問題），可用下面的公式：（兩次總腳數(shù)之和） （每只雞兔腳數(shù)和） +（兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差） 2=雞數(shù)；（兩次總腳數(shù)之和）（每只雞兔腳數(shù)之和） - （兩次總腳數(shù)之差）（每只雞兔腳數(shù)之差） 2=兔數(shù)。例如，“有一些雞和兔，共有腳 44只，若將雞數(shù)與兔數(shù)互換，則共有腳 52只。雞兔各是多少只？”解 （52+44）（ 4+2）+（52-44 ）（ 4-2 ）2=202

5、=10（只） 雞（52+44）（ 4+2）- （52-44 ）（ 4-2 ）2=122=6（只） 兔（答略）雞兔同籠目錄1 總述2 假設(shè)法3 方程法一元一次方程程4 抬腿法5 列表法6 詳解7 詳細(xì)解法二元一次方基本問題特殊算法習(xí)題8 雞兔同籠公式1 總述雞兔同籠是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名題之一。大約在 1500 年前，孫子算經(jīng)中就記載了這個(gè)有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？” 這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35 個(gè)頭 ,從下面數(shù)，有94 只腳。問籠中各有幾只雞和兔？算這個(gè)有個(gè)最簡(jiǎn)單的算法。（總腳數(shù) -總頭數(shù)雞的腳數(shù)）（

6、兔的腳數(shù) -雞的腳數(shù)） =兔的只數(shù)（94352） 2=12(兔子數(shù) ) 總頭數(shù)（ 35）兔子數(shù)（ 12）=雞數(shù)（ 23）解釋：讓兔子和雞同時(shí)抬起兩只腳，這樣籠子里的腳就減少了頭數(shù)2 只，由于雞只有2 只腳，所以籠子里只剩下兔子的兩只腳，再除以2 就是兔子數(shù)。雖然現(xiàn)實(shí)中沒人雞兔同籠。2 假設(shè)法假設(shè)全是雞： 235=70（只）雞腳比總腳數(shù)少： 9470=24 （只）兔： 24(4-2)=12 （只）雞： 3512=23（只）假設(shè)法（通俗）假設(shè)雞和兔子都抬起一只腳，籠中站立的腳：94-35=59（只）然后再抬起一只腳， 這時(shí)候雞兩只腳都抬起來就摔倒了，只剩下用兩只腳站立的兔子，站立腳：59-35=2

7、4（只）兔：242=12（只）雞：35-12=23（只）3 方程法一元一次方程解：設(shè)兔有 x 只，則雞有 (35-x）只。4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=242x=1235-12=23(只）或 解：設(shè)雞有 x 只，則兔有（ 35-x）只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只）答：兔子有 12 只，雞有 23 只。注：通常設(shè)方程時(shí)，選擇腿的只數(shù)多的動(dòng)物，會(huì)在套用到其他類似雞兔同籠的問題上，好算一些。二元一次方程解：設(shè)雞有 x 只，兔有 y 只。x+y=352x+4y=94（ x+y=35)2=2x+

8、2y=70 (2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把 y=12 代入（ x+y=35)x+12=35x=35-12（只）x=23（只）。答：兔子有 12 只，雞有 23 只4 抬腿法法一假如讓雞抬起一只腳， 兔子抬起 2 只腳，還有 94 除以 2=47 只腳?；\子里的兔就比雞的頭數(shù)多 1，這時(shí)，腳與頭的總數(shù)之差 47-35=12，就是兔子的只數(shù)。法二假如雞與兔子都抬起兩只腳，還剩下 94352=24 只腳 ， 這時(shí)雞是屁股坐在地上，地上只有兔子的腳，而且每只兔子有兩只腳在地上，所以有 242=12 只兔子，就有 3512=23 只雞5 列表法腿數(shù)雞（只數(shù)）兔（只數(shù)

9、）6 詳解中國(guó)古代孫子算經(jīng)共三卷，成書大約在公元5 世紀(jì)。這本書淺顯易懂，有許多有趣的算術(shù)題，比如“雞兔同籠”問題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？題目中給出雉兔共有35 只，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，看作是一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，看作是一只腳，那么，兔子就成了 2 只腳，即把兔子都先當(dāng)作兩只腳的雞。雞兔總的腳數(shù)是352=70（只），比題中所說的94 只要少 94-70=24（只）?，F(xiàn)在，我們松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)就會(huì)增加2 只，即70+2=72（只），再松開一只兔子腳上的繩子，總的腳數(shù)又增加2，2，2，2 ，一直繼續(xù)下去， 直至增加 24，因

10、此兔子數(shù)：242=12（只），從而雞有 35-12=23（只）。我們來總結(jié)一下這道題的解題思路：如果先假設(shè)它們?nèi)请u， 于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少， 每差 2 只腳就說明有 1 只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起來，解雞兔同籠題的基本關(guān)系式是：兔數(shù) =（實(shí)際腳數(shù) -每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)）（每只兔子腳數(shù) -每只雞腳數(shù)）。類似地，也可以假設(shè)全是兔子。我們也可以采用列方程的辦法：設(shè)兔子的數(shù)量為x，雞的數(shù)量為 y那么：x+y=35 那么 4x+2y=94 這個(gè)算方程解出后得出： 兔子有 12 只，雞有 23 只

11、。7 詳細(xì)解法基本問題 雞兔同籠 是一類有名的中國(guó)古算題。最早出現(xiàn)在孫子算經(jīng)中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問題，或者用解它的典型解法 - 假設(shè)法 來求解。因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思路 .例 1 有若干只雞和兔子，它們共有88 個(gè)頭， 244 只腳，雞和兔各有多少只解：我們?cè)O(shè)想，每只雞都是 金雞獨(dú)立 ,一只腳站著； 而每只兔子都用兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著?，F(xiàn)在，地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半，也就是2442=122（只） .在 122 這個(gè)數(shù)里，雞的頭數(shù)算了一次，兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次。因此從 122 減去總頭數(shù) 88，剩下的就是兔子頭數(shù)122-88=34（只），有 34 只兔子 .

12、當(dāng)然雞就有 54 只。答：有兔子 34 只,雞 54 只。上面的計(jì)算，可以歸結(jié)為下面算式：總腳數(shù) 2-總頭數(shù) =兔子數(shù) . 總頭數(shù) -兔子數(shù) =雞數(shù)特殊算法上面的解法是孫子算經(jīng)中記載的。做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數(shù)，多簡(jiǎn)單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是 4 和 2,4 又是 2 的 2 倍.可是，當(dāng)其他問題轉(zhuǎn)化成這類問題時(shí)， 腳數(shù)就不一定是 4 和 2，上面的計(jì)算方法就行不通。 因此，我們對(duì)這類問題給出一種一般解法 .還說例 1.如果設(shè)想 88 只都是兔子，那么就有488 只腳，比 244 只腳多了884-244=108（只） .每只雞比兔子少 (4-2)只腳，所以共有雞

13、(884-244)(4-2)= 54（只） .說明我們?cè)O(shè)想的88 只兔子 中，有 54 只不是兔子。而是雞 .因此可以列出公式雞數(shù) =（兔腳數(shù)總頭數(shù) -總腳數(shù)）（兔腳數(shù) -雞腳數(shù)） .當(dāng)然，我們也可以設(shè)想88 只都是 雞,那么共有腳 288=176（只），比 244 只腳少了244-176=68（只） .每只雞比每只兔子少 (4-2)只腳，682=34（只） .說明設(shè)想中的 雞,有 34 只是兔子，也可以列出公式兔數(shù) =（總腳數(shù) -雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)-雞腳數(shù)） .上面兩個(gè)公式不必都用， 用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù)， 再用總頭數(shù)去減，就知道另一個(gè)數(shù)。假設(shè)全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解

14、，有人稱為 假設(shè)法.現(xiàn)在，拿一個(gè)具體問題來試試上面的公式。例 2 紅鉛筆每支 0.19 元，藍(lán)鉛筆每支 0.11 元，兩種鉛筆共買了 16 支，花了 2.80 元。問紅，藍(lán)鉛筆各買幾支？解：以 分作為錢的單位 .我們?cè)O(shè)想，一種 雞 有 11 只腳，一種 兔子有 19 只腳，它們共有 16 個(gè)頭， 280 只腳?，F(xiàn)在已經(jīng)把買鉛筆問題， 轉(zhuǎn)化成 雞兔同籠 問題了 .利用上面算兔數(shù)公式，就有藍(lán)筆數(shù) =(1916-280)(19-11)=248=3（支） .紅筆數(shù) =16-3=13（支） .答：買了 13 支紅鉛筆和 3 支藍(lán)鉛筆。對(duì)于這類問題的計(jì)算，常?？梢岳靡阎_數(shù)的特殊性.例 2 中的腳數(shù)19

15、 與 11 之和是 30.我們也可以設(shè)想16 只中， 8 只是 兔子 ,8 只是雞,根據(jù)這一設(shè)想，腳數(shù)是8(11+19)=240（支）。比 280 少 40.40(19-11)=5（支）。就知道設(shè)想中的 8 只雞 應(yīng)少 5 只，也就是 雞( 藍(lán)鉛筆）數(shù)是 3. 308 比 1916 或 1116 要容易計(jì)算些。利用已知數(shù)的特殊性，靠心算來完成計(jì)算 .實(shí)際上，可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù)。例如，設(shè)想16 只中，兔數(shù) 為 10,雞數(shù) 為 6，就有腳數(shù)1910+116=256.比 280 少 24.24(19-11)=3,就知道設(shè)想 6 只雞,要少 3 只。要使設(shè)想的數(shù)，能給計(jì)算帶來方便，常常取

16、決于你的心算本領(lǐng).下面再舉四個(gè)稍有難度的例子。例 3 一份稿件，甲單獨(dú)打字需 6 小時(shí)完成 .乙單獨(dú)打字需 10 小時(shí)完成，現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后，因有事由乙接著打完，共用了7 小時(shí)。甲打字用了多少小時(shí)？解：我們把這份稿件平均分成30 份(30 是 6 和 10 的最小公倍數(shù)），甲每小時(shí)打 306=5（份），乙每小時(shí)打3010=3（份） .現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成 兔頭數(shù)，乙打字的時(shí)間看成 雞 頭數(shù)，總頭數(shù)是 7.兔的腳數(shù)是 5,雞的腳數(shù)是 3，總腳數(shù)是 30，就把問題轉(zhuǎn)化成 雞兔同籠 問題了。根據(jù)前面的公式兔 數(shù)=(30-37)(5-3)=4.5,雞 數(shù)=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4

17、.5 小時(shí)，乙打字用了2.5 小時(shí)。答：甲打字用了 4小時(shí) 30 分.例 4 今年是 1998年，父母年齡（整數(shù)）和是78歲，兄弟的年齡和是 17 歲。四年后 (2002 年）父的年齡是弟的年齡的4 倍，母的年齡是兄的年齡的 3 倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí)，是公元哪一年？解：4 年后，兩人年齡和都要加 8.此時(shí)兄弟年齡之和是 17+8=25，父母年齡之和是 78+8=86.我們可以把兄的年齡看作 雞頭數(shù)，弟的年齡看作 兔 頭數(shù)。 25 是 總頭數(shù) .86 是總腳數(shù) .根據(jù)公式，兄的年齡是(254-86)(4-3)=14（歲） .1998 年，兄年齡是14-4=10（歲） .父年齡是(

18、25-14)4-4=40（歲） .因此，當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3 倍時(shí)，兄的年齡是(40-10)(3-1)=15（歲） .這是 2003 年。答：公元 2003 年時(shí)，父年齡是兄年齡的3 倍.例 5 蜘蛛有 8 條腿，蜻蜓有 6 條腿和 2 對(duì)翅膀，蟬有 6 條腿和 1 對(duì)翅膀?，F(xiàn)在這三種小蟲共 18 只，有 118 條腿和 20 對(duì)翅膀 .每種小蟲各幾只？解：因?yàn)轵唑押拖s都有 6 條腿，所以從腿的數(shù)目來考慮，可以把小蟲分成 8 條腿 與6 條腿 兩種。利用公式就可以算出8 條腿的蜘蛛數(shù) =(118-618)(8-6)=5（只） .因此就知道 6 條腿的小蟲共18-5=13（只） .也就是蜻蜓

19、和蟬共有13 只，它們共有 20 對(duì)翅膀。再利用一次公式蟬數(shù) =(132-20)(2-1)=6（只） .因此蜻蜓數(shù)是 13-6=7（只） .答：有 5 只蜘蛛， 7 只蜻蜓， 6 只蟬。例 6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題，全班 52 人參加，共做對(duì) 181 道題，已知每人至少做對(duì) 1 道題，做對(duì) 1 道的有 7 人，5 道全對(duì)的有 6 人，做對(duì) 2 道和 3 道的人數(shù)一樣多，那么做對(duì)4 道的人數(shù)有多少人？解：對(duì) 2 道， 3 道， 4 道題的人共有52-7-6=39（人） .他們共做對(duì)181-17-56=144（道） .由于對(duì) 2 道和 3 道題的人數(shù)一樣多，我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人（

20、 (2+3) 2=2.5).這樣兔腳數(shù) =4，雞腳數(shù) =2.5,總腳數(shù) =144，總頭數(shù) =39.對(duì) 4 道題的有(144-2.539)(4-2.5)=31（人） .答：做對(duì) 4 道題的有 31 人。以例 1 為例 有若干只雞和兔子，它們共有88 個(gè)頭， 244 只腳，雞和兔各有多少只？以簡(jiǎn)單的 X 方程計(jì)算的話，我們一般用設(shè)大數(shù)為 X，那么也就是設(shè)兔為 X，那么雞的只數(shù)就是總數(shù)減去雞的只數(shù)，即（ 88-X ）只。解：設(shè)兔為 X 只。則雞為（ 88-X）只。4X+2 （ 88-X）=244上列的方程解釋為： 兔子的腳數(shù)加上雞的腳數(shù)， 就是共有的腳數(shù)。 4X就是兔子的腳數(shù)， 2（ 88-X）就是

21、雞的腳數(shù)。4X+2 88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X2=682X=34即兔子為 34 只，總數(shù)是 88 只，則雞： 88-34=54 只。答：兔子有 34 只，雞有 54 只。習(xí)題一1龜鶴共有 100 個(gè)頭， 350 只腳 .龜，鶴各多少只？2學(xué)校有象棋，跳棋共26 副，恰好可供 120 個(gè)學(xué)生同時(shí)進(jìn)行活動(dòng)。象棋 2 人下一副棋，跳棋6 人下一副 .象棋和跳棋各有幾副？3一些 2 分和 5 分的硬幣，共值 2.99 元，其中 2 分硬幣個(gè)數(shù)是 5 分硬幣個(gè)數(shù)的 4 倍，問 5 分硬幣有多少個(gè) ？4某人領(lǐng)得工資 240 元，有 2 元，5

22、元，10 元三種人民幣， 共 50 張，其中 2 元與 5 元的張數(shù)一樣多。那么 2 元，5 元，10 元各有多少?gòu)垼?一件工程，甲單獨(dú)做12 天完成，乙單獨(dú)做18 天完成，現(xiàn)在甲做了若干天后，再由乙接著單獨(dú)做完余下的部分，這樣前后共用了16天.甲先做了多少天？6摩托車賽全程長(zhǎng)281 千米，全程被劃分成若干個(gè)階段，每一階段中，有的是由一段上坡路 (3 千米），一段平路 (4 千米），一段下坡路 (2 千米）和一段平路 (4 千米）組成的；有的是由一段上坡路 (3 千米），一段下坡路 (2 千米）和一段平路 (4 千米）組成的。已知摩托車跑完全程后，共跑了 25 段上坡路 .全程中包含這兩種階段

23、各幾段？7用 1 元錢買 4 分，8 分， 1 角的郵票共 15 張，問最多可以買1 角的郵票多少?gòu)垼慷?兩數(shù)之差 的問題雞兔同籠中的總頭數(shù)是兩數(shù)之和 ,如果把條件換成 兩數(shù)之差 , 又應(yīng)該怎樣去解呢例 7 買一些 4 分和 8 分的郵票，共花 6 元 8 角。已知 8 分的郵票比 4分的郵票多 40 張，那么兩種郵票各買了多少?gòu)?？解一：如果拿?0 張 8 分的郵票，余下的郵票中8 分與 4 分的張數(shù)就一樣多 .(680-840)(8+4)=30（張），這就知道，余下的郵票中，8 分和 4 分的各有 30 張。因此 8 分郵票有40+30=70（張） .答：買了 8 分的郵票 70 張，

24、4 分的郵票 30 張。也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.解二：譬如，假設(shè)有20 張 4 分，根據(jù)條件 8 分比 4 分多 40 張,那么應(yīng)有 60 張 8 分。以 分作為計(jì)算單位，此時(shí)郵票總值是420+860=560.比 680 少，因此還要增加郵票。為了保持差 是 40，每增加 1 張 4分，就要增加 1 張 8 分，每種要增加的張數(shù)是(680-420-860)(4+8)=10（張） .因此 4 分有 20+10=30（張），8 分有 60+10=70（張） .例 8 一項(xiàng)工程，如果全是晴天， 15 天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多 3 天，工程要多少天才能完成解：類似于例 3，我們?cè)O(shè)工程的

25、全部工作量是 150 份，晴天每天完成10 份，雨天每天完成8 份.用上一例題解一的方法，晴天有(150-83)(10+8)= 7（天） .雨天是 7+3=10 天，總共7+10=17（天） .答：這項(xiàng)工程 17 天完成。請(qǐng)注意，如果把 雨天比晴天多 3 天去掉，而換成已知工程是 17 天完成，由此又回到上一節(jié)的問題 .差是 3，與和是 17，知道其一，就能推算出另一個(gè)。 這說明了例 7，例 8 與上一節(jié)基本問題之間的關(guān)系 .總腳數(shù)是 兩數(shù)之和 ,如果把條件換成 兩數(shù)之差 ,又應(yīng)該怎樣去解呢例 9 雞與兔共 100 只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少 28.問雞與兔各幾只？解一：假如再補(bǔ)上 28 只雞腳

26、，也就是再有雞 282=14（只），雞與兔腳數(shù)就相等，兔的腳是雞的腳 42=2（倍），于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的 2 倍。兔的只數(shù)是(100+282)(2+1)=38（只） .雞是 100-38=62（只） .答：雞 62 只，兔 38 只。當(dāng)然也可以去掉兔284=7（只） .兔的只數(shù)是(100-284)(2+1)+7=38（只） .也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法。解二：假設(shè)有 50 只雞，就有兔 100-50=50（只） .此時(shí)腳數(shù)之差是450-250=100,比 28 多了 72.就說明假設(shè)的兔數(shù)多了（雞數(shù)少了） .為了保持總數(shù)是100，一只兔換成一只雞，少了 4 只兔腳，多了 2 只雞腳，相

27、差為 6只（千萬注意，不是 2).因此要減少的兔數(shù)是(100-28)(4+2)=12（只）.兔只數(shù)是 50-12=38（只） .另外，還存在下面這樣的問題： 總頭數(shù)換成 兩數(shù)之差 , 總腳數(shù)也換成兩數(shù)之差 .例 10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個(gè)字；七言絕句是四句詩，每句都是七個(gè)字。有一詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13 首，總字?jǐn)?shù)卻反而少了20 個(gè)字 .問兩種詩各多少首？解一：如果去掉13 首五言絕句，兩種詩首數(shù)就相等，此時(shí)字?jǐn)?shù)相差1354+20=280（字） .每首字?jǐn)?shù)相差74-54=8（字） .因此，七言絕句有280(28-20)=35（首） .五言絕句有 35+13=48（

28、首） .答：五言絕句 48 首，七言絕句 35 首。解二：假設(shè)五言絕句是23 首，那么根據(jù)相差13 首，七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是 2023=460（字），2810=280（字），五言絕句的字?jǐn)?shù)，反而多了460-280=180（字） .與題目中 少 20 字相差 180+20=200（字） . 說明假設(shè)詩的首數(shù)少了。為了保持相差 13 首，增加一首五言絕句，也要增一首七言絕句， 而字?jǐn)?shù)相差增加 8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加 2008=25（首） .五言絕句有 23+25=48（首） . 七言絕句有 10+25=35（首） .在寫出 雞兔同籠 公式的時(shí)候，我們假設(shè)都是兔，或者都是雞，對(duì)于

29、例 7，例 9 和例 10 三個(gè)問題，當(dāng)然也可以這樣假設(shè)。現(xiàn)在來具體做一下，把列出的計(jì)算式子與 雞兔同籠 公式對(duì)照一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)非常有趣的事 .例 7，假設(shè)都是 8 分郵票， 4 分郵票張數(shù)是(680-840)(8+4)=30（張） .例 9，假設(shè)都是兔，雞的只數(shù)是(1004-28)(4+2)=62（只） .10，假設(shè)都是五言絕句 ,七言絕句的首數(shù)是(2013+20)(28-20)=35（首） .首先，請(qǐng)讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來，然后與 雞兔同籠 公式比較，這三個(gè)算式只是有一處- 成了 +. 其奧妙何在呢當(dāng)你進(jìn)入初中，有了負(fù)數(shù)的概念，并會(huì)列二元一次方程組， 就會(huì)明白，從數(shù)學(xué)上說，這一講前

30、兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事。例 11 有一輛貨車運(yùn)輸 2000 只玻璃瓶，運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算，每只 2 角，如有破損，破損瓶子不給運(yùn)費(fèi)，還要每只賠償 1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi) 379.6 元，問這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只？解：如果沒有破損，運(yùn)費(fèi)應(yīng)是 400 元。但破損一只要減少 1+0.2=1.2（元） .因此破損只數(shù)是(400-379.6)(1+0.2)=17（只） .答：這次搬運(yùn)中破損了17 只玻璃瓶。請(qǐng)你想一想，這是 雞兔同籠 同一類型的問題嗎例 12 有兩次自然測(cè)驗(yàn)， 第一次 24 道題，答對(duì) 1 題得 5 分，答錯(cuò)（包含不答） 1 題倒扣 1 分；第二次 15 道題，答對(duì)

31、1 題 8 分，答錯(cuò)或不答 1 題倒扣 2 分，小明兩次測(cè)驗(yàn)共答對(duì) 30 道題，但第一次測(cè)驗(yàn)得分比第二次測(cè)驗(yàn)得分多 10 分，問小明兩次測(cè)驗(yàn)各得多少分？解一：如果小明第一次測(cè)驗(yàn) 24 題全對(duì)，得 524=120（分） .那么第二次只做對(duì) 30-24=6（題）得分是 86-2(15-6)=30（分） .兩次相差120-30=90（分） .比題目中條件相差 10 分，多了 80 分。說明假設(shè)的第一次答對(duì)題數(shù)多了，要減少 .第一次答對(duì)減少一題，少得 5+1=6（分），而第二次答對(duì)增加一題不但不倒扣 2 分，還可得 8 分，因此增加 8+2=10 分。兩者兩差數(shù)就可減少 6+10=16（分） .(90

32、-10)(6+10)=5（題） .因此第一次答對(duì)題數(shù)要比假設(shè)（全對(duì)）減少5 題，也就是第一次答對(duì)19 題，第二次答對(duì)30-19=11（題） .第一次得分 519-1(24- 19)=90.第二次得分 811-2(15-11)=80.答：第一次得 90 分，第二次得 80 分。解二：答對(duì) 30 題，也就是兩次共答錯(cuò)24+15-30=9（題） .第一次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去 5+1=6（分），第二次答錯(cuò)一題，要從滿分中扣去 8+2=10（分） .答錯(cuò)題互換一下，兩次得分要相差6+10=16（分） .如果答錯(cuò) 9 題都是第一次，要從滿分中扣去 69.但兩次滿分都是 120 分。比題目中條件 第一次

33、得分多 10 分,要少了 69+10.因此，第二次答錯(cuò)題數(shù)是(69+10)(6+10)=4（題）第一次答錯(cuò) 9-4=5（題） .第一次得分 5(24-5)-15=90（分） .第二次得分 8(15-4)-24=80（分） .習(xí)題二1買語文書 30 本，數(shù)學(xué)書 24 本共花 83.4 元。每本語文書比每本數(shù)學(xué)書貴 0.44 元。每本語文書和數(shù)學(xué)書的價(jià)格各是多少？2甲茶葉每千克132 元，乙茶葉每千克96 元，共買這兩種茶葉12千克 .甲茶葉所花的錢比乙茶葉所花錢少354 元。問每種茶葉各買多少千克？3一輛卡車運(yùn)礦石，晴天每天可運(yùn)16 次，雨天每天只能運(yùn)11 次.一連運(yùn)了若干天，有晴天，也有雨天。

34、其中雨天比晴天多3 天，但運(yùn)的次數(shù)卻比晴天運(yùn)的次數(shù)少27 次.問一連運(yùn)了多少天？4某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共20 道題，做對(duì)一題得5 分，做錯(cuò)一題倒扣1 分，不做得 0 分。小華得了 76 分.問小華做對(duì)了幾道題？5甲，乙二人射擊，若命中，甲得 4 分，乙得 5 分；若不中，甲失 2 分，乙失 3 分。每人各射 10 發(fā)，共命中 14 發(fā).結(jié)算分?jǐn)?shù)時(shí)，甲比乙多 10 分。問甲，乙各中幾發(fā) ？6甲，乙兩地相距12 千米 .小張從甲地到乙地，在停留半小時(shí)后，又從乙地返回甲地，小王從乙地到甲地，在甲地停留 40 分鐘后，又從甲地返回乙地。已知兩人同時(shí)分別從甲，乙兩地出發(fā)，經(jīng)過 4 小時(shí)后，他們?cè)诜祷氐耐局邢嘤?

35、.如果小張速度比小王速度每小時(shí)多走 1.5 千米，求兩人的速度。？三、從 三到二雞 和兔是兩種東西，實(shí)際上還有三種或者更多種東西的類似問題.在第一節(jié)例 5 和例 6 就都有三種東西。 從這兩個(gè)例子的解法， 也可以看出，要把 三種 轉(zhuǎn)化成 二種 來考慮 .這一節(jié)要通過一些例題，告訴大家兩類轉(zhuǎn)化的方法。例 13 學(xué)校組織新年游藝晚會(huì)， 用于獎(jiǎng)品的鉛筆，圓珠筆和鋼筆共 232 支，共花了 300 元.其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的 4 倍。已知鉛筆每支 0.60 元，圓珠筆每支 2.7 元，鋼筆每支 6.3 元。問三種筆各有多少支解：從條件 鉛筆數(shù)量是圓珠筆的 4 倍,這兩種筆可并成一種筆， 四支鉛筆和一支

36、圓珠筆成一組，這一組的筆，每支價(jià)格算作（ 0.604+2.7)5=1.02（元） .現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價(jià)格為 1.02 和 6.3 兩種筆。用 雞兔同籠 公式可算出，鋼筆支數(shù)是(300-1.02232)(6.3-1.02)=12（支） .鉛筆和圓珠筆共232-12=220（支） .其中圓珠筆220(4+1)=44（支） .鉛筆220-44=176（支） .答：其中鋼筆 12 支，圓珠筆 44 支，鉛筆 176 支。例 14 商店出售大，中，小氣球，大球每個(gè) 3 元，中球每個(gè) 1.5 元，小球每個(gè) 1 元。張老師用 120 元共買了 55 個(gè)球，其中買中球的錢與買小球的錢恰好一樣多 .問每種球各買幾個(gè)解

37、：因?yàn)榭傚X數(shù)是整數(shù)，大，小球的價(jià)錢也都是整數(shù)，所以買中球的錢數(shù)是整數(shù)，而且還是 3 的整數(shù)倍。我們?cè)O(shè)想買中球，小球錢中各出 3 元.就可買 2 個(gè)中球， 3 個(gè)小球。因此，可以把這兩種球看作一種，每個(gè)價(jià)錢是(1.52+13)(2+3)=1.2（元） .從公式可算出，大球個(gè)數(shù)是(120-1.255)(3-1.2)=30（個(gè)） .買中，小球錢數(shù)各是(120-303)2=15（元） .可買 10 個(gè)中球， 15 個(gè)小球。答：買大球 30 個(gè)，中球 10 個(gè)，小球 15 個(gè).例 13 是從兩種東西的個(gè)數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系， 例 14 是從兩種東西的總錢數(shù)之間相等關(guān)系（倍數(shù)關(guān)系也可用類似方法） ，把兩種東西合

38、井成一種考慮，實(shí)質(zhì)上都是求兩種東西的平均價(jià)，就把 三轉(zhuǎn)化成 二 了。例 15 是為例 16 作準(zhǔn)備 .例 15 某人去時(shí)上坡速度為每小時(shí)走 3 千米，回來時(shí)下坡速度為每小時(shí)走 6 千米，求他的平均速度是多少解：去和回來走的距離一樣多。這是我們考慮問題的前提.平均速度 =所行距離所用時(shí)間去時(shí)走 1 千米，要用 20 分鐘；回來時(shí)走 1 千米，要用 10 分鐘。來回共走 2 千米，用了 30 分鐘，即半小時(shí)，平均速度是每小時(shí)走4 千米 .千萬注意，平均速度不是兩個(gè)速度的平均值：每小時(shí)走(6+3)2=4.5千米。例 16 從甲地至乙地全長(zhǎng) 45 千米，有上坡路，平路，下坡路 .李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)

39、3 千米，平路上速度是每小時(shí) 5 千米，下坡速度是每小時(shí) 6 千米。從甲地到乙地，李強(qiáng)行走了10 小時(shí)；從乙地到甲地，李強(qiáng)行走了 11 小時(shí) .問從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米解：把來回路程452=90（千米）算作全程。去時(shí)上坡，回來是下坡；去時(shí)下坡回來時(shí)上坡.把上坡和下坡合并成 一種 路程，根據(jù)例15，平均速度是每小時(shí) 4 千米。現(xiàn)在形成一個(gè)非常簡(jiǎn)單的 雞兔同籠 問題 .頭數(shù) 10+11=21，總腳數(shù) 90，雞，兔腳數(shù)分別是 4 和 5.因此平路所用時(shí)間是(90-421)(5-4)=6（小時(shí)） .單程平路行走時(shí)間是62=3（小時(shí)） .從甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小時(shí)）行走

40、路程是：45-53=30（千米） .又是一個(gè) 雞兔同籠 問題。從甲地至乙地，上坡行走的時(shí)間是：(67-30)(6-3)=4（小時(shí)） .行走路程是 34=12（千米） .下坡行走的時(shí)間是7-4=3（小時(shí)） .行走路程是 63=18（千米） .答：從甲地至乙地，上坡12 千米，平路 15 千米，下坡 18 千米。做兩次 雞兔同籠 的解法，也可以叫 兩重雞兔同籠問題 .例 16 是非常典型的例題。例 17 某種考試已舉行了 24 次，共出了 426 題.每次出的題數(shù)，有 25 題，或者 16 題，或者 20 題。那么，其中考 25 題的有多少次解：如果每次都考 16 題， 1624=384，比 42

41、6 少 42 道題 .每次考 25 道題，就要多 25-16=9（道） .每次考 20 道題，就要多 20-16=4（道） .就有9考 25 題的次數(shù) +4考 20 題的次數(shù) =42.請(qǐng)注意， 4 和 42 都是偶數(shù)， 9考 25 題次數(shù)也必須是偶數(shù)，因此，考 25 題的次數(shù)是偶數(shù)，由 96=54 比 42 大，考 25 題的次數(shù)，只能是 0,2,4 這三個(gè)數(shù)。由于 42 不能被 4 整除，0 和 4 都不合適 .只能是考25 題有 2 次（考 20 題有 6 次）.答：其中考 25 題有 2 次。例 18 有 50 位同學(xué)前往參觀， 乘電車前往每人 1.2 元，乘小巴前往每人 4 元，乘地下

42、鐵路前往每人 6 元。這些同學(xué)共用了車費(fèi) 110 元，問其中乘小巴的同學(xué)有多少位解：由于總錢數(shù) 110 元是整數(shù)，小巴和地鐵票也都是整數(shù)，因此乘電車前往的人數(shù)一定是 5 的整數(shù)倍 .如果有 30 人乘電車，110-1.230=74（元） .還余下 50-30=20（人）都乘小巴錢也不夠。 說明假設(shè)的乘電車人數(shù)少了.如果有 40 人乘電車110-1.240=62（元） .還余下 50-40=10（人）都乘地下鐵路前往， 錢還有多 (62610).說明假設(shè)的乘電車人數(shù)又多了。 30 至 40 之間，只有 35 是 5 的整數(shù)倍 . 現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成 雞兔同籠 了：總頭數(shù) 50-35=15,總腳數(shù)

43、110-1.235=68.因此，乘小巴前往的人數(shù)是(615-68)(6-4)=11.答：乘小巴前往的同學(xué)有11 位。在“三 轉(zhuǎn)化為 二時(shí)，例 13，例 14，例 16 是一種類型 .利用題目中數(shù)量比例關(guān)系，把兩種東西合并組成一種。例17，例 18 是另一種類型.充分利用所求個(gè)數(shù)是整數(shù)，以及總量的限制，其中某一個(gè)數(shù)只能是幾個(gè)數(shù)值。對(duì)幾個(gè)數(shù)值逐一考慮是否符合題目的條件 .確定了一個(gè)個(gè)數(shù)，也就變成 二 的問題了。在小學(xué)算術(shù)的范圍內(nèi)，學(xué)習(xí)這兩種類型已足夠了 .更復(fù)雜的問題，只能借助中學(xué)的三元一次方程組等代數(shù)方法去求解。習(xí)題三1有 100 枚硬幣，把其中 2 分硬幣全換成等值的 5 分硬幣，硬幣總數(shù)變成

44、 79 個(gè)，然后又把其中的 1 分硬幣換成等值的 5 分硬幣，硬幣總數(shù)變成 63 個(gè).求原有 2 分及 5 分硬幣共值多少錢 ？2京劇公演 共出售 750 張票得 22200 元。甲票每張 60 元，乙票每張 30 元，丙票每張 18 元.其中丙票張數(shù)是乙票張數(shù)的 2 倍。問其中甲票有多少?gòu)垼?小明參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共做 20 題得 67 分.已知做一題得 5 分，不答得 2 分，做錯(cuò)一題倒扣 3 分。又知道他做錯(cuò)的題和沒答的題一樣多 .問小明共做對(duì)幾題？41 分，2 分和 5 分硬幣共 100 枚，價(jià)值 2 元，如果其中 2 分硬幣的價(jià)值比 1 分硬幣的價(jià)值多13 分。問三種硬幣各多少枚？注：此

45、題沒有學(xué)過分?jǐn)?shù)運(yùn)算的同學(xué)可以不做.5甲地與乙地相距 24 千米。某人從甲地到乙地往返行走 .上坡速度每小時(shí) 4 千米，走平路速度每小時(shí) 5 千米，下坡速度每小時(shí) 6 千米。去時(shí)行走了 4 小時(shí) 50 分，回來時(shí)用了 5 小時(shí) .問從甲地到乙地， 上坡，平路，下坡各多少千米？6某學(xué)校有 12 間宿舍，住著80 個(gè)學(xué)生。宿舍的大小有三種：大的住 8 個(gè)學(xué)生，不大不小的住 7 個(gè)學(xué)生，小的住 5 人.其中不大不小的宿舍最多，問這樣的宿舍有幾間 ？測(cè)驗(yàn)題1松鼠媽媽采松籽，晴天每天可以采 20 個(gè)，雨天每天只能采 12 個(gè)。它一連幾天采了 112 個(gè)松籽，平均每天采 14 個(gè). 問這幾天當(dāng)中有幾天有雨？2有一水池，只打開甲水龍頭要