(完整版)南開大學數(shù)學科學學院畢業(yè)論文.doc

1、南開大學本科生畢業(yè)論文(設計)中文題目： 關(guān)于輪圖的猜測數(shù)外文題目： On the guessing number of wheel graphs學號：姓名：趙賢秀年級： 2009 級學院：數(shù)學科學學院系別：應用數(shù)學系專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學完成日期： 2013 年 5 月 1 號指導教師： 金應烈教授關(guān)于南開大學本科生畢業(yè)論文(設計 )的聲明本人鄭重聲明：所呈交的學位論文(設計 )，題目關(guān)于輪圖的猜測數(shù)是本人在指導教師指導下，進行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本學位論文的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、以公開發(fā)表或沒有公開發(fā)表的作品內(nèi)容。對本論文所涉及的研究工作做出貢獻的其他個

2、人和集體，均已在文中以明確方式標明。本學位論文原創(chuàng)性聲明的法律責任由本人承擔。學位論文作者簽名：年月日本人聲明：該學位論文是本人指導學生完成的研究成果，已經(jīng)審閱過論文的全部內(nèi)容，并能夠保證題目、關(guān)鍵詞、摘要部分中英文內(nèi)容的一致性和準確性。學位論文指導教師簽名：年月日摘要現(xiàn)代社會可以說在很大程度上是通過各種網(wǎng)絡來管理與控制的，因此用圖論等數(shù)學工具分析網(wǎng)絡問題是一項十分重要的課題。而圖的猜測數(shù)是一個研究網(wǎng)絡編碼策略的有效工具。近年來很多學者試圖利用圖論、代數(shù)和信息論的方法研究圖的猜測數(shù)，但目前尚未得到一種系統(tǒng)有效的方法來解決圖的猜測數(shù)問題，特別對于無向圈的猜測數(shù)等問題目前還沒有較好的結(jié)論。因此，本

3、文針對圈的一種擴充圖即輪圖的猜測數(shù)進行了研究，并得到了有向輪圖和無向輪圖猜測數(shù)。關(guān)鍵詞 猜測數(shù) ;輪圖 ;獨立數(shù) ;團覆蓋數(shù) ;AbstractIt can be said that modern society is managed and controlled with a variety of networks in a large extent, so analysis of network problem with mathematics is a very important task, while guessing number is efficient in consideri

4、ng strategy of network coding.In recent years, many scholars tried to do researches on the guessing numbers using the powerful mathematical technique, such as graph theory, algebra and information theory. But the research on the guessing numbers of circles, and got guessing number of wheel graphs.Ke

5、y Words guessing number; wheel graphs; independence number; clique cover;目錄摘要 .IABSTRACT . II目錄 .III一引言4二猜測數(shù)問題的簡介6（一）猜測數(shù)問題的提出6（二）網(wǎng)絡編碼與猜測數(shù)8（三）關(guān)于猜測數(shù)的一些結(jié)論91. 有向圖的猜測數(shù) .92. 無向圖的猜測數(shù) .11三輪圖的猜測數(shù)13（一）有向輪圖的猜測數(shù)13（二）無向輪圖的猜測數(shù)14四結(jié)束語19參考文獻20致謝 . 22一引言最大流最小割定理決定了網(wǎng)絡的最大吞吐量。 在多播通信網(wǎng)絡中， 通過網(wǎng)絡編碼可使信息傳播速率達到最大值。網(wǎng)絡編碼的誕生和發(fā)展為網(wǎng)絡

6、信息傳輸指明了一個新的研究方向。一個通信網(wǎng)絡由一些通信節(jié)點和連接在某些節(jié)點之間的一些通信鏈路組成。網(wǎng)絡通信的目的是要將網(wǎng)絡中源節(jié)點產(chǎn)生的消息通過網(wǎng)絡傳輸?shù)絽R節(jié)點。在傳統(tǒng)的通信網(wǎng)絡中， 信息傳輸采用路由的機制， 每個中間節(jié)點將收到的信息傳給與它相鄰的下一個節(jié)點。 在 2000 年，A.Rhlswede等人提出了新的傳輸方案，讓每個中間節(jié)點起到一個編碼器的作用，將其收到的信息進行適當?shù)木幋a后傳輸出去，這種方案叫做網(wǎng)絡編碼。1999 年，香港中文大學的楊偉豪教授和美國南加州大學的張箴教授在一篇關(guān)于衛(wèi)星通信網(wǎng)絡的學術(shù)論文“Distributed Source Coding forSatellite C

7、ommunications”IEEE Transcations on Information Theory1中首次提出了網(wǎng)絡編碼 (Network coding)的概念。德國 Bielefeld大學的 Ahlswede教授，西安電子科技大學的蔡寧教授，以及香港中文大學的李碩彥教授和楊偉豪教授(2000)在論文“ NetworkInformation Flow”IEEE Transactions on Information Theory2 中完全發(fā)展了網(wǎng)絡編碼的思想。他們以著名的蝴蝶網(wǎng)絡(Butterfly Network) 為例闡述了網(wǎng)絡編碼的基本原理。倫敦大學的 S.Riis在 2006

8、年發(fā)表的論文“Utilizing public informationin Network Coding” Springer3中首次提出了猜測數(shù)問題，并且證明了網(wǎng)絡編碼問題等價于對應有向圖的猜測數(shù)問題。并在2007 年發(fā)表的論文“ Information flows, graphs and their guessing numbers” Electronic Journal of Combinations4中說 明 可 以把 線路 復雜 性理 論 (CircuitComplexity Theory)的核心問題和網(wǎng)絡編碼問題轉(zhuǎn)化為有向圖的猜測數(shù)問題。論文中還介紹了一種特殊圖叫做鐘圖(Clock-

9、graphs)，利用線性猜測策略求出了鐘圖的猜測數(shù)。同年在論文“ Graph Entropy, Network Coding and Guessing games”5中，S.Riis 借用信息論中熵的概念研究了圖的猜測數(shù)問題。這篇文章中定義了有向圖的熵和幾種類熵，并且證明任意圖的猜測數(shù)等于其熵值，利用熵計算出有些圖的猜測數(shù)(例如無向圈的猜測數(shù)與廣義猜測數(shù))。T.Wu 等人 (2009)發(fā)表的論文“On the guessing number of Shiftgraphs”Journal of Discrete Algorithms6中應用圈填充數(shù)等概念給出了有向圖猜測數(shù)的上下界，并且應用這一結(jié)

10、論計算了一種Cayley 圖叫做旋轉(zhuǎn)圖 (Shift graphs)9猜測數(shù)的上下界。M.Gadouleau和S.Riis(2011) 的 論 文 “ Graph-TheoreticalConstructions for Graph Entropy and Network Coding Based Communications” IEEE Transactions on Information Theory 7中得出了如下兩個結(jié)論 ;第一是定義任意有向圖的猜測圖，并且證明任意有向圖的猜測數(shù)等于其猜測圖的獨立數(shù)的對數(shù)。論文中利用猜測圖給出幾種有向圖乘積 10的猜測數(shù)和在不同編碼集下猜測數(shù)之間的關(guān)

11、系式。第二是找出了圍長為的一系列有向圖使其線性猜測數(shù)與其頂點數(shù)之比趨于1。D.Christofids 和 K.Markstr? m(2011)在他們的論文“The guessingnumber of undirected graphs”Electronic Journal of Combinations8中專門討論了無向圖的猜測數(shù)問題，并利用無向圖的 (分數(shù) )團覆蓋數(shù)和 (分數(shù) ) 獨立數(shù) 11給出了無向圖猜測數(shù)的上下界， 證明了圖的猜測數(shù)等于編碼圖的獨立數(shù)的對數(shù)。同時， D.Christofids 和 K.Markstr? m 在這篇論文中提出了奇圈的猜測數(shù)問題，即和等尚未解決的問題。本文

12、主要針對輪圖的猜測數(shù)問題進行了研究。首先利用論文 6,8的結(jié)論初步計算出輪圖猜測數(shù)的上下界。其次，對于無向輪圖，以構(gòu)造一個猜測策略的方法得到了與奇圈猜測數(shù)的關(guān)系。二猜測數(shù)問題的簡介（一） 猜測數(shù)問題的提出先考慮一個合作游戲 (A game of cooperation)，其規(guī)則如下：個人擲 - 面骰子 (其中每一面的點數(shù)分別為 )，然后把自己的值給別人觀看。如果所有人都猜對了自己的值，則稱猜測成功，否則就算猜測失敗。在無策略的情況下，所有人猜對的概率為(2.1)假設每個人都知道其他個人的值(內(nèi)部消息 )。那么，我們可以采用以下策略使得上述概率達到最大值。令每個人都相信所有人的值之和被整除，此時

13、所有人都可以計算出自己的值。在這一策略下，所有人猜對的概率等于所有人的值之和被整除的概率，即(2.2)我們把這游戲推廣到一般有向圖中;設為有向圖，并把圖中每一節(jié)點視為游戲參賽者。假設每一點的值均屬于，其中。對于兩個節(jié)點，假設當時知道的值，否則不知道的值。此時，希望所有人猜對的概率達到最大值。定義 2.1 設 (頂點集為，邊集為 )為有向圖，記，此時映射稱為頂點的猜測策略，其中表示節(jié)點的入度。并把向量函數(shù)稱之為有向圖的一個猜測策略，其中，。易知，猜測策略的總數(shù)為。定義 2.2 設為有向圖的一個猜測策略，稱為猜測策略的固定點集。定義 2.3 稱為有向圖的猜測數(shù)，此時等號成立的猜測策略稱為最優(yōu)策略，

14、記為，其中表示固定點集的頂點數(shù)。稱 gl (G , s)max log s Fix( Flinear ) 為有向圖的線性猜測數(shù)，其中表示所有均Flinear為線性映射的策略。顯然有，(2.3)下面證明上述最優(yōu)策略為在合作游戲中所有人猜對的概率最大的策略。設為所有人的真值向量，則所有人猜對當且僅當 i ,ci = fi (c) ?F(c) = c ? c ? Fix(F)因此，猜測策略下所有人猜對的概率為Fix( F )sg( G ,s)Pr( win | F )snSn(2.4)例 2.1 完全圖的猜測數(shù)為，(2.5)證明：首先證明。對任意，如果，則(2.6)因此，即。下面證明。我們?nèi)∪缦虏呗?/p>

15、，其中fi (c0 ,., ci 1 , ci 1 ,., cn )(c0.ci 1ci 1.cn )(2.7)則 Fix (F )cc0 ,., cn 1 : 10從而，即得。例 2.2 設為無圈有向圖，則（二）網(wǎng)絡編碼與猜測數(shù)這一節(jié)中我們將介紹網(wǎng)絡編碼與猜測數(shù)問題的對應關(guān)系。在論文3中證明了每個網(wǎng)絡編碼問題均可轉(zhuǎn)化為有向圖的猜測數(shù)問題。定義 2.4 設給定的網(wǎng)絡， 為編碼集 ()，如果利用網(wǎng)絡編碼可以實現(xiàn)源節(jié)點到所有匯節(jié)點的組播， 則稱信息流問題可解， 并把這種策略稱為信息流問題的解。在這一節(jié)中，我們主要考慮源節(jié)點和匯節(jié)點數(shù)相同的網(wǎng)絡組播問題。我們先把網(wǎng)絡的源節(jié)點和匯節(jié)點一一結(jié)

16、合起來，然后由恒等映射可以得到有向圖。例如在圖 1 中，由圖 (a)和(c)以源匯節(jié)點結(jié)合的方法可以得到圖(b)和(d)。（a）(b)(c)(d)圖 1 網(wǎng)絡編碼到猜測數(shù)問題的轉(zhuǎn)化定理 2.1 3 信息流問題的解與有向圖上成功猜測的概率至少為的猜測策略一一對應，其中表示有向圖的頂點數(shù)。證明：考慮有向圖設網(wǎng)絡的源節(jié)點和匯節(jié)點分別記為和由于網(wǎng)絡中無圈，所以可以對中間節(jié)點定義偏序，記為i1i2.inn1n2.nmo1o2.on(2.8)下面考慮網(wǎng)絡的任意網(wǎng)絡編碼策略z1f1 ( x1, x2 ,., xn )z2f1 ( x1 , x2 ,., xn , z1 ).zmx1outx2outf1( x

17、1 , x2 ,., xn , z1 , z2 ,., zm 1)g1( x1, x2 ,., xn , z1 , z2 ,., zm )g2 ( x1 , x2 ,., xn , z1 , z2 ,., zm ).xnoutgn ( x1 , x2 ,., xn , z1 , z2 ,., zm)(2.9)其中、和分別表示源節(jié)點、中間節(jié)點和匯節(jié)點的信息。則與它對應的有向圖的猜測策略為 F *f1 , f2 ,., fm , g1, g2.gn，z1guessf1( x1real , x2real ,., xnreal )z2guessf 2 ( x1real , x2real ,., xnr

18、eal , z1real ).zmguessx1guessx2guessf m (x1real , x2real ,., xnreal g1( x1real , x2real ,., xnreal g2 ( x1real , x2real ,., xnreal, z1real , z2real ,., zmreal1 ), z1real , z2real ,., zmreal ), z1real , z2real ,., zmreal ).xnguessgn ( x1real , x2real ,., xnreal , z1real , z2real ,., zmreal )(2.10)顯然上

19、述策略與一一對應。以下證明猜測策略下猜測成功的概率為當且僅當信息流問題有解。猜測成功的概率為Pr(xjguessxrealj | ziguesszireal , i ) 1 信息流問題有解。推論 2.2 3 源節(jié)點和匯節(jié)點數(shù)均為的信息流問題可解當且僅當對應的有向圖的猜測數(shù)滿足。（三）關(guān)于猜測數(shù)的一些結(jié)論1. 有向圖的猜測數(shù)先考慮子圖和剖分圖的猜測數(shù)。定理 2.3 設為有向圖的子圖，則有，(2.11)證明：設和分別為有向圖的最優(yōu)猜測策略與線性猜測策略。則和可視為的猜測策略和線性猜測策略。因此，有g(shù)( H , s)log 2 Fix( F )g(G, s) , gl ( H , s)log2 Fi

20、x( Fl )gl (G, s)定理 2.4 6 設為有向圖的子圖，則有g(shù)(G, s)g( H , s)V (G)V (H )(2.12)其中表示有向圖和的頂點之差。推論 2.5 設有向圖為由圖刪除一頂點得到的圖，即，則有g(shù)(G , s)g(G , s)g( G , s)1(2.13)定理 2.6 設有向圖為由圖剖分一點得到的圖，則有(2.14)證明：設且邊，并設為在圖的邊上添加一個頂點得到的圖，即V (G )V (G)w , E(G )E (G)(u, v)(u, w),( v, w) 。設為的最優(yōu)策略。令，其中和為(2.15)則為的猜測策略，并且顯然有。因此，反之，設為的最優(yōu)策略。令(2.

21、16)則為有向圖的一個策略，且因此，。故。例 2.3設為頂點數(shù)為的有向圈，則有向圈的猜測數(shù)為(2.17)證明：當時，可以視為的剖分圖。由定理2.3 有，(2.18)而為完全圖，因此g(Cn , s)g( Cn 1 , s).g(C2 , s)1(2.19)gl (Cn , s)gl (Cn 1, s).gl (C2 , s)1(2.20)下面考慮有向圖猜測數(shù)的上下界和線性猜測數(shù)的代數(shù)表示。定理 2.7 6 設為有向圖，對有( D)gl (D, s)g(D, s)( D)(2.21)其中表示有向圖中點不相交的圈數(shù)的最大值，表示有向圖中把變?yōu)闊o圈的最小刪除邊數(shù)。定理 2.8 6 設為有向圖，則有g(shù)

22、l (D , s) max( n rank( IA) n min rank( I A)A ADA AD(2.22)其中表示有向圖的鄰接矩陣，表示階單位矩陣，表示當時必有。2. 無向圖的猜測數(shù)我們可以把無向圖視為雙向邊有向圖、 無向圖的猜測數(shù)定義為對應雙向邊有向圖的猜測數(shù)。下面利用圖論的一些概念計算猜測數(shù)的上下界。定義 2.5 設為無向圖，節(jié)點集且，則稱為圖的導出子圖。如果其導出子圖為完全圖，則稱此子圖為圖的一個團，并記為。定義 2.6 若有一團集覆蓋了圖的所有邊，即圖中每一條至少屬于一個，這時我們稱團集中的團的個數(shù)為團覆蓋數(shù)，記為。定理 2.8 8 設為無向圖，對任意有ncp(G )g(G ,

23、 s)n(G )(2.23)其中為圖的獨立數(shù)，為圖的團覆蓋數(shù)。三輪圖的猜測數(shù)（一） 有向輪圖的猜測數(shù)在這一節(jié)中，我們考慮有向圈上添加一個頂點并與它連接所有頂點，這類圖定義為輪圖。為了嚴格定義輪圖，先把有向圈用數(shù)學符號來表示，其表示如下，其中，定義 3.1E(i , i1 mod n) | 0in-1設為有向圖，其頂點集和邊集分別為n 1，E(i, i1 mod n) | 0in-1(i ,n) 或 (n, i)i0(3.1)則稱有向圖為有向輪圖，并記為。記 k i | (n, i )E, ( i1mod n, n)E, 0in1，它表示頂點的入出變化數(shù)。引理 設為有向輪圖，則有(3.2)證明：

24、由定理 2.5 和例 2.3 有g(shù)(Cn , s)1g(Gwheel (n), s)g(Cn , s)12(3.3)定理 3.1 有向輪圖的猜測數(shù)為當且僅當。證明： (必要性 )反證法：假設，只需證明。此時，易證為的子圖 (見圖 2)。圖 2 有向輪圖的鄰接矩陣為(3.4)記，則且。由定理 2.3 和定理 2.,8 知，g(Gwheel (n), s)g(Gwheel (4), s)gl (Gwheel (4), s)4rank( A)2(3.5)(充分性 )當時，即 n 點的出度或入度為0。刪除頂點 0,則變成有向無圈圖。由推論2.5 知，。因此，。當時，刪除頂點，其中為滿足且的點。則變成有

25、向無圈圖，因此，。故。推論 3.2 有向輪圖的猜測數(shù)為(3.6)證明：由定理 3.2 和引理顯然成立。（二） 無向輪圖的猜測數(shù)類似于有向輪圖，我們可以考慮無向輪圖的猜測數(shù)。定義 3.2 設為如下定義頂點集和邊集的無向圖，n 1， E (i , i 1 mod n)| 0 in-1(i , n) () (3.7)i 0此時，稱為無向輪圖，記為。定理 3.3 有向輪圖的猜測數(shù)為g(Gwheel ( n), s) n / 21：當 為偶數(shù)n(n 1) / 2 g(Gwheel (n), s)( n 1) / 21：當 為奇數(shù)n(3.8)證明：分別當為奇數(shù)和偶數(shù)時考慮輪圖的猜測數(shù)。1. 當為偶數(shù)時首先

26、，中沒有頂點數(shù)大于3 的完全子圖 (團)。除掉頂點之后，中沒有頂點數(shù)大于2的完全子圖 (團)。因此，的團覆蓋數(shù)滿足cp(Gwheel ( n) ( n13) / 2 1 n / 2(3.9)n /22而2 i ,2 i 1 n 2, n 1,n 為的 -團覆蓋。i0從而，。下面考慮的最大獨立數(shù)。由于頂點與其他所有點都相鄰，所以的包含頂點的獨立集的頂點數(shù)為1。設為獨立集，則iS,都有 i1 (mod n)S 。因此，。另外，S2 i |i0, 1, . , n / 21 為獨立集，且。從而，。由定理 2.8 知， g(Gwheel (n), s)( n1)n / 2n / 21 。2. 當為奇數(shù)

27、時類似于上述為偶數(shù)的情形，分別計算團覆蓋數(shù)和最大獨立數(shù)。中沒有頂點數(shù)大于 3 的完全子圖 (團)，而且除掉頂點之后中沒有頂點數(shù)大于 2 的完全子圖 (團)。因此， Gwheel (n) (n 1 3) / 21(n 1) / 2 。n/22所以， Gwheel (n)2 i,2 i 1 n1,n 為最大數(shù)團覆蓋，即i0(3.10)設為獨立集，與上述為偶數(shù)的情形類似地可以證明(3.11)因此， S2 i |i0,1,.,( n1) / 21 ()為最大獨立集，即(3.12)由定理 2.8 知， (n1)/ 2g(Gwheel (n), s)(n1) / 21。下面考慮時任意圖上加一個頂點并與此點

28、連接所有頂點的情形。為此，先規(guī)定如下符號。設為無向圖，用表示頂點集為、邊集為的無向圖。定義 3.11 設為無向圖，為無向圖的一個猜測策略，則稱為的共軛策略，記為，其中表示維向量。引理證明 : 對任意，記，則有F ( X )1nF (1nX )1nF ( X )1nXX(3.13)反之，當時有，。而且顯然有當且僅當。因此， 。由引理可以知道，當為最優(yōu)策略是也為最優(yōu)策略。定理 3.5 設為無向圖，則有g(shù)(G,2) log2 31g(G vn 1,2) g(G,2)1(3.14)證明：設為最優(yōu)策略，即。記 MX Fix( F ) | F ( X )X，并稱為對稱固定點集。不妨設 (否則，以最優(yōu)策略代

29、替 )。上取如下策略 ,其中 hi ( x1 ,., xi1, xi 1 ,., xn 1)f i (x1,., xi 1, xi 1,., xn ) : xn10fi ( x1,., xi 1, xi 1,., xn ) : xn,110: XFix( F ) Mhn 1 ( x1 , x2 ,., xn )Fix( F ) M1: X(3.15)則對有，從而， Fix( H )2 Fix( F )M3 Fix( F ) / 2 。故g(Gvn 1 ,2)log 2 Fix( H )log2 Fix( H )log 2 31g(G,2)log2 31。例 3.1 無向輪圖的猜測數(shù)為(3.16

30、)證明：在文 8中介紹了無向輪圖的猜測數(shù)為，并且最優(yōu)策略為，其中(3.17)此時，按定理 3.5 證明構(gòu)造輪圖的猜測策略，其為如下(3.18)0 當 X(x1,., x5 )Fix( F )其中 f ( x1 ,., x5 )當 X15XFix( F )，10當 xy x 時fi ( x, y, x6 )6否則1表示第 ()頂點所得到的信息。則由推論2.5 有，log2 5 1log 2 Fix( F )g(Gwheel (5),2)g(C5 ,2) 1log2 5 1(3.19)故。從例 3.1 可以猜想無向奇輪圖的猜測數(shù)等于奇圈的猜測數(shù)加1。定理 3.6 無向輪圖的猜測數(shù)為g(Gwheel

31、 (n), s) n / 21 :當 為偶數(shù)ng(Gwheel (n), s)g(Cn , s)1 :當 為奇數(shù)n(3.20)證明：只需證明為奇數(shù)的情形。設為奇圈的最優(yōu)策略，其中為頂點的局部策略。下面考慮上的策略fi ( xi 1 , xi 1 , xn )fi ( xi 1, xi 1 ) , 1in3(3.21)f0 (x1, xn 1, xn )f0 (x1, xn 1xn ) ,fn 2 ( xn 3 , xn 1, xn )fn 2 ( xn 3 , xn 1xn )(3.22)f n 1 ( x0 , xn 2 , xn )fn 1 (x0 , xn 2 )xn(3.23)fn (

32、x0 , x1,., xn 1 )fn 1( x0 , xn 2 )xn 1(3.24)則對任意和任意有fi ( xi 1, xi 1, xn 1a)fi ( xi 1 , xi 1 )xi , 1in3(3.25)f n 2 ( xn 3 , a, xn 1a)fn 2 (xn 3 , axn 1a)f n 2 ( xn 3 , xn 1)xn 2(3.26)fn 1( x0 , xn 2, xn 1a)fn 1( x0 , xn 2 )xn 1axn 1xn 1aa(3.27)f n (x0, x1 ,., a)f n 1 ( x0, xn 2 )axn 1a(3.28)因此， xx0 ,

33、 x1 ,., xn 2 , a, xn 1aFix( P) ，即有(3.29)從而， g( Gwheel (n), s)log s Fix( P)1log s Fix( P)1g(Cn 1 , s) 。由推論 2.5 有，。四結(jié)束語由于確定圖的猜測數(shù)是NP-難問題，而且猜測數(shù)的研究起步比較晚，目前還沒得到一種系統(tǒng)有效的計算方法。2006 年 S.Riis3提出猜測數(shù)問題之后， T.Wu 等人從不同的角度出發(fā)研究了圖的猜測數(shù)問題。他們用圖的獨立數(shù)、團覆蓋數(shù)和圈填充數(shù)5給出了猜測數(shù)的上下界。此外，用熵5、猜測圖 7和編碼圖 8等新的概念把猜測數(shù)問題轉(zhuǎn)化為另一種問題，并且用此工具算出了一些特殊圖的

34、猜測數(shù)。但是對很多圖，特別對無向奇圈尚未得到確切的猜測數(shù)值。目前，除了奇圈之外對其他簡單圖的猜測數(shù)已經(jīng)得到了一定的結(jié)果，因此我們需要考慮笛卡爾積等圖的擴充圖的猜測數(shù)問題， 。對于完全圖、二部圖、路、有向圈和無向偶圈之間笛卡爾積的猜測數(shù)，已經(jīng)得到了非常好的結(jié)論。進一步，我們還可以考慮樹、 Caylay 圖、多部圖等圖和上述圖之間笛卡爾積的猜測數(shù)問題。本文中所考慮的輪圖為比較簡單的擴充圖， 它是由一個圈添加一個頂點并連接所有頂點得到的圖。對于有向輪圖和頂點數(shù)為奇數(shù)的輪圖，我們在第三章中給出了確切的猜測數(shù)，而對于頂點數(shù)為偶數(shù)的輪圖，證明了其猜測數(shù)等于奇圈的猜測數(shù)加一。猜測數(shù)方面仍然有非常大的研究空間

35、，本人今后也將不斷開拓創(chuàng)新，為尋求一個解決猜測數(shù)問題的系統(tǒng)有效的方法做出貢獻。參考文獻1 R.W. Yeung, Z. Zhang. Distributed Source Coding for Satellite Communications. IEEE Transactions on Information Theory, vol.45 May 1999.2 R. Ahlswede, N. Cai, N. Li, et al. Network information flow. IEEE Transactions on Information Theory, vol.46 July 2000

36、.3 S.Riis. Utilizing public informations in network coding. General Theory of information Transfer and Combinatorics, Springer 2006.4 S.Riis. Information flows, graphs and their guessing numbers. Electronic Journal of Combinatorics, 14(1) R44 (2006).5 S.Riis. Graph entropy, network coding and guessing games. arXpdf0711.2007.6 T.Wu, P.Cameron, S.Riis. On the guessing number of shift graphs. Journal of Diserete Algorithms, vol7(2) (2009).7 M.Gadouleau, S.Riis. Graph-theoretical