2021年人教版高中數(shù)學必修第二冊單元測試：第08章《立體幾何初步》（A卷基礎篇）解析版

1、第八章 立體幾何初步A（基礎卷）參考答案與試題解析一選擇題（共8小題）1（2019秋興慶區(qū)校級期末）如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）A是棱臺B是圓臺C是四面體D不是棱柱【解答】解：圖（1）不是由棱錐截來的，所以（1）不是棱臺；圖（2）上、下兩個面不平行，所以（2）不是圓臺；圖（3）是四面體圖（4）前、后兩個面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行，所以（4）是棱柱故選：C2（2020春紅崗區(qū)校級期中）古希臘數(shù)學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數(shù)學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)，如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天

2、立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是6現(xiàn)在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為（）ABCD【解答】解：設球的半徑為r，則由題意可得球的表面積為，所以r1，所以圓柱的底面半徑為1，高為2，所以最多可以注入的水的體積為故選：B3（2019春揚州期末）已知ABC中，ABAC2，ABAC，將ABC繞BC所在直線旋轉一周，形成幾何體K，則幾何體K的表面積為（）ABCD【解答】解：由題知該幾何體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起，其中若L2，RS2224故選：B4（2019春湖南期末）已知、為兩個不同平面，l為直線且l，則“”是“l(fā)”

3、（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【解答】解：根據(jù)題意，當“l(fā)”時，必有“”，反之，當“”時，l可能在平面內，即“l(fā)”不一定成立，則“”是“l(fā)”的必要不充分條件；故選：B5（2020春順德區(qū)月考）已知正三棱柱ABCA1B1C1，O為ABC的外心，則異面直線AC1與OB所成角的大小為（）A30B60C45D90【解答】解：如圖，ABC是等邊三角形，且O為ABC的外心，O是ABC的垂心，BOAC，且AA1平面ABC，BO平面ABC，BOAA1，BO平面AA1C1C，且AC1平面AA1C1C，BOAC1，異面直線AC1與OB所成角的大小為90故選：D6（2019秋安

4、慶期末）下列命題的符號語言中，不是公理的是（）Aa，babBP，且Pl，且PlCAl，Bl，且A，BlDab，acbc【解答】解：A不是公理，在B中，由公理三知：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故B是公理在C中，由公理一知：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內，故C是公理；在D中，由平行公理得：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，故D是公理；故選：A7（2019秋滑縣期末）在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，Q為AD的中點，點M在線段PC上，PMtPC，PA平面MQB，則實數(shù)t的值為（）ABCD【解答】解：連AC交B

5、Q于N，交BD于O，連接MN，如圖則O為BD的中點，又BQ為ABD邊AD上中線，N為正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的邊長為a，則ANa，ACaPA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMNPAMNPM：PCAN：AC即PMPC，t故選：C8（2020聊城模擬）我國古代九章算術中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童如圖的芻童ABCDEFGH有外接球，且AB2，平面ABCD與平面EFGH間的距離為1，則該芻童外接球的體積為（）A12B24C36D48【解答】解：如圖，設上底面中心為O1，下底面中心為O2，芻童外接球的球心為O，則O，O1，O2共線，連接O1E，O2A，OE，OA，

6、由已知可得，O1O21設該芻童的外接球的半徑為R，OO2h，則R28+h2，R25+（h+1）2，聯(lián)立解得R29該芻童的外接球的表面積為S4R236故選：C二多選題（共4小題）9（2020春芝罘區(qū)校級期末）下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形是（）ABCD【解答】解：在A中，連接AC，則ACMN，由正方體性質得到平面MNP平面ABC，AB平面MNP，故A成立；B若下底面中心為O，則NOAB，NO面MNPN，AB與面MNP不平行，故B不成立；C過M作MEAB，則E是中點，則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，AB與面

7、MNP不平行，故C不成立；D連接CE，則ABCE，NPCD，則ABPN，AB平面MNP，故D成立故選：AD10（2019秋汕尾期末）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，下列說法正確的是（）AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEHDHG平面AEF【解答】解：由題意可得：AHHE，AHHFAH平面EFH，而AG與平面EFH不垂直B正確，A不正確又HFHE，HF平面AHE，C正確HG與AG不垂直，因此HG平面AEF不正確D不正確故選：BC11（2019春東營期末）設m

8、，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是（）A若m，n，則mnB若mn，m，則nC若m，n，則m，n是異面直線D若，m，n，則mn或m，n是異面直線【解答】解：由m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，得：對于A，若m，n，則由線面垂直的性質定理得mn，故A正確；對于B，若mn，m，則n或n，故B錯誤；對于C，若m，n，則m，n相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若，m，n，則mn或m，n是異面直線，故D正確故選：AD12（2020泉州一模）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E是DD1的中點，則下列選項中正確的是（）AACB1EBB1C平面A1BDC三棱錐C1B

9、1CE的體積為D異面直線B1C與BD所成的角為45【解答】解：如圖，ACBD，ACBB1，AC平面BB1D1D，又B1E平面BB1D1D，ACB1E，故A正確；B1CA1D，A1D平面A1BD，B1C平面A1BD，B1C平面A1BD，故B正確；三棱錐C1B1CE的體積為，故C錯誤；BDB1D1，CB1D1是異面直線B1C與BD所成的角，又CB1D1是等邊三角形，異面直線B1C與BD所成的角為60，故D錯誤故選：AB三填空題（共4小題）13（2020中衛(wèi)二模）已知三棱錐OABC中，A，B，C三點在以O為球心的球面上，若ABBC2，ABC120，且三棱錐OABC的體積為，則球O的表面積為52【解答

10、】解：如圖所示 設ABC的外接圓的圓心為O1，半徑為r，在ABC中，由余弦定理可得：|AC|2，2r4，解得：r2又由題知SABC22sin120，又三棱錐OABC的體積為SABC|OO1|，所以棱錐OABC的高|OO1|3，球O的半徑R，球O的表面積為4R252故答案為：5214（2020江蘇）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是12cm3【解答】解：六棱柱的體積為：，圓柱的體積為：（0.5）22，所以此六角螺帽毛坯的體積是：（12）cm3，故答案為：1215（2020宿遷模擬）已

11、知圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，記圓錐和球體的體積分別為V1，V2，則的值為【解答】解：設圓錐底面圓半徑為R，球的半徑為r，由題意知，圓錐的軸截面是邊長為2R的等邊三角形，球的大圓是該該等邊三角形的內切圓，所以rR，V2r3（R）3R3，V1R2（R）R3，所以球與圓錐的體積之比為故答案為：16（2019秋莆田期末）在三棱錐PABC中，ABC60，PBAPCA90，點P到底面ABC的距離為，若三棱錐PABC的外接球表面積為6，則AC的長為【解答】解取PA的中點哦，連接OB，OC，因為PBAPCA90，所以OAOPOBOC，即O為三棱錐外接球的球心，設外接球半

12、徑為R，由S4R26，所以R2，過O做OO面ABC交于O，連接OA則OA為ABC，則OA為ABC外接圓的半徑設為r，則rOA，因為點P到底面ABC的距離為，所以OO，在AOO中，R2OO2+r2，所以r2（）21，即r1，在ABC中，2r，所以AC2rsin602，故答案為：四解答題（共5小題）17（2020廣東學業(yè)考試）如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為菱形，PBPD，E，F(xiàn)分別為AB和PD的中點（1）求證：EF平面PBC；（2）求證：平面PBD平面PAC【解答】證明：（1）取PC的中點G，F(xiàn)是PD的中點，F(xiàn)GCD，且FGCD，又底面ABCD是菱形，E是AB中點，BECD，且BECD，B

13、EFG，且BEFG，四邊形BEFG是平行四邊形，EFBG，又EF平面PBC，BG平面PBC，EF平面PBC；（2）設ACBDO，則O是BD中點，底面ABCD是菱形，BDAC，又PBPD，O是BD中點，BDPO，又ACPOO，AC平面PAC，PO平面PAC，BD平面PAC，BD平面PBD，平面PBD平面PAC18（2019秋贛州期末）在矩形ABCD中，AB1，BC2，E為AD的中點，如圖1，將ABE沿BE折起，使得點A到達點P的位置（如圖2），且平面PBE平面BCDE（1）證明：PB平面PEC；（2）若M為PB的中點，N為PC的中點，求三棱錐MCDN的體積【解答】解：（1）證明：由題意，易得，B

14、E2+CE2BC2，即BECE，又平面PBE平面BCDE，交線為BE，CE平面PBE，CEPB，又PBPE，PB平面PEC；（2）取BE中點O，連接PO，PBPE，POBE，又平面PBE平面BCDE，交線為BE，PO平面BCDE，M為PB的中點，N為PC的中點，19（2019春河南月考）如圖所示，已知四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，ABAD1，BC2，PB平面ABCD，PB1（）求證：CDPD；（）求四棱錐PABCD的表面積【解答】解：（）證明：在梯形ABCD中，易求，BC2，CDPD，PB平面ABCD，CD在平面ABCD內，PBCD，又PBBDB，且都在平面P

15、BD內，CD平面PBD，又PD在平面PBD內，CDPD；（）由（）知，又DABC，BCAB，PB平面ABCD，PAD，PBA，PCD都為直角三角形，四棱錐PABCD的表面積為20（2019春玉溪期末）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中（底面ABC為正三角形），A1A平面ABC，ABAC2，D是BC邊的中點（1）證明：平面ADB1平面BB1C1C（2）求點B到平面ADB1的距離【解答】（1）證明：ABAC，D為BC的中點，ADBC又BB1平面ABC，AD平面ABC，BB1AD又BCBB1B，AD平面BB1C1C又AD平面ADB1，平面ADB1平面BB1C1C（2）解：由（1）知，AD平面BB1C1C，B1D平面BB1C1C，ADB1D，B1D2，設點B到平面ADB1的距離為d，由，得，即，d，即點B到平面ADB1的距離為21（2019秋路南區(qū)校級期中）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACB90，AA12，D為AB的中點（1）求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值；（2）在棱A1B1上是否存在一點M，使得平面C1AM平面B1CD【解答】解：（1）以C為原點，CB、CA、CC1分別