線性代數(shù)方陣的對角化PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1線性代數(shù)方陣的對角化線性代數(shù)方陣的對角化2第三節(jié) 相似矩陣1. 概念的引入已知矩陣 ,求 . 2143A11A我們可以找到一個(gè)可逆矩陣 ， 1141P 20011APP1 PPA11111 PPA 68468327322731相似矩陣使第1頁/共49頁32. 相似矩陣的概念定義 設(shè) 都是階矩陣，若有可逆矩陣 ，使BA,P,1BAPP 則稱 是 的相似矩陣，BABA或稱矩陣 與 相似.對 進(jìn)行運(yùn)算 稱為對 進(jìn)行相似變換，AAPP1 A可逆矩陣 稱為把 變成 的相似變換矩陣.PAB第2頁/共49頁4說明 能對角化最突出的作用表現(xiàn)在 的多項(xiàng)式 的計(jì)算上.AA)(A 若存在可逆矩陣 ，使P A

2、PP1( 為對角陣) 則有1 PPA1 PPAkk1)()( PPA 1321)(,),(),( PPdiag 這表明 的多項(xiàng)式可通過同一多項(xiàng)式的數(shù)值計(jì)算而得到.A當(dāng) 能對角化時(shí)，可以容易證明下面結(jié)論：A設(shè) 是 的特征多項(xiàng)式，則 .)( fA0)( Af第3頁/共49頁5 定理3 若 是 的相似矩陣，則 也是 的相似矩陣.ABAB 若 與 相似，則它們的行列式相等： .ABBA 若 與 相似，則 與 也相似.ABEA EB 若 階矩陣 與 相似，則 與 的特 征多項(xiàng)式相同，從而 與 的特征值也相同.nABABAB n 21相似， 若 階矩陣 與對角陣An則 即是 的 個(gè)特征值.n ,21An證

3、明證明第4頁/共49頁6說明推論表明，若 ，則 的對 角元必定是 的全部特征值.)(1為為對對角角陣陣 APP A 于是在不計(jì)較 的對角元次序的意義下， 由 惟一確定. A問題： 可逆矩陣 是不是也由 確定？PA 能不能用特征值和特征向量來刻畫矩陣 能 對角化的“特性”？A定理3的逆命題不成立的. 若矩陣 和 的特征值 相同，它們可能相似，也可能不相似.AB例如第5頁/共49頁7對 階矩陣 ，nA1. 方陣對角化的概念尋找相似變換矩陣 ，使P)(1為為對對角角陣陣 APP這就稱為把方陣 對角化.A說明 如果能找到可逆矩陣 ，使 ，則 可對角化；P APP1A 如果找不到這樣可逆矩陣 ，則 不可

4、對角化.PA第6頁/共49頁82. 定理的引入設(shè)有可逆矩陣 ，使 為對角陣. APP1P APP1 PAP ),(),(2121nnppppppA),(),(2121nnppppppA n 21P 下面回答 能否由 確定.A第7頁/共49頁9),(),(2221121nnpppApApAp jjjpAp )., 2 , 1(nj 這表明 的第 個(gè)列向量 是 的對應(yīng)于特征值 的特征向量，AjPj jp因而 由 和 確定，PA 也就是由 確定.A 由于特征向量不是惟一的，所以矩陣 也不是惟一確定的.P第8頁/共49頁10反過來，是依次與之對應(yīng)的特征向量，則設(shè)矩陣 的 個(gè)特征值為 ，n ,21Ann

5、ppp,21), 2 , 1(njpApjjj ),(),(2221121nnpppApApAp PAP ),(),(2121nnppppppA),(21npppP 當(dāng) 可逆，即 線性無關(guān)時(shí)，有Pnppp,21 APP1這表明方陣 能否對角化完全可用 的特征值和特征向量來刻畫.AA第9頁/共49頁113. 方陣可對角化的充要條件定理4 階矩陣 與對角陣相似(即 能對角化)nAA的充要條件是 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量.An推論 若 階矩陣 的 個(gè)特征值互不相等，則 與對角陣相似.nnAA說明當(dāng) 的特征方程有重根時(shí)，不一定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化；An 但是，有重根時(shí)，也有可能

6、能對角化. 所以特征值互不相等只是 與對角陣相似的充分條件.A第10頁/共49頁12例1 設(shè),00111100 xA問 為何值時(shí)，矩陣能對角化？x解 析：此例是定理4的應(yīng)用.定理4表明： 階矩陣 可對角化nA有 個(gè)線性無關(guān)特征向量.An由此可推得另一個(gè)充要條件：對 的每個(gè)不同的特征值 ， 的重?cái)?shù)Ai i =對應(yīng)于 的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)i ).(EARni 第11頁/共49頁13 011110 xEA 11)1()1()1(2 所以的特征值為 1(二重)， .1 對應(yīng)于單根 ，可求得線性無關(guān)的特征向量1個(gè)；1 對應(yīng)于二重特征值 1，若 能對角化，則A, 2)(3 EAR123)( EAR第1

7、2頁/共49頁14 10101101xEAr 000100101x要使 ，則1)( EAR, 01 x即. 1 x說明解答此題的關(guān)鍵是將 取值條件“ 可對角化”轉(zhuǎn)化為“二重特征值 1 應(yīng)滿足 ”，從而求得.xA123)( EAR矩陣 能否對角化，取決于它的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)，而與 的秩， 的行列式都無關(guān).AAA第13頁/共49頁15例2 設(shè),2143 AAP若能，找出一個(gè)相似變換矩陣 將 化為對角陣.試問 能否對角化？A解 析：這是前面提到的一個(gè)例題. 現(xiàn)在再講，目的是為了熟悉找相似變換矩陣的方法.先求 的特征值，A 2143EA)2)(1( 所以 的特征值為A, 11 . 21 再求特征

8、向量，第14頁/共49頁16當(dāng) 時(shí)，對應(yīng)的特征向量滿足11 00114421xx解之，得基礎(chǔ)解系,111 p所以對應(yīng)于 的線性無關(guān)的特征向量可取為11 ;1p 00414121xx解之，得基礎(chǔ)解系,142 p.2p當(dāng) 時(shí)，對應(yīng)的特征向量滿足22 所以對應(yīng)于 的線性無關(guān)的特征向量可取為22 第15頁/共49頁17 由以上可知， 有兩個(gè)線性無關(guān)特征向量 ，21, ppA令),(21ppP 則 就是所求相似變換矩陣，且有P.211 APP說明求相似變換矩陣的步驟： 求特征值； 求特征向量； 若線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于矩陣的階數(shù)，則相似變換矩陣存在(否則不存在)，由線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣就是

9、所求.A所以 可以對角化.第16頁/共49頁18v對于 階矩陣 和 ，若有可逆矩陣 ，使nABPBAPP 1則稱 與 相似.ABv 階矩陣 與 相似，則 和 的特征值相同， 反之不然.nABABv 階矩陣 與對角陣相似的充要條件是 有 個(gè) 線性無關(guān)的特征向量.AnAn第17頁/共49頁19第四節(jié) 實(shí)對稱陣的對角化定理5 實(shí)對稱陣的特征值為實(shí)數(shù).定理6 設(shè) 是對稱陣 的兩個(gè)特征值， 是21, A21, pp21 1p2p若 ，則 與 正交.對應(yīng)的特征向量，證明證明證明定理7 設(shè) 為 階實(shí)對稱陣，則必有正交陣 ，使AnP,1 APPAPPT其中 是以 的 個(gè)特征值為對角元的對角陣. An推論 設(shè)

10、為 階對稱陣， 是 的特征方程的 重根，An Ak則矩陣 的秩 ，EA knEAR )( 從而對應(yīng)特征值 恰有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量. k第18頁/共49頁20說明定理5表明，實(shí)對稱陣的特征向量可取實(shí)向量.這是因?yàn)?，?dāng)特征值 為實(shí)數(shù)時(shí)，齊次方程 0)( xEA 的系數(shù)矩陣是實(shí)矩陣，必有實(shí)的基礎(chǔ)解系.定理6表明，實(shí)對稱陣的特征向量可取為兩兩正 交的向量.這是因?yàn)椋?對 的每一個(gè)不同的特征值 ，對應(yīng)于 的特征向量可取為兩兩正交向量，Ai i 到的線性無關(guān)的特征向量就是兩兩正交的.定理7表明，實(shí)對稱陣一定可以對角化，而且是 正交相似對角化.這樣所得第19頁/共49頁21理論依據(jù)：定理7和其推論實(shí)對稱

11、陣 正交相似對角化的步驟：A 求出 的全部互不相等的特征值 A,21s 它們的重?cái)?shù)依次為skkk,21);(21nkkks 對于實(shí)對稱陣 ，一定在正交陣 ，使AP.1 APPAPPT 對于對稱陣 ， 重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量恰好有 個(gè).Akk第20頁/共49頁22 對應(yīng)于 重特征值 ，求方程 iki 0)( xEAi (由推論)再把它們正交化、單位化，得 個(gè)兩兩正交的單位特征向量.ik, 2 , 1si ,21nkkks 可得 個(gè)兩兩正交的單位特征向量.n(由定理6) 用這 個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣 ，便有 .nP APPAPPT1 注意 中對角元的排列次序應(yīng)與 中列向量的排列

12、次序相對應(yīng). Pik的基礎(chǔ)解系，得 個(gè)線性無關(guān)的特征向量.故總共第21頁/共49頁23例3 設(shè),011101110 A求一個(gè)正交陣 ，使 為對角陣.P APP1解 析：對稱陣正交相似對角化的原理和步驟是本章的中心問題. 此例是這一問題的示范，目的是熟悉對稱陣正交相似對角化的步驟，并明了每個(gè)步驟的必要性和依據(jù). 求特征值，第22頁/共49頁24 2111100112cc )2)(1(2 )2()1(22 , 21 求得 的特征值為A. 132 由EA 111111 111101121rr 第23頁/共49頁25 求兩兩正交的單位特征向量，對應(yīng)于 ，21 解方程 ，0)2( xEA由EA2 211

13、121112r 000110211r,000110101 得基礎(chǔ)解系,1111 從而得單位特征向量;111311 p解方程 ，0)( xEA對應(yīng)于 ，132 第24頁/共49頁26由EA 111111111r,000000111 得基礎(chǔ)解系,1012 ,1103 將 正交化，21, 取,22 2222333, ,1212110121110 從而得兩兩正交的單位向量為,101212 p,121613 p第25頁/共49頁27 寫出正交陣和對角陣，令),(321pppP ,61213162031612131 就是所求正交陣，且有P APP1. 2 11第26頁/共49頁28注意：若令 則),(31

14、2pppP .1211 APP若令 則),(132pppP .2111 APP第27頁/共49頁29例4 設(shè) ，求 2112A.nA解 析：此例的目的是掌握利用矩陣對角化理論計(jì)算方陣的冪及多項(xiàng)式. 求 的特征值，A由 2112EA),3)(1( 得 的特征值為A, 11 . 32 求特征向量，對應(yīng) , 11 解方程 ，0)( xEA第28頁/共49頁30 1111EAr,0011 由得;111 對應(yīng) , 32 解方程 ，0)3( xEA 11113EAr,0011 由得;112 寫出相似變換矩陣，將 化為對角陣A令,1111),(21 P則,1111211 P且,311 APP即,1 PPA第

15、29頁/共49頁31 根據(jù) 的相似對角陣，求.nAAnnPPA)(1 1 PPn 1111 111121n 31 111131111121n.3131313121 nnnn第30頁/共49頁32此例體現(xiàn)了方陣對角化的作用，如前面所述.A將此例與第二章中的有關(guān)的例題相比較，后者給出關(guān)系式 、矩陣 和 ，也就是給出條件 可對角化； 的相似對加陣 ；相似變換矩陣 . PAPA A P 前者則更具有理論性和實(shí)踐性: 已知 ，通過計(jì)算 和 ，求 .A PnA 因此盡管兩者都是求 的冪，形象地說后者是矩陣乘法的練習(xí)，前者是理論指導(dǎo)下的實(shí)踐.A說明第31頁/共49頁33v 對于實(shí)對稱陣 ，一定在正交陣 ，使

16、AP.1 APPAPPTv將對稱陣正交相似對角化的步驟：求特征值；求兩兩正交的單位特征向量；寫出正交矩陣和對角陣.第32頁/共49頁34思 考 題1. 設(shè) 是 階矩陣 的 重特征值，對應(yīng)線性無關(guān) 的特征向量恰有 個(gè)，證明 . nAstts 2. 如果 是矩陣 的兩個(gè)不同的特征值， 是對應(yīng)于特征值 的線性無關(guān)的特 征向量， 是對應(yīng)于特征值 的線性 無關(guān)的特征向量，那么， 也線性無關(guān).21, Ar ,211 s ,212 ,21r s ,213. 設(shè) 是 階矩陣， 是 的 個(gè)特征向量， 求 .n2 , 4 , 2AnAnEA3 4. 若 ，則 可對角化； 若 ，且 ，則 不可對角化.AA 202

17、AAA0 A第33頁/共49頁35思考題解答1. 證 設(shè)這 個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 ， 因它們是齊次方程 的基礎(chǔ)解系，故ttppp,210)( xEA .)(rtnEAR 選取 使 這 個(gè)向量線性無關(guān)( 可選矩陣 的列向量組的最大無關(guān)組)，并把它們構(gòu)成可逆矩陣 .因 ，故r ,21r ,1tpp,1nr ,1TEA)( P0)( ipEA ),)()(1111trppEAPPEAP ODOCrtrrB ) 0 , 0 ,)(,)(111rEAPEAP 第34頁/共49頁36思考題解答則 與 相似，且 的特征多項(xiàng)式為EA BBtttrrrxEDOxECxEB trrrxExEC trrrxxEC

18、)( )(xxt 可見 的特征值 的重?cái)?shù) .B0 xt 而 的特征值與 的特征值一一對應(yīng)，EA A因此 的特征值 的重?cái)?shù) .A 0ts 因而 的特征值 0 的重?cái)?shù) .EA t 第35頁/共49頁37思考題解答2.證設(shè)有 ,使srllkk,11. 01111 ssrrllkk 兩邊左乘 ，得A01111 ssrrAlAlAkAk , 0)()(112111 ssrrllkk 又所以, 0)(1112 ssll , 011 ssll 因?yàn)?線性無關(guān)，所以必有s ,21. 01 sll. 01 rkk同理必有于是， 線性無關(guān) sr ,11第36頁/共49頁38思考題解答3. 解 因?yàn)?是 階矩陣 的

19、特征值，所以存在可逆矩陣 ，使n2 , 4 , 2nA APP1 n242PEAPPPEAP3)3(11 3211n所以)32(31)1(3 nEA!)!32()1( n第37頁/共49頁39思考題解答4. 證 設(shè) 為 階矩陣，由 ，得AnAA 2.)()(nEARAR 先證 的特征值知可能是0或1.A 設(shè) 是 的一個(gè)特征值，由 關(guān)系式可知，應(yīng)有 所以 或1. AAA 2,2 0 再證 有 個(gè)線性無關(guān)特征向量.nA設(shè) 則 ，于是rAR )(rnEAR )( 由 知，對應(yīng)于0的線性無關(guān)的特征向量有 個(gè)；rEAR )0( 由 知，對應(yīng)于1的線性無關(guān)的特征向量有 個(gè)；rnEAR )(rrn 所以 共

20、有 個(gè)線性無關(guān)特征向量，故 可對角化.AnA第38頁/共49頁40 用反證法.假設(shè) 能對角化，即存在可逆矩陣 ，使PA APP1為對角陣.所以,221 PAP而已知 ，故02 A02 0 01 APP0 A與 矛盾！0 A因此 不能對角化.A思考題解答第39頁/共49頁41作業(yè)： P138 13. 14. 15. 16.(2)P139 17. 18. 22. 24.(2)第40頁/共49頁42例如 設(shè),3211 ,1232 則有,211 PP 001010100P其中所以 與 相似.1 2 又設(shè)顯然 與 的特征值相同，但是它們不相似.AB,1001 A,1011 B第41頁/共49頁43這是因

21、為，如果 與 相似，存在可逆矩陣 ，使ABPBAPP 1BEPP 1BE 矛盾！注意：當(dāng) 階矩陣 都能對角化時(shí)，若它們有相同的 特征值，則它們是一定相似的.nBA,若把對角陣 的對角元交換次序變?yōu)閷顷?， 則 與 相似. 1 1 與單位陣相似的矩陣一定是單位陣.Back 1001A 1011B第42頁/共49頁44 若 與 相似，則 與 也相似.ABEA EB 證因?yàn)?與 相似，所以存在可逆矩陣 ，使ABPBAPP 1于是PEAP)(1 PEPAPP)(11 PPAPP11 EB 即PEAP)(1 EB 因此 與 相似.EA EB 證畢第43頁/共49頁45若 階矩陣 與 相似，則 與 的特征值相同.nABAB證畢EA EB 析：要證 與 的特征值相同，只需證它們的特征多項(xiàng)式相同. 即AB因?yàn)?與 相似，所以 與 相似，則ABEA EB 存在可逆矩陣 ，使PPEAP)(1 EB 于是P