度量空間小結(jié)

1、第一章度量空間在實數(shù)空間R中，有理數(shù)處處稠密，且全體有理數(shù)是可列的，我們稱此性質(zhì)為實數(shù)空間R的可分性.同時，實數(shù)空間R還具有完備性， 即R中任何基本列必收斂于某實數(shù).現(xiàn)在我們將這些概念推廣到一 般度量空間.泛函分析中，度量空間是最基礎(chǔ)的內(nèi)容！因此要好 好的理解！在這里僅僅說一下我自己的心得。1.3.1度量空間的可分性定義1.3.1設(shè)X是度量空間，A, B X，如果B中任意點X. B的任何鄰域O(x,、J內(nèi)都含 有A的點，則稱A在B中稠密.若A二B，通常稱A是B的稠密子集.注1 : A在B中稠密并不意味著有 A二B .例如有理數(shù)在無理數(shù)中稠密；有理數(shù)也在實數(shù)中稠密.無理數(shù)在有理數(shù)中是稠密的，無理

2、數(shù)在實數(shù)中也是稠密的，說明任何兩個不相等的實數(shù)之間必有無限多個有理數(shù)也有無限多個無理數(shù).定理1.3.1 設(shè)(X,d)是度量空間，下列命題等價：(1) A在B中稠密；(2) -X B , Xn ：_ A，使得 lim d (Xn, x) = 0 ;(3) B A (其中A=A A , A為A的閉包，A為A的導(dǎo)集(聚點集);(4) 任取J. 0，有B O(x,、J .即由以A中每一點為中心:.為半徑的開球組成的集合X超覆蓋B .證明按照稠密、閉包及聚點等相關(guān)定義易得.定理1.3.2稠密集的傳遞性設(shè)X是度量空間，A,B,C二X ,若A在B中稠密，B在C中稠密，則A在C中稠密.證明 由定理1.1知B二

3、A , C二B，而B是包含B的最小閉集，所以 B二B二A，于是 有C二A，即A在C中稠密.口注2：利用維爾特拉斯定理可證得 定理(Weierstrass多項式逼近定理)閉區(qū)間a,b上的每一個連續(xù)函數(shù)都可以表示成某一多項式序列的一致收斂極限.(1) 多項式函數(shù)集 Pa,b在連續(xù)函數(shù)空間Ca,b中稠密.參考其它資料可知：連續(xù)函數(shù)空間Ca,b在有界可測函數(shù)集 Ba,b中稠密.(3)有界可測函數(shù)集 Ba,b在p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(1乞p ：；).利用稠密集的傳遞性 定理1.3.2可得：(4)連續(xù)函數(shù)空間Ca,b在p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(仁p ：；).因此有 Pa,b二Ca,b

4、二 Ba,b二 Lpa,b.定義1.3.2 設(shè)X是度量空間，A X，如果存在點列xnA，且人在A中稠密，則稱A是可分點集(或稱可析點集)當(dāng)X本身是可分點集時，稱X是可分的度量空間.注3: X是可分的度量空間是指在X中存在一個稠密的可列子集.例1.3.1 歐氏空間Rn是可分的.坐標(biāo)為有理數(shù)的點組成的子集構(gòu)成Rn的一個可列稠密子集.證明 設(shè)Qn =(,，rn)|nEQ,i =1,2，n為R中的有理數(shù)點集,顯然Qn是可數(shù)集,下 證Qn在Rn中稠密.對于Rn中任意一點x =(xx，焉)，尋找Qn中的點列訃，其中m =(,*，：)，使得 rk.x(k_. ) 由于有理數(shù)在實數(shù)中稠密，所以對于每一個實數(shù)X

5、j(i=d,2,，n),存在有理數(shù)列nkTx(kT刈.于是得到Qn中的點列訃，其中rk =(皿，,r：) , k =1,2,.現(xiàn)證氐 r x( k )： ：) . - ； 0 ,由 r x ( -)知，-K 三 N，當(dāng) k Ki 時，有kI r -x |,i =1,2,n3第一章度量空間#第一章度量空間取 K =maxQ,K2,，當(dāng) kK 時，對于 i =1,2，n，都有 |x K 了，因此d 也，x) a | rk x|2 :#第一章度量空間#第一章度量空間即rk x(kr )，從而知Qn在Rn中稠密.口具有有理系數(shù)的多項式的全體Po a, b在例1.3.2連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是可分的.Ca

6、,b中稠密，而FOa,b是可列集.由 Weierstrass 多項式逼近定理知，x(t)可證明 顯然p,a,b是可列集.-x(t) Ca, b,表示成一致收斂的多項式的極限，即- ；.0，存在(實系數(shù))多項式p (t)，使得d(x, p )背酬以(t) p；(t)| ：2另外，由有理數(shù)在實數(shù)中的稠密性可知存在有理數(shù)多項式p0(tV P0a,b，使得d(p ；, p。)=mtaxI p (t) 一卩0住)I ：72因此，d(x,p)_d (x, p ) d( p；, p)：；，即p(t)O(x,；)，在 Ca, b中任意點x(t)的任意鄰域內(nèi)必有Poa,b中的點，按照定義知Pa,b在Ca,b中稠

7、密.口例1.3.3p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b是可分的.證明 由于Ra,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可數(shù)集P0a,b在Lpa,b中稠密.口例1.3.4p次幕可和的數(shù)列空間lp是可分的.qQ證明 取E。=(1,2,，rn,O,0,)|ri- Q, n N，顯然E。等價于Qn，可知E?？蓴?shù),7F面證E。在|P中稠密.qQ-x =(% X，Xn,) lp，有 7 |為 |p ：-:，因此*0 , N N，當(dāng) n . N 時，i .XCOJP-| Xi |n出12又因Q在R中稠密，對每個x(1iN)，存在r Q，使得p,(i =1,2,3，N)2N于是得x-J2令 Xo

8、=(1,2,，N,0,，0, Eo，則N-i |p|xHV 1d(X0,x)=(.二 |Xii 土因此Eo在lp中稠密.口例1.3.5 設(shè)X =0,1，則離散度量空間(X,d0)是不可分的.所以存在X* X , x* xn.取 ，則有r證明 假設(shè)(X,d0)是可分的，則必有可列子集xj X在X中稠密.又知X不是可列集,* , * 1 *O(x ,6)=x d(x,x ) 證明 考慮I：:中的子集A二X =(X1,X2，Xn,)Xn =0或1,則當(dāng)x, y A, x = y時，有 d(x,y) =1 .因為0,1中每一個實數(shù)可用二進制表示，所以A與0,1對應(yīng)，故 A不可列. 1假設(shè)丨：:可分，即

9、存在一個可列稠密子集Ao，以Ao中每一點為心，以-為半徑作開球，所3有這樣的開球覆蓋I：:,也覆蓋A 因人可列，而A不可列，則必有某開球內(nèi)含有 A的不同的 點，設(shè)x與y是這樣的點，此開球中心為x0，于是1 1 2仁d(x,y) _d(x,xo) d(xo,y) ：3 飛矛盾，因此I -:不可分.口1.3.2度量空間的完備性實數(shù)空間R中任何基本列(Cauchy列)必收斂.即基本列和收斂列在R中是等價的，現(xiàn)在將這些概念推廣到一般的度量空間.定義1.3.3 基本列設(shè)斗是度量空間X中的一個點列，若對任意；.0，存在 N，當(dāng)m,n . N時，有d(Xm,Xn)：;則稱xn是X中的一個 基本列(或Cauc

10、hy列).定理1.3.3(基本列的性質(zhì))設(shè)(X,d)是度量空間，則(1) 如果點列xn收斂，則斗是基本列；(2) 如果點列xn是基本列，則Xn有界；(3) 若基本列含有一收斂子列，則該基本列收斂，且收斂到該子列的極限點.證明(1)設(shè)Xn二 X , X X ,且 xn r X .則 -；0 , N N ,當(dāng) n N 時，d(Xn,X):：2 從而n , m . N時，d(Xn,Xm)乞 d(Xn,X) d(X,Xm)：2 2即得Xn是基本列.(2) 設(shè)x.為一基本列，則對；=1，存在 N，當(dāng)n N時，有d(xN “Xn) ： ; =1，記M =max d (x ,x + ),d X X+C dN

11、+ 片1,那么對任意的 m, n，均有d(Xn, Xm) _d (Xn, Xn 1) d(Xm,XN 1) ： M M =2M ,即x.有界.(3) 設(shè)Xn為一基本列，且Xnk是Xn的收斂子列，心代一十).于是，一； 0, N x(n ) .口注4:上述定理1.3.3表明收斂列一定是基本列 (Cauchy列)，那么基本列是收斂列嗎?例1.3.7 設(shè)X =(0,1)， -x,y. X，定義d(x, y)=x_y，那么度量空間(X,d)的點列l(wèi)是X的基本列，卻不是 n 1X的收斂列.證明對于任意的；.0，存在1使得N，那么對于m = N7第一章度量空間#第一章度量空間中a,b N，有Xm | 11

12、N +b +1N +a北max a, ba +bd (Xn ,綣)二人：(N a 1)(N b 1) Na Nb N(N a 1)(N b 1)1一一：:：；,a -b#第一章度量空間1即得xn是基本列顯然lim0 X，故Xn不是X的收斂列.Yn +1 1或者利用xn二丄是R上的基本列，可知-；0 , N Nn +11I也是X上的基本列.口n 1如果一個空間中的基本列都收斂，那么在此空間中不必找出序列的極限,11n +1m +1z于是可知x. 就可以判斷它是否收斂，哪一類度量空間具有此良好性質(zhì)呢？是完備的度量空間.定義1.3.4 完備性如果度量空間X中的任何基本列都在X中收斂，則稱X是完備的度

13、量空間.例1.3.8 n維歐氏空間Rn是完備的度量空間.證明 由Rn中的點列收斂對應(yīng)于點的各坐標(biāo)收斂，以及R的完備性易得.口例1.3.9 連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是完備的度量空間.(距離的定義：d(f,g) max | f (t) _g(t) |) ta,b證明設(shè)x.是Ca,b中的基本列，即任給: 0,存在N，當(dāng)m,n N時，d(xm,xJ：;即max Xm(t) -Xn(t) | .；： t -a,b故對所有的t a,b,Xm(t)Xn(t)|；：匕，由一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則，知存在連續(xù)函數(shù)x(t)，使xn(t)在a,b上一致收斂于 x(t)，即 d(xm, x； 0(n“ -),且 x C

14、a,b.因此 Ca, b完備.口1例 1.3.10 設(shè) X -C0,1 ,f(t),g(t) X，定義 d,f ,g) =。| f (t) -g(t) |dt，那么(X,dJ 不是完備的度量空間.(注意到例1.3.9結(jié)論(X,d)完備)證明設(shè)r/ 100 t 21111fn(t)二 n (t ) t222 n1 111 +- r 0時，每個積分均趨于零.推得0 r 0,卻f(t).1 心,1可見f(t)不連續(xù)，故fn在X中不收斂，即C0,1在距離d1下不完備.口表1.3.1常用空間的可分性與完備性度量空間距離可分性完備性n維歐氏空間(Rn,d)d(x,y)=店(x -y)2VV離散度量空間(x

15、,d)X可數(shù).0當(dāng)x = y時do(x, y)=$比時1當(dāng)x H y時VVX不可數(shù)XV連續(xù)函數(shù)空間Ca,bd(f,g)=max|f(t)g(t)|VVd1(f,g) = / f (x)g(x) dx*aVX有界數(shù)列空間嚴(yán)d(x,y) =sup|Xj -y |XVp次幕可和的數(shù)列空間lp1dp(x,y) = |5；區(qū) |pJ 士丿VVp次幕可積函數(shù)空間(Lpa,b,d)d(f,g)=(a,b|f(t)-g(t)|p dt)pVV由于有理數(shù)系數(shù)的多項式函數(shù)集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及Lpa,b中稠密，可知閉區(qū)間a,b上多項式函數(shù)集 Pa,b、連續(xù)函數(shù)集Ca

16、,b、有界可測 函數(shù)集Ba,b、p次幕可積函數(shù)集 Lpa,b均是可分的.前面的例子說明n維歐氏空間Rn以及p 次幕可和的數(shù)列空間|p也是可分空間，而有界數(shù)列空間I：:和不可數(shù)集X對應(yīng)的離散度量空間(X,d)是不可分的.從上面的例子及證明可知，n維歐氏空間 Rn是完備的度量空間，但是按照歐氏距離X =(0,1)卻不是完備的；連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是完備的度量空間，但是在積分定義的距離1di(f ,g)二j| f(t) -g(t)|dt下，C0,i卻不完備由于離散度量空間中的任何一個基本列只是同 一個元素的無限重復(fù)組成的點列，所以它是完備的.我們還可以證明p次幕可和的數(shù)列空間ip是完備的度量空間，p

17、次幕可積函數(shù)空間Lpa,b(p _1)是完備的度量空間，有界數(shù)列空間的完 備性通常所涉及到的空間可分性與完備性如表1.3.3所示.在度量空間中也有類似于表示實數(shù)完備性的區(qū)間套定理，就是下述的閉球套定理.定理1.3.4 (閉球套定理)設(shè)(X,d)是完備的度量空間，Bn =O(xn,、：n)是一套閉球：Bt 二 B2 二 二 Bn 二.qQ如果球的半徑Jn r 0(n)，那么存在唯一的點 x Bn .證明 (1)球心組成的點列xn為X的基本列.當(dāng)m n時，有 Xm Bm - Bi ( =O(Xn,：n)，可彳得d(Xm,Xn) _、：n .(2.4)一；0 ,取N，當(dāng)n N時，使得、；n ：；，于

18、是當(dāng)m,n N時，有d(Xm,Xn) _：；,所以xn為X的基本列.(2) x的存在性.由于(X,d)是完備的度量空間，所以存在點X ,使得lim x x .令(2.4) 式中的mr，,可得d(x,xn)蘭aO0即知Bn, n =1,2,3，因此 x：=Bn .n 士qQ(3) x的唯一性.設(shè)還存在X，滿足y； I Bn，那么對于任意的 n N，有x,y ,n=t從而 d (x, y) _d (x,xn) d(xn, y) _2 j.n r 0 (n“ 7)，于是 x = y .口注4:完備度量空間的另一種刻畫：設(shè)(X,d)是一度量空間，那么X是完備的當(dāng)且僅當(dāng)對于X中的任何一套閉球：B1二B2二二Bn二，其中Bn =6(Xn,、n)，當(dāng)半徑5 。山一；心)，必存在唯一的點x ：Bn .nmn=e ,可見有理數(shù)空間是不完備的,但添加一些點以后得到的實數(shù)空間是完備的，而完備的實數(shù)空間有著許多有理數(shù)空間不可比擬的好的性質(zhì)與廣泛的應(yīng)用.對于般的度量空間也是一樣，完備性在許多方面起著重要作用. 那么是否對于任一不完備的度量空間都可以添加一些點使之成為完備的度量空間呢？下面的結(jié)論給出了肯定的回答.定義1.3.5等距映射設(shè)（X,d） , （Y,）是度量空間，如果存在映射T : X_. Y ,使得-xx X，有d（x ,冷）=戸6）則稱T是X到Y(jié)上的等距映射，X與Y是