立體幾何中幾類典型問題的向量解法.docx

1、立體幾何中幾類典型問題的向量解法空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡便、 快速的解法。 它的實用性是其它方法無法比擬的， 因此應加強運用向量方法解決幾何問題的意識， 提高使用向量的熟練程度和自覺性， 注意培養(yǎng)向量的代數(shù)運算推理能力， 掌握向量的基本知識和技能， 充分利用向量知識解決圖形中的角和距離、平行與垂直問題。一、利用向量知識求 點到點，點到線，點到面，線到線，線到面，面到面的距離（ 1）求點到平面的距離除了根據(jù)定義和等積變換外還可運用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個法向量的坐標，再求出已知點P 與平面內任一點uuurM

2、 構成的向量 MP 的坐標，那么 P 到平面的距離uuurr uuurr uuurn ? MPd MP ? cosn, MPrnuuur（ 2）求兩點 P,Q 之間距離，可轉化求向量 PQ 的模。（ 3）求點 P到直線 AB的距離，可在 AB上取一點Q，令uuuruuur uuuruuuruuur，以確定 Q 的位置，則AQQB, PQAB 或 PQ 的最小值求得參數(shù)uuurPQ 為點 P到直線 AB的距離。還可以在 AB上任取一點Q先求cos PQ, AB ，再轉化為 sinuuurPQ,AB 為點 P到PQ, AB ，則 PQ sin直線 AB 的距離。r(4)求兩條異面直線 l1 , l

3、 2 之間距離，可設與公垂線段AB 平行的向量 n ，uuurrCD ?nC, D 分別是 l1 ,l2 上的任意兩點，則l1, l2 之間距離ABrn第 1頁例 1：設 A(2,3,1), B(4,1,2), C (6,3,7), D ( 5, 4,8) ，求點 D 到平面 ABC 的距離例 2：如圖，正方形 ABCD 、ABEF 的邊長都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF互相垂直。點 M 在AC上移動，點 N在 BF上移動，若CM BN a (0 a2 ) 。（）求 MN 的長；（）當 a 為何值時， MN 的長最?。唬ǎ┊?MN 長最小時，求面 MNA 與面 MNB 所成的二面角的大

4、小zCDyMBENA(O)Fx例 3：正方體 ABCDA1 B1C1D1 的棱長為 1，求異面直線 A1C1 與 AB1 間的距離zD1C1MA1B1NDyCABx第 2頁例 4：如圖，在長方體 ABCDA1B1C1D1 中， AB 4, BC 3,CC12, 求平面zC1A1 BC1 與平面 ACD 1 的距離。D1A1B1yDCxABr點評：若 n 是平面的法向量， AB 是平面的一條斜線段，且B，uuurrAB ?n則點 A 到平面的距離 dr，平行平面之間的距離轉化為點到平n面的距離，變?yōu)樾本€在法向量上的射影。二、利用向量知識求 線線角，線面角，二面角的大小。（1）設 l1 , l2

5、是兩條異面直線， A, B 是 l1 上的任意兩點， C , D 是直線 l 2 上uuuruuurAB ?CD的任意兩點，則 l1 ,l 2 所成的角為 arccos uuur uuur AB ?CD（2）設 AB 是平面的斜線，且 B, BC 是斜線 AB 在平面內的射第 3頁uuuruuurrAB ?BC的法影，則斜線 AB 與平面 所成的角為 arccos uuuruuur 。設 n 是平面AB ?BC向量， AB是平面 的一條斜線，則 AB與平面 所成的角為uuurruuurrAB ?nAB ? n。2arccos uuurr ，或者 arcsin uuurrAB ? nAB ? n

6、uruur（ 3 ） 設 n1, n2是二面角l的 面,的法向量，則uruururuurn1? n2n1 , n2arc cos uruur 就是二面角的平面角或補角的大小。n1 ? n2例5：在棱長為 a 的正方體 ABCDABC D 中， EF 分別是 BC , AD 的中點，z（1）求直線 AC 與 DE 所成角；（2）求直線 AD 與平面 B EDF 所成的角，AFD （3）求平面 B EDF 與平面 ABCD 所成的角 BC AGyDBECx例 6：如圖，四棱錐P ABCD中，底面 ABCD 為矩形，底面 ABCD ，PDAD=PD ，E，F(xiàn) 分別 CD、PB 的中點 .（）求證：

7、EF平面 PAB；z（）設 AB= 2 BC，求 AC 與平面 AEF 所成角的大小 .Px CFEDBAy第 4頁例 7：如圖， PA平面 ABC ， ACBC, PAAC1, BC2 ，求二面角APBC 的大小。PzExDACBy點評：如果 AB ,CD 分別是二面角l兩個面內的兩條直線，且Al, C l ,l , CD l ，則二面角的大小為uuur uuurABAB, CD例 8：如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD 中，ABC = 90，SA面 ABCD ，SA = AB = BC = 1， AD1 求面 SCD 與面 SBA 所2z成的二面角的正切值SyBCADx第 5頁點評

8、：用向量知識求二面角的大小時，是將二面角的問題轉化為兩平uruur面的法向量的夾角問題， （1）當法向量 n1與urn2 uur的方向分別指向二面角內側與外側時，二面角的大小等于法向量n1與n2的夾角的大小。uruur二面角（2）當法向量 n 與n 的方向同時指向二面角的內側或外側時，12uurr uurur。的大小等于法向量 n1n2 的夾角的補角n , n2與1三、利用向量知識解決平行與垂直問題。例 9：如圖 , 在直三棱柱 ABC A 1B1C1 中，AC3，BC4，AA 14，AB5,點 D 是 AB 的中點，（I）求證： AC BC1； （II ）求證： A1C /平面 CDB1；點

9、評：平行問題的轉化：轉化轉化面面平行線面平行線線平行；例10如圖，在長方體ABCD A 1B1C1D1 ，中，D1C1AD=AA 1=1，AB=2 ，點 E 在棱 AD 上移動 .A1B1（1）證明： D1EA1D；DC（2）當 E 為 AB 的中點時，求點 E 到面 ACD 1AEB的距離；第 6頁（3）AE 等于何值時，二面角D1ECD 的大小為.4.四、利用向量知識解決立體幾何中的探索性問題。C1例 11如圖，在直三棱柱 ABCA1 B1C1 中， AC 3, BC 4, AB 5, AA14A1B1（1）求證 ACBC1 ; （2）在 AB 上是否存在點 D 使得 AC1 CD ?C（

10、3）在 AB 上是否存在點 D 使得 A1C / 平面 CDB1ADB五、專題突破：1、如圖：已知二面角l的大小為 120o ，點 A, B, ACl 于點 C ，BDl于 D ，且 ACCDDB1 ，求 （1）直線 AB與 CD 所成角的大小，（2）直線 AB與 CD 的距離。AlDCB2、如圖，在四棱錐 PABCD 中，PD底面 ABCD ，底面 ABCD 為正方形， PD=DC，E、F 分別是 AB 、PB 的中點 .（）求證： EFCD；（）在平面 PAD 內求一點 G，使 GF平面 PCB，并證明你的結論；（）求 DB 與平面 DEF 所成角的大小 .第 7頁3、如圖,在直三棱柱AB

11、C111 中， ACB=90，CB=1,CA= ,AB C3AA1= 6,M 為側棱 CC1上一點 ,AMBA1 C（1）求證 : AM平面 A1BC ；ABM（ 2）求二面角 BAM C 的大小；（ 3）求點 C 到平面 ABM 的距離CAB4、如圖， ABCDA1B1C1D1 是正四棱柱，側棱長為3，底面邊長為 2，E 是棱 BC 的中點。（）求證：BD1 /平面 C1DE ；（）求二面角C1DEC 的大?。ǎ┰趥壤釨B1 上是否存在點P ,使得 CP平面 C1 DE ？證明你的結論。5、如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，ACB=90 ，第 8頁AC=BC=CC 1=2.（ I）

12、證明： AB 1BC1；（ II ）求點 B 到平面 AB 1C1 的距離 .（ III ）求二面角 C1AB 1A1 的大小6、( 2006 年湖南卷）如圖 4,已知兩個正四棱錐 P-ABCD 與 Q-ABCD 的高分別為 1 和 2,AB=4. ( ) 證明 PQ平面 ABCD;( ) 求異面直線 AQ與 PB所成的角 ;( ) 求點 P到平面 QAD的距離 .PDCABQ圖 4第 9頁7、（2006 年全國卷 II ）如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB BC，D、 E 分別為 BB1、AC1 的中點（）證明： ED 為異面直線 BB1 與 AC1 的公垂線；（）設 AA1AC

13、2AB，求二面角 A1ADC1 的大小C1B1A1DECBA第10頁參考答案：rruuurruuur例 1：解：設平面 ABC 的法向量 n( x, y, z),Q n ? AB0, n ? AC0 ，所以( x, y, z) ? (2, 2,1)0，2x2 yz 0x3 z( x, y, z) ? (4,0,6)04x6z02yzr2) ， cosruuur3( 7)2( 7)27z 2,則 n (3, 2,n, AD3222( 2)2? ( 7)2( 7)272uuurruuuuur4949 17所以設 D 到平面 ABC 的距離為 d ， dAD ? cosn, AD1717例 2：解：

14、建立如圖所示空間直角坐標系Oxyz.uuuur(1auuur2aF (1,0,0), B(0,1,0), C (0,1,1), AM) AC2(0,1,1),2uuura uuur uuur(1auuurauuur12a,0)BNBF,AN) AB2AF(a,222uuuuruuuruuuur1(a,0, a2)uuuur(a2 )21 (0 p a2)MNANAMMN222uuuur(a2)21得 a2 uuuur2(2)由 MN22, MN22min（ 3）Q auuuur1 (1,0uuur1 (0,1,uuur1 (0,1, 1) 所以可求2 ,MN1), 又 MA1), MB2222

15、uruur(1,1,1) ，所以得平面 MNA 與平面 MNB 的法向量分別為 n1(1,1,1),n2uur uur11 ，所以arccos 1cosn1,n233 ?33例 3：解：如圖建立坐標系，則 A(1,0,0), A1 (1,0,1), B1 (1,1,1),C1(0,1,1)uuuruuuurz D，設 MN 是直線1 1 與1C1AB111( 1,1,0)AB1的公垂線，且 M(0,1,1), ACA Cuuuruuur,uuuuruuuurA1B1ANAB1 (0,), AM1uAC1 1 ( u, u,0)NDy第11頁CABxuuuuruuuuruuuruuur則 MNM

16、A1AA1AN( u,u,0)(0,0,1) (0, ) (u,u, 1)uuuuruuuur02u02uuuuruuuurMN ? A1C13( 1,1,1)3uuuuruuur,， MNMNMN ? AB102 u113 3 33u3例 4：解： Q BC1 / AD1, AD1平面 ACD1,BC1 / 平面 ACD1 ，同理 A1B / 平面 ACD1, 又A1B IBC1 B,111 ，建立直角坐標系D xyz，平面 A BC/平面 ACDQ AB4, BC3,CC12， A1(3,0, 2), B(3, 4,0), C1 (0, 4,2)uuur(0,4,uuuur(r(x, y,

17、 z) 為平面 A1BC1的法zA1 B2), BC13,0,2) ,設 nC1D1ruuurruuur向量，則 nA1 Bn ? A1B0, 4y 2z0,B1ruuuurruuuurA1y由 n BC1n ? BC103x 2z 0 ，DrC不妨設 z 1,y1 , x2 ,1 ,1)n ( 2 ,2332xAB二、利用向量知識求線線角，線面角，二面角的大小。例 5：解：（1）如圖建立坐標系，則 A(0,0, a), C(a,a,0), D (0, a,0), E(a, a ,0)uuuruuura2,0) ，AC(a,a, a), DE (a,uuur2uuuruuur15cos uuu

18、rAC ?DEAC, DEuuuruuur15AC ?DE15故 AC 與 DE 所成的角為 arccos15（ 2）Q ADEADF , 所以 AD 在平面 B EDF 內的射影在EDF 的平分線上，又 B EDF 為菱形，DB 為 EDF 的平分線，故直線AD 與平面B EDF所成的角為ADB，建立如圖所示坐標系，則A(0,0,0),B (a,0, a), D (0, a,0)，uuuruuuur( a, a, a)，DA(0, a,0), DB 第12頁uuur uuuuruuur uuuur DA ?DB uuur uuuur DA ? DB33故 AD 與平面 B EDF 所成角為

19、arccos33由 A(0,0,0), A (0,0, a), B (a,0, a), D(0, a,0), E( a, a ,0) 所以平面ABCD 的法向量uruuur2r(1, y, z) ， 由為 mAA(0,0, a) 下面 求平面 B EDF 的法 向量 ，設 nuuurauuur(0,a , a) ，ED ( a,0), EB 22ruuur0rn ? EDy2ruuur0， n (1,2,1)n ? EBz1r urur r6m ? nEDF 與平面 ABCD所成的角cos n, mur r6，所以平面Bm ? narccos66點評：（1）設 l1, l2 是兩條異面直線，A

20、, B 是 l1 上的任意兩點，C , D 是直uuuruuurAB ?CD線 l2 上的任意兩點，則l1 ,l 2 所成的角為 arccos uuuruuurAB ?CD（2）設 AB 是平面的斜線，且 B, BC 是斜線 AB 在平面內的射uuuruuurAB?BC影，則斜線 AB 與平面所成的角為 arccos uuuruuur 。AB?BCur uur（ 3 ） 設 n1, n2是 二 面 角l的面 , 的法向量，則ur uururuurn1? n2就是二面角的平面角或補角的大小。n1 , n2arc cos uruurn1? n2例 6：（）證明：建立空間直角坐標系（如圖），設 AD

21、=PD=1 ，AB= 2a（ a 0 ），則 E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), F (a, 1 , 1 ) .uuuvuuuv22(0, 1,1)，1)，uuuv由得EFPB (2 a,1,AB (2a,0,0).uuuv uuuv122uuuvuuuv1AB ，EF AB(0,) (2 a,0,0) 0，得 EFAB ，即 EF22同理 EFPB，又 ABI PBB， 所以，EF平面 PAB.第13頁（）解：由 AB2BC ，得 2a2 ，即 a2 .2得E( 2,0,0) ， F (2 , 1,1) ， C(2,0,0)

22、 .2222uuuv( 2, 1,0)uuuvuuuv1 ,1) .有 AC， AE(2 , 1,0) ， EF (0,222zPxCFED設平面 AEFuuuv0由n EFuuuv0n AE的法向量為 n( x, y,1) ，AB1111y,0( x, y,1) (0,) 0y2222，22,1,0) 0y 0( x, y,1) (x22解得 y1.于是 n(2,1,1).x2設 AC 與面 AEF 所成的角為uuuv與 n的夾角為uuuv， ACAC ,n .uuuvuuuvn(2, 1,0)(2,1,1)則 sincosAC3 .AC, nuuuvn21 0211AC6得arcsin 3

23、 . 6所以， AC 與平面 AEF 所成角的大小為 arcsin3 .6r的法向量， AB 是平面的一條斜線，則 AB 與平點評：設 n 是平面uuur ruuur r面 所成的角為AB ? nAB ?n。arccos uuur r ，或者 arcsinuuur r2AB ? nAB ? n例 7： 解：建立如圖所示空間直角坐標系Cxyz，取 PB 的中點 D ，連 DC ,可證 DCuuur uuurPB ，作 AE PB 于 E ，則向量 DC與 EA 的夾角的大小為二面角 A PBQ A(1,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,0),P，D為PB的P(1,0,1)C 的大小

24、。z中點，ExDCA第14頁B(1,2,1) ，在 RtVPAB 中， PEAP 21 ，222EBAB 23uuurE(3 ,2 ,3 )uuur1 ,2 ,3)E分 PB的比為 1 ，EA (3444444uuur(1,21uuuruuur1uuur3，DC2,)， EA?DC2, EA222uuuruuuruuur13， 二面角 A1,cos2PC C 的大小為DCEA, DC3132arc cos33例 8：解：如圖建立直角坐標系，則B(0,1,0), D( 1,0,0), C(1,1,0),S(0,0,1)uuur1uuuruuur12,0, 1) ，Q SA平面 ABCD , AD

25、平面 SABAD(,0,0), SC(1,1, 1), SD(22uuur所 以 AD 是平 面 SAB 的一個法向量 。 設平面 SCD 的一個 法z 向量rn ( x, y, z)Sruuurr uuurx yz 0由nSCn ? SC0x2zruuur ,r uuur，1 x z 0yzn SDn ? SD 02uuur rruuur r6uuur r2令 z1,1)， cosAD ?n, tan1,n (2,AD ,nuuur r3AD, n2 AAD ? n平面 SCD 與平面 SAB所成的二面角的正切值為22點評：用向量知識求二面角的大小時，是將二面角的問題轉化為兩平uruur面的

26、法向量的夾角問題， （1）當法向量 n1與n2的方向分別指向二面角內側與外側時，二面角的大小等于法向量uruur的夾角的大小。n1與n2ur uur的方向同時指向二面角的內側或外側時， 二面角（2）當法向量 n1與n2uruurruur。的大小等于法向量 n1n2 的夾角的補角n , n2與1三、利用向量知識解決平行與垂直問題。yBCDx例 9：解：直三棱柱ABC A1B1C1 底面三邊長AC3， BC4，AB 5， AC、BC、C1C 兩兩垂直，如圖，以C 為坐標原點，直線CA 、CB、C1C 分別為 x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系，則C第15頁（ 0,0，0），A（3,0，0）

27、，C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（ 3 ，2,0）2（ 1） AC （ 3,0，0）， BC1（ 0， 4,0）， AC ?BC1 0，AC BC1.（2）設 CB1與 C1的交戰(zhàn)為，則 （， ） DE （ 3 ，0,2），BEE0,22.uuur1 uuuur2，DEAC 1. DE 平面 CDB1，AC1 （3,0，4）， DE2AC1AC 1平面 CDB1， AC1/平面 CDB1；點評：平行問題的轉化：轉化轉化面面平行線面平行線線平行；例 10 解：以 D 為坐標原點，直線 DA ，DC，DD 1 分別為 x, y, z 軸，建立空間直角坐標系，設D1C1

28、AE=x ，則 A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，A1B1DC0），A （1，0，0）C（0，2，0）AEB（1）因為DA1, D1E(1,0,1), (1, x, 1) 0,所以 DA1D1 E.（2）因為 E 為 AB 的中點，則 E（1，1，0），從而 D1 E (1,1,1), AC (1,2,0) ，r uuur0,AD1( 1,0,1) ，設平面 ACD 1 的法向量為 n(a,b, c) ，則n ? ACr uuuur0,n ? AD1也即a2b0 ，得 a2b ，從而 n ( 2,1,2)，所以點 E 到平面 AD 1Cac0ac的距離為| D1En |2 1

29、2 1.h| n |33（ 3 ） 設 平 面 D1EC 的 法 向 量 n ( a, b, c)， 第16頁CE(1, x2,0), D1 C(0,2, 1), DD 1(0,0,1),ruuuur由n ? D C0,2bc01r uuur0,ab(x2) 0.n ?CE n( 2x,1,2).ruuuur依題意 cos| n ? DD1 |2ruuuur4| n | ? | DD1 |2令 b=1, c=2,a=2x，22 .( x2)2 52 x123 （不合，舍去）， x223 .AE= 23 時，二面角 D1ECD 的大小為.4四、利用向量知識解決立體幾何中的探索性問題。例 11解：

30、直三棱柱 ABCA1B1C1 ， AC3, BC4, AB5, AC , BC ,CC1 兩兩垂直，以 C 為坐標原點，ZC1直線CA, CB, CC1 分別為x軸 y 軸，zA1軸，建立空間直角坐標系，則 C (0,0, 4), A(3,0,0), C1(0,0,4) ， B(0, 4,0), B1(0, 4,4)Cuuuruuuur(0, 4,4)uuuruuuur0,uuuruuuur（1）Q AC( 3,0,0), BC1， AC ?BC1ACBC1ADxACBCuuuruuur（2）假設在 AB 上存在點 D ，使得 AC1CD ，則 ADAB (3,4 ,0)其中01，則，于是uuuruuuur(3,0,4) ，D(3 3 ,4,0)CD(3 3,4,0)由于 AC1且 AC1 CD所以990 得1 ，所以在 AB 上存在點 D 使得 AC1CD ，且這時點 D與點 B重合。（ 3）假設在AB上存在點D使 得 AC1 / 平面 CDB1， 則uuuruuur( 3, 4,0)其中01則D (33 ,4 ,0)，ADABuuuur