Hilbert矩陣病態(tài)線性代數方程組的求解教學文稿(共9頁)

1、Hilbert矩陣病態(tài)線性代數方程組的求解實驗一 病態(tài)線性代數方程組的求解1.估計Hilbert矩陣2-條件數與階數的關系運行tiaojianshu.m 輸入m=10 可以得到如下表的結果階數12 345條件數119.28524.051.55e+44.76e+5階數678910條件數1.49e+74.75e+81.52e+104.93e+111.60e+132.選擇不同維數，分別用Guass消去（LU分解），Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代求解，比較結果。說明：Hx=b，H矩陣可以由matlab直接給出，為了設定參考解，我們先設x為分量全1的向量，求出b,然后將H和b作為已知量，求x，與

2、設定的參考解對比。對于Jacobi迭代，GS迭代，SOR迭代，取迭代初值x0為0向量，迭代精度eps=1.0e-6， 迭代次數1) s=A(i,1:(i-1)*x(1:(i-1),1); else s=0; end x(i,1)=(b(i)-s)/A(i,i);endsolveUpTriangle.mfunction x=solveUpTriangle(A,b)% 求上三角系數矩陣的線性方程組Ax=bN=size(A);n=N(1);for i=n:-1:1 if (i=eps x=B*x0+f; n=n+1; tol=norm(x-x0); x0=x; if (n=m) disp(迭代次數太

3、多，可能不收斂); return; endenddisp(x)disp(n)4.GS法function x,n=gauseidel(a,x0)a=input(請輸入系數矩陣的維數n=);x0=input(請輸入迭代初始向量x0);eps=1.0e-6;%解的精度控制m=100000;%迭代步數控制H=hilb(a);%生成h矩陣x_exact=ones(a,1);%求出x精確值b=H*x_exact;D=diag(diag(H);L=-tril(H,-1);U=-triu(H,1);G=(D-L)U;f=(D-L)b;x=x0;n=0;tol=1;while tol=eps x=G*x0+f;

4、 n=n+1; tol=norm(x-x0); x0=x; if (n=m) disp(迭代次數太多，可能不收斂); return; endenddisp(x)disp(n)5.SOR法function x,n=SOR(a,x0,w)a=input(請輸入系數矩陣的維數n=);x0=input(請輸入迭代初始向量x0=);w=input(請輸入w=);eps=1.0e-6;%解的精度控制m=100000;%迭代步數控制H=hilb(a);%生成h矩陣x_exact=ones(a,1);%求出x精確值b=H*x_exact;if (w=2) error; return;endD=diag(diag(H);L=-tril(H,-1);U=-triu(H,1);B=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-L*w)*b;x=x0;n=0;tol=1;while tol=eps x=B*x0+f; n=n+1; tol=norm(