函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及基本性質(zhì)

1、第六節(jié) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)C 一、問題的提出C二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性C 三、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)C四、小結(jié)、冋題的提出問題：有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和仍是連續(xù)函數(shù)，有 限個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)及積分也分別等于他們的 導(dǎo)數(shù)及積分的和.對(duì)于無限個(gè)函數(shù)的和是否具有這些性質(zhì)呢？對(duì)于幕函數(shù)是這樣的，那么對(duì)于一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是否如此？例1考察函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)z 2 z 32、z IIH 1 X + (兀一X ) + ( X X ) + + ( X X ) + 和函數(shù)的連續(xù)性.解因?yàn)樵摷?jí)數(shù)每一項(xiàng)都在0,1是連續(xù)的,且Sn(x) = x 得和函數(shù):s(x) = lim s/z(x)=n-oo0,

2、0 x1,X = 1N時(shí)，對(duì)區(qū)間/上的一切 兀，都有不等式s(x)- Sn(x) ”(兀)在區(qū)間/上一致11 = 1收斂于和s(K),也稱函數(shù)序列su(x)在區(qū)間/上 一致收斂于s(x).幾何解釋：只要充分大(n N),在區(qū)間/上所有曲線y = Sn(x)將位于曲線y = (x)4- 8 與丿= $()- 之間.0X例2研究級(jí)數(shù)(+、兀+ 2 x + 1J在區(qū)間0，+oo ）上的一致收斂性.(0 x +oo )“2(兀)=lim sn (x) = lim = 011TOO 兀 + 余項(xiàng)的絕對(duì)值億=s(x)-sH(x)=(0 x 0,取自然數(shù)N 則當(dāng)時(shí)，對(duì)于區(qū)間0,+oo上的一切兀，有此（兀）|

3、 ,因此級(jí)數(shù)在(0,1 )內(nèi)不一致連續(xù).說明：雖然函數(shù)序列sH(x)= XH在(0, 1 )內(nèi)處處收斂于s(x) = 0,但s”O(jiān))在(0, 1)內(nèi)各點(diǎn)處收斂于零的程度是不一致的.從下圖可以看出:注意：對(duì)于任意正數(shù)r 1,這級(jí)數(shù)在0,門上一致收斂.小結(jié)一致收斂性與所討論的區(qū)間有關(guān).(1)00（2） 正項(xiàng)級(jí)數(shù)丫化收斂，11 = 1一致收斂性簡(jiǎn)便的判別法:定理 （魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法）如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匕（兀）在區(qū)間/上滿足條件:11 = 1WM(X)0,根據(jù)柯西 審斂原理存在自然數(shù)N,使得當(dāng)n N時(shí)，對(duì) 于任意的自然數(shù)卩都有由條件(1)，對(duì)任何X G Z ,都有” + 1(兀

4、)+/ + 2(兀)+ +” + p(兀) u f(x) + Ax) + +n(x) + 八 7w + 2 v 7 + p 7色小+化+ 2 +化+匚，例4令p T 8,則由上式得 8r (x) “（兀）的各項(xiàng)匕（兀）在區(qū)間11-1。,方上都連續(xù)，且工匕（兀）在區(qū)間2,方上一11 = 1致收斂于$（兀），則S（兀）在a.b 上也連續(xù).設(shè)xx為上任意點(diǎn).s(x) = sH(x) + rH(x s(x0) = yjxj + r/xj s(x)-s(xj= |5/i(x)-s/f(x0) + r (x)-r(Xo)o,必m自然數(shù)N = N 4,使得當(dāng)n N時(shí), 對(duì)a,上的一切x都有r,(x)|(2)

5、3同樣有 |r (x0)| N )在點(diǎn)兀連續(xù),ms 0 當(dāng) |x - x0 3 時(shí)總有 |sH(x) - 5h(x0)| 0,必有50, 當(dāng) |x - Xo| 時(shí)，有 |s(x)-5(xo)| .所以s(x)在點(diǎn)*0處連續(xù)，而兀0在a,b 上是任意 的，因此班兀)在a# 上連續(xù).定理2 如果級(jí)數(shù)工化（兀）的各項(xiàng)化（兀）在區(qū)間/| = 1a# 上都連續(xù)，且工”（兀）在區(qū)間2# 上一W = 1致收斂于$（兀），則S（x）在4# 上可以逐項(xiàng)積分,即 f s（x）dxJxo=ux)dx + w2(x)Jx + + I un(x)dx + (4)JxoJ XqJxq 11其中a xQ x bf并且上式右

6、端的級(jí)數(shù)在 a# 上也一致收斂.證 級(jí)數(shù)(無)在# 一致收斂于s(x),11 = 1由定理1, S(x),廠”(兀)都在a,b 上連續(xù)，XX所以積分 J s(x)dx , f rn(x)dx存在，從而有JXqf s(x)dx - f sH(x)dx = f ru(x)dx N時(shí)有J s(x )dx J s n(x)dx J rn(x)flxXQx0X0KX-Xj 00 J x 08.兀01 = 1XJ、X即 I s(x)dx = V I u.(x)dxJ”oV Jr 11 = 1由于N只依賴于而于x0,x無關(guān)，00所以級(jí)數(shù)Y u.(x)dx在a# 上一致收斂.00定理3如果級(jí)數(shù)在區(qū)間la,b

7、上收斂/| = 1于和s（x）,它的各項(xiàng)化（兀）都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)00砒（工），并且級(jí)數(shù)2：（兀）在。，上一致收斂，11 = 100則級(jí)數(shù)工化（兀）在0,方上也一致收斂，且可逐11-1項(xiàng)求導(dǎo)，即sf（x） = 7x） + ur（x） + - + ”（） +丄ZII注意:級(jí)數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo).2 2例如，級(jí)數(shù) sii+siiix+ +sin2Lx +l222n2在任何區(qū)間S#上都是一致收斂的.逐項(xiàng)求導(dǎo)后得級(jí)數(shù)r 22cos x + cos 2 x + + cos n x + 因其一般項(xiàng)不趨于零 ，所以對(duì)于任意值 X都是 發(fā)散的所以原級(jí)數(shù)不可以逐項(xiàng)求導(dǎo).潺級(jí)數(shù)的一致收斂性定理4如果幕級(jí)數(shù)

8、anx11的收斂半徑為0 ,n=i則其級(jí)數(shù)在（_R，R ）內(nèi)的任意閉區(qū)間a.b 上一 致收斂.00進(jìn)一步還可以證明，如果幕級(jí)數(shù)auxn在收斂11 = 1區(qū)間的端點(diǎn)收斂，則一致收斂的區(qū)間可擴(kuò)大到包 含端點(diǎn).定理5如果幕級(jí)數(shù)YanX的收斂半徑為 =1人0,則其和函數(shù)S（兀）在（_R，R ）內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式fZ 00、oo$（兀）=S anX = Z Ha nX1， n = l丿w = l逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的幕級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收 斂半徑.證 先證級(jí)數(shù)nanxn 在（_/?，/?）內(nèi)收斂.11 = 1在（-乩人）內(nèi)任意取定X ,在限定使得由比值審斂法可知級(jí)數(shù)X nq H1收斂,11 = 1于

9、是 nq，_1 t 0 （zz t oo），故數(shù)列呵山有界，必有M0,使得 又Ov v心級(jí)數(shù)|化坊|收斂,W-111 = 1由比較審斂法即得級(jí)數(shù)nanx，x收斂.11=1由定理4,級(jí)數(shù)工叫嚴(yán)在（-心1?）內(nèi)的任意11 = 1閉區(qū)間4# 上一致連續(xù)，故幕級(jí)數(shù)f HXH在a# 上適合定理3條件，從 71 = 1而可以逐項(xiàng)求導(dǎo).由a# 在（-慮,人）內(nèi)的任意性,00即得幕級(jí)數(shù)工化兀在（-人，人）內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo).11 = 100t-100ZII = 1逐項(xiàng)積分即得設(shè)幕級(jí)數(shù)2L UanXVi將此幕級(jí)數(shù)00的收斂半徑為疋R Rna ux1lx 在0,兀(x V /?)上因逐項(xiàng)積分所得級(jí)數(shù)的收斂半徑不會(huì)縮小, 所以Rf N時(shí),5（x）與其極限之差的絕對(duì)值