第一章 誤差分析

1、第一章第一章 誤差誤差返回前進 數(shù)值分析數(shù)值分析n n n 主講：謝靈紅n 電話 郵箱：第一章第一章 誤差誤差返回前進 教材 數(shù)值方法，金一慶等編 浙江大學 ,機械工業(yè)出版社。 實際上，只要有如下內(nèi)容：緒論與誤差緒論與誤差 、非非線性方程求解線性方程求解 、解線性方程組的直接法解線性方程組的直接法 、解線性方程組迭解線性方程組迭代法代法 、插值法插值法 、曲線擬合和函數(shù)逼近曲線擬合和函數(shù)逼近 、數(shù)值積分與微分數(shù)值積分與微分 、常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解 書都可作為教材。 第一章第一章 誤差誤差返回前進 參考書1.數(shù)值方法數(shù)值方法，金一慶等編，金一慶等編 浙江大學

2、浙江大學 ,機械工業(yè)出版機械工業(yè)出版社社,20002. 數(shù)值分析及其MATLAB實驗，姜健飛等編 , 科學出版社,20043.數(shù)值分析，徐躍良編 , 西南交大出版社,20054. 計算方法，曹德欣等編, 中國礦業(yè)大學出版社,20015 數(shù)值分析方法，奚梅成等編 ,中國科學技術(shù)大學出版社,20036數(shù)值分析(第三版)，顏慶津編北京航空航天大學出版社,2006 高等學校研究生教材。第一章第一章 誤差誤差返回前進考試要求：1、考試為題庫調(diào)題考試。2、期末成績?yōu)?0分以上及實驗成績（上機）通過，該門課程才通過。第一章第一章 誤差誤差返回前進1.1數(shù)值分析課程介紹n隨著計算機和計算方法的飛速發(fā)展，幾乎所

3、有學科都走向定量化和精確化，從而產(chǎn)生了一系列計算性的學科分支，如計算物理、計算化學、計算生物學、計算地質(zhì)學、計算氣象學和計算材料學等，計算數(shù)學中的數(shù)值計算方法則是解決“計算”問題的橋梁和工具。我們知道，計計算能力是計算工具和計算方法的效率的乘積算能力是計算工具和計算方法的效率的乘積，提高計算方法的效率與提高計算機硬件的效率同樣重要?？茖W計算已用到科學技術(shù)和社會生活的各個領(lǐng)域中。 第一章第一章 誤差誤差返回前進n 數(shù)值計算方法，是一種研究并解決數(shù)學問題的數(shù)值近似數(shù)值計算方法，是一種研究并解決數(shù)學問題的數(shù)值近似解方法，是在計算機上使用的解數(shù)學問題的方法，簡稱計解方法，是在計算機上使用的解數(shù)學問題的

4、方法，簡稱計算方法。算方法。 在科學研究和工程技術(shù)中都要用到各種計算方法。例如，在航天航空、地質(zhì)勘探、汽車制造、橋梁設(shè)計、天氣預(yù)報和漢字字樣設(shè)計中都有計算方法的蹤影。 數(shù)值分析既有數(shù)學類課程中理論上的抽象性和嚴謹性，數(shù)值分析既有數(shù)學類課程中理論上的抽象性和嚴謹性，又有實用性和實驗性的技術(shù)特征，數(shù)值分析是一門理論性又有實用性和實驗性的技術(shù)特征，數(shù)值分析是一門理論性和實踐性都很強的學科。和實踐性都很強的學科。在70年代，大多數(shù)學校僅在數(shù)學系的計算數(shù)學專業(yè)和計算機系開設(shè)計算方法這門課程。隨著計算機技術(shù)的迅速發(fā)展和普及，現(xiàn)在計算方法課程幾乎已成為所有理工科學生的必修課程。第一章第一章 誤差誤差返回前進

5、 數(shù)值分析的計算對象是微積分，線性代數(shù)，常微數(shù)值分析的計算對象是微積分，線性代數(shù)，常微分方程中的數(shù)學問題。內(nèi)容包括：插值和擬合、分方程中的數(shù)學問題。內(nèi)容包括：插值和擬合、數(shù)值微分和數(shù)值積分、求解線性方程組的直接法數(shù)值微分和數(shù)值積分、求解線性方程組的直接法和迭代法、計算矩陣特征值和特征向量和常微分和迭代法、計算矩陣特征值和特征向量和常微分方程數(shù)值解等問題。方程數(shù)值解等問題。 數(shù)值分析的計算目標是高等數(shù)學問題的的數(shù)值數(shù)值分析的計算目標是高等數(shù)學問題的的數(shù)值解。解。 對一般理工科的學生，教學內(nèi)容側(cè)重方法的實用對一般理工科的學生，教學內(nèi)容側(cè)重方法的實用性和實驗性部分；我們的宗旨既不以嚴謹理論為性和實驗

6、性部分；我們的宗旨既不以嚴謹理論為主導，也不是全篇的數(shù)據(jù)的數(shù)值計算，而是兩者主導，也不是全篇的數(shù)據(jù)的數(shù)值計算，而是兩者兼顧，兼收方法的基本理論和實用性。兼顧，兼收方法的基本理論和實用性。第一章第一章 誤差誤差返回前進求精確解求精確解( (值值) )一般非常困難。例如：一般非常困難。例如： 1. 1. 方程組階數(shù)方程組階數(shù)n n很大，例如很大，例如n=20,n=20,計算機運算速度計算機運算速度 1 1億次億次/ /秒秒, ,用不好的方法用不好的方法, ,大約需算大約需算3030多萬年多萬年; ; 好方法不到一分鐘。另外，有計算結(jié)果可靠性好方法不到一分鐘。另外，有計算結(jié)果可靠性 問題。問題。2.

7、 2. 特征值定義特征值定義)0(xxAx0 xAx 0)( xIA0| IA第一章第一章 誤差誤差返回前進3. 3. 形式復(fù)雜時求根和求積分很困難。形式復(fù)雜時求根和求積分很困難。 4.4.線性微分方程易解，線性微分方程易解， 如如 非線性方程難解，如非線性方程難解，如 )(xf12 yyy1)0()0( yy1sin2 yyyey 1)0()0( yy 希希 望：望： 求近似解，但方法簡單可行，行之有效求近似解，但方法簡單可行，行之有效 （計算量小，誤差小等）。以計算機為工（計算量小，誤差小等）。以計算機為工 具，易在計算機上實現(xiàn)。具，易在計算機上實現(xiàn)。計算機運算計算機運算: 只能進行加，減

8、，乘，除等算術(shù)運只能進行加，減，乘，除等算術(shù)運 算和一些邏輯運算。算和一些邏輯運算。計算方法：計算方法： 把求解數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為按一定次序只把求解數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為按一定次序只 進行加，減，乘，除等基本運算進行加，減，乘，除等基本運算 數(shù)值方法。數(shù)值方法。第一章第一章 誤差誤差返回前進1.2 1.2 誤差基礎(chǔ)知識誤差基礎(chǔ)知識一一 .誤差來源誤差來源 第一章第一章 誤差誤差返回前進 半個世紀以來計算機還給我們這個世界的諸多煩惱中，半個世紀以來計算機還給我們這個世界的諸多煩惱中，誤差誤差問題最為突出。小到銀行利率的錯算，大到導彈的錯問題最為突出。小到銀行利率的錯算，大到導彈的錯誤發(fā)射，除了操作人員的疏忽

9、、機器的故障引起的過失誤誤發(fā)射，除了操作人員的疏忽、機器的故障引起的過失誤差外，計算機在處理數(shù)據(jù)過程中還存在差外，計算機在處理數(shù)據(jù)過程中還存在計算誤差計算誤差。這是計。這是計算機機器數(shù)系所引起的，這一數(shù)系的特點是算機機器數(shù)系所引起的，這一數(shù)系的特點是有限、離散、有限、離散、支離破碎支離破碎；這和數(shù)學上常用的實數(shù)系；這和數(shù)學上常用的實數(shù)系無限、稠密、連續(xù)無限、稠密、連續(xù)的的特點完全不同。機器數(shù)的表示方法通常采用浮點數(shù)形式，特點完全不同。機器數(shù)的表示方法通常采用浮點數(shù)形式，即：即：mnaaa10.021 數(shù)值計算方法就是數(shù)值計算方法就是“研究用于求得數(shù)學問題近似解研究用于求得數(shù)學問題近似解的方法和

10、過程的方法和過程”，由于算法的實現(xiàn)必須在計算機上進行，由于算法的實現(xiàn)必須在計算機上進行，雖然計算機是非常準確且快捷的計算工具，雖然計算機是非常準確且快捷的計算工具，但計算機并不但計算機并不是象一般人想象哪樣可以解決一切問題而不出是象一般人想象哪樣可以解決一切問題而不出差錯差錯。第一章第一章 誤差誤差返回前進其中其中 ，且，且 都是整數(shù)都是整數(shù)09中的任一個數(shù)。中的任一個數(shù)。 稱為尾數(shù)，尾數(shù)的位數(shù)稱為尾數(shù)，尾數(shù)的位數(shù)n是有限正整數(shù)；是有限正整數(shù)； 中的中的m稱為階數(shù)，階數(shù)也是有界的數(shù)。所以，機器數(shù)中有稱為階數(shù)，階數(shù)也是有界的數(shù)。所以，機器數(shù)中有最大的數(shù)，也有最小的數(shù)。用機器數(shù)表示實數(shù)時，很多情最

11、大的數(shù)，也有最小的數(shù)。用機器數(shù)表示實數(shù)時，很多情況下都帶有誤差況下都帶有誤差 。01anaaa,21naaa21. 0m10 第一章第一章 誤差誤差返回前進 100011001 . 0i例：計算： function s=f(m) s=0; for n=1:m s=s+0.1 end s=s-100運行結(jié)果：運行結(jié)果：s = -1.4069e-012反應(yīng)二進制本質(zhì)反應(yīng)二進制本質(zhì)第一章第一章 誤差誤差返回前進 在在2400多年前，古希臘人提出了被稱為幾何三多年前，古希臘人提出了被稱為幾何三大問題的古典難題。這說明在歷史上，人類就常大問題的古典難題。這說明在歷史上，人類就常被誤差所困擾。下面問題就是

12、三大難題之一。被誤差所困擾。下面問題就是三大難題之一。 第一章第一章 誤差誤差返回前進 例 題 解解 不妨設(shè)已知立方體體積為不妨設(shè)已知立方體體積為1。要作的立方體體積。要作的立方體體積為為2，則所求方立體高度應(yīng)該為，則所求方立體高度應(yīng)該為 ，用計算機計算，用計算機計算出出 ，（，（15位數(shù)）。盡管精確度相位數(shù)）。盡管精確度相當高，但仍是近似值。下面的表當高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了對列出了對h取前有限位取前有限位數(shù)時，計算所得體積的誤差。數(shù)時，計算所得體積的誤差。 32h94872599210498.123例例1 立方倍積問題。作一個立方體，使其體積立方倍積問題。作一個立方體，使其體

13、積為已知立方體的二倍為已知立方體的二倍 。第一章第一章 誤差誤差返回前進例 1（續(xù)）位數(shù)位數(shù) 高度高度體積體積誤差誤差21.21.7282.720010-131.251.9531254.687510-241.2591.9956169794.383010-351.25991.9998997577991.002410-461.259921.999995000191494.999810-671.2599211.999999762390492.376110-781.2599211.999999762390492.377110-791.259921041.999999952878604.712110-8

14、表表1-1 立方倍積問題的計算立方倍積問題的計算 由上表可知，計算機機器數(shù)的有限位特點使這一問題只由上表可知，計算機機器數(shù)的有限位特點使這一問題只能在滿足一定的精度條件下解決，誤差是無法消除的。能在滿足一定的精度條件下解決，誤差是無法消除的。第一章第一章 誤差誤差返回前進1 誤差來源 （2）在給出的數(shù)學模型中往往涉及一些根據(jù)觀測得到）在給出的數(shù)學模型中往往涉及一些根據(jù)觀測得到的物理量，如電壓、電流、溫度、長度等，而觀測難免不的物理量，如電壓、電流、溫度、長度等，而觀測難免不帶誤差，這種誤差稱為帶誤差，這種誤差稱為觀測誤差觀測誤差。 一個物理量的真實值和我們算出的值往往不相等，其一個物理量的真實

15、值和我們算出的值往往不相等，其差稱為誤差。引起誤差的原因是多方面的。差稱為誤差。引起誤差的原因是多方面的。（1）從實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即建立數(shù)學模型時，）從實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即建立數(shù)學模型時，對被描述的實際問題進行了抽象和簡化，忽略了一些次對被描述的實際問題進行了抽象和簡化，忽略了一些次要因素，這樣建立的數(shù)學模型雖然具有要因素，這樣建立的數(shù)學模型雖然具有“精確精確”、“完完美美”的外衣，其實只是客觀現(xiàn)象的一種近似。這種數(shù)學的外衣，其實只是客觀現(xiàn)象的一種近似。這種數(shù)學模型與實際問題之間出現(xiàn)的誤差稱為模型與實際問題之間出現(xiàn)的誤差稱為模型誤差模型誤差。第一章第一章 誤差誤差返回前進方法誤差

16、與舍入誤差（4）在計算中遇到的數(shù)據(jù)可能位數(shù)很多，也可能是無）在計算中遇到的數(shù)據(jù)可能位數(shù)很多，也可能是無窮小數(shù)，如，窮小數(shù)，如， ， 等，由于計算機數(shù)系是等，由于計算機數(shù)系是間斷間斷的且的且有界有界，即計算時只能對有限位數(shù)進行運算，因，即計算時只能對有限位數(shù)進行運算，因此必須進行四舍五入，這樣產(chǎn)生的誤差稱為此必須進行四舍五入，這樣產(chǎn)生的誤差稱為舍入誤差舍入誤差 。e,3/1 ,2（3）在計算中常常遇到只有通過無限過程才能得到的結(jié)）在計算中常常遇到只有通過無限過程才能得到的結(jié)果，但實際計算時，只能用有限過程來計算。如無窮級數(shù)果，但實際計算時，只能用有限過程來計算。如無窮級數(shù)求和，只能取前面有限項求

17、和來近似代替，于是產(chǎn)生了有求和，只能取前面有限項求和來近似代替，于是產(chǎn)生了有限過程代替無限過程的誤差，稱為限過程代替無限過程的誤差，稱為截斷誤差截斷誤差，這是計，這是計算方法本身出現(xiàn)的誤差，所以也稱算方法本身出現(xiàn)的誤差，所以也稱方法誤差方法誤差，這種誤，這種誤差是需要特別重視的。差是需要特別重視的。第一章第一章 誤差誤差返回前進 有時，帶有誤差的數(shù)據(jù)也被人們頻繁使用。例如，在某有時，帶有誤差的數(shù)據(jù)也被人們頻繁使用。例如，在某次人口普查，經(jīng)統(tǒng)計我國某省的人口數(shù)為次人口普查，經(jīng)統(tǒng)計我國某省的人口數(shù)為7123萬，這就是萬，這就是一個近似數(shù)，其舍入誤差不超過一個近似數(shù)，其舍入誤差不超過0.5萬。萬。

18、用用3.1415926來代替圓周率，其舍入誤差為來代替圓周率，其舍入誤差為 1415926. 3R舍入誤差753! 71! 51! 31sinxxxxx取取 ，作近似計算，則，作近似計算，則 為其截斷誤差。為其截斷誤差。 53! 51! 31xxxSSxR sin第一章第一章 誤差誤差返回前進條條 件件 問問 題題第一章第一章 誤差誤差返回前進遞 推 算 法 遞推算法是解決實際問題中使用相當普遍的一種算法，遞推算法是解決實際問題中使用相當普遍的一種算法，它的數(shù)學描述是帶初值的遞推關(guān)系式。它的數(shù)學描述是帶初值的遞推關(guān)系式。 例例2 小猴吃桃問題。有一天小猴摘下了若干個桃子，當小猴吃桃問題。有一天

19、小猴摘下了若干個桃子，當即吃掉了一半，還覺得不過癮，又多吃了一個。第二天接即吃掉了一半，還覺得不過癮，又多吃了一個。第二天接著吃了剩下的一半，又多吃了一個。以后每天都是吃掉尚著吃了剩下的一半，又多吃了一個。以后每天都是吃掉尚存的桃子的一半零一個。到第十天早上，小猴準備吃桃子存的桃子的一半零一個。到第十天早上，小猴準備吃桃子時，看到只剩下時，看到只剩下1個桃子了。問小猴第一天共摘下了多少個桃子了。問小猴第一天共摘下了多少個桃子？個桃子？ 解解 設(shè)第設(shè)第k天的桃子數(shù)為天的桃子數(shù)為pk，則桃子數(shù)目變化規(guī)律為，則桃子數(shù)目變化規(guī)律為1211kkpp第一章第一章 誤差誤差返回前進遞 推 算 法（續(xù) 1）

20、這是正向遞推的關(guān)系式，解之，可得逆向遞推關(guān)系式這是正向遞推的關(guān)系式，解之，可得逆向遞推關(guān)系式 )2 , 9 ,10(),1(21kppkk 由初值由初值 ，根據(jù)上式設(shè)計算循環(huán)算法計算，根據(jù)上式設(shè)計算循環(huán)算法計算出出 即第一天的桃子數(shù)為即第一天的桃子數(shù)為1534。 110p15341p 上例中僅涉及整數(shù)序列遞推，根據(jù)初值條件來選擇正上例中僅涉及整數(shù)序列遞推，根據(jù)初值條件來選擇正向遞推或逆向遞推使實際問題得以解決。盡管正向遞推和向遞推或逆向遞推使實際問題得以解決。盡管正向遞推和逆向遞推公式在數(shù)學上完全等價，卻導致兩種完全不同的逆向遞推公式在數(shù)學上完全等價，卻導致兩種完全不同的算法。對于實數(shù)序列的遞

21、推由于初始誤差的存在，可以一算法。對于實數(shù)序列的遞推由于初始誤差的存在，可以一種方向的遞推會使誤差擴大，而另一方向的遞推會使得誤種方向的遞推會使誤差擴大，而另一方向的遞推會使得誤差逐步減小。在設(shè)計（選用）算法時要用使初始誤差不增差逐步減小。在設(shè)計（選用）算法時要用使初始誤差不增長的算法。長的算法。第一章第一章 誤差誤差返回前進) 1( 51) 1( 61 ) 1( 6165 ,) 1( 5155 10101010nInndxxdxxxIndxxdxxxInnnnnnn所以有而556515161),1 ,0(nnnxxxxxx所以有由于遞 推 算 法（續(xù) 2）)11(20,2, 1 ,0510n

22、dxxxInn計算：1011011101015555ln6ln)5ln(5ndxxdxxxxIIxdxxxInnnnnoo)21(151nIInn第一章第一章 誤差誤差返回前進兩種算法的近似值。，依次計算），對按式（取2110, 2 , 1212 . 1ln56ln5ln6ln51IIndxxIo) 1(51) 1(6121*nnI取（1-2）kkIkI1511)31 () 1 , 2 , 1,(nnkonnIIII,121：的計算結(jié)果見下屏表、算法按算法，分別取112101222222. 0155115612118232155. 0*14*0II)21 (151nIInn第一章第一章 誤差誤

23、差返回前進表1-1nIn（按算法（按算法1計算）計算）In（按算法（按算法2計算）計算）0.182321550.1823215510.088392250.0883922220.058038750.0580389230.043139580.0431387340.034302080.034303350.028489580.0284683560.024218750.0243249170.021763390.0212326080.016183050.0188369990.030195880.0169261710-0.050979410.01536914110.345806120.0140633912-

24、0.645697260.013016368.305409380.0118412714-41.455618310.01222222130 0*10I第一章第一章 誤差誤差返回前進 說 明1)1(51)1(610nInn1nnIIn0nI*14I0011. 090175121*0I*0I第一章第一章 誤差誤差返回前進的原因。來愈大并遠遠超過替變換且絕對值愈中后面的計算值符號交表，這就是引起有事實上由式倍，的誤差是計算出的倍，因而由算法大計算一次，誤差就擴經(jīng)算法的誤差即原始數(shù)據(jù)111)(lim)41 (5151*0nnhnnIIII)21 (151nIInn 說 明（續(xù)1）II01501II1501

25、II5)(50011IIII) 14()5()(511nnnnnIIII第一章第一章 誤差誤差返回前進說明（續(xù)2）kI1kI*1151kkkkIIII*051nnnoIIII*14I*0I1451第一章第一章 誤差誤差返回前進2 絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字的相對誤差。為的絕對誤差或誤差，為近似值分別稱*xexerxxxxeexxer*xxe第一章第一章 誤差誤差返回前進誤差限的意義*xxx005.010210016.014.32，則若取142. 30005.0102100041.0142.33第一章第一章 誤差誤差返回前進相對誤差*xeer第一章第一章 誤差誤差返回前進相對誤差（續(xù)）*xex

26、erreee*x75*10410997925.21.0 x第一章第一章 誤差誤差返回前進2.2 有效數(shù)字 ,005. 0102100159265. 014. 32*1x1416. 3,00005. 0210000011. 0,1416. 3*24*2*2xxx而對第一章第一章 誤差誤差返回前進有效數(shù)字的定義位有效數(shù)字。時具有近似則稱如果，中的一個數(shù)字，是的近似值，若表示記nxxxxaaaaaxxxnmimn*121*,1021)09 , 1 , 0(,10. 0*第一章第一章 誤差誤差返回前進54, 110211416.34*2nnmmx32, 1102114.32*1nnmmx第一章第一章

27、誤差誤差返回前進有效數(shù)字定義的進一步解釋1111*1111211021101021*10)1(*1010.0*nmnmrmmmnaaxxxnxaxaaaax位有效數(shù)字，則有若可得因為由效數(shù)字。二位小數(shù)，只有二位有準確到第雖然有三位小數(shù)，但只，所以即，第二位小數(shù)的半個單位絕對誤差限如位有效數(shù)字。有可知反之，由下式*2*1111005. 00005. 0)(1021005. 0,154. 01021) 1(21010) 1(*xxxxnxaaxxxnmnmr第一章第一章 誤差誤差返回前進11210an) 1(21011an第一章第一章 誤差誤差返回前進有效數(shù)字舉例第一章第一章 誤差誤差返回前進有效

28、數(shù)字舉例近似值。的具有四位有效數(shù)字的求052631578. 0191%01. 00001. 010101105214, 1102105263. 0191105263. 005263. 005263. 0052631578. 0191314411rnm而相對誤差即其絕對誤差可表示為解：第一章第一章 誤差誤差返回前進問要取幾位有效數(shù)字？超過的近似值的相對誤差不反之，要使%,01. 0191。超過，則其相對誤差限就不有效數(shù)字為的近似值取四位因此，只要對由的這即要求出滿足：%01.005263.0191052631578.019143001.0lg1001.0100001.0%01.0105215%0

29、1.01021)1()1(1)1(1nnanannn第一章第一章 誤差誤差返回前進例例3 3 設(shè)設(shè) =0.0270=0.0270是某數(shù)是某數(shù) 經(jīng)經(jīng)“四舍五入四舍五入”所得，所得，求其有效數(shù)字求其有效數(shù)字. . *xx第一章第一章 誤差誤差返回前進解解: : 設(shè)設(shè) =0.0270=0.0270是某數(shù)是某數(shù) 經(jīng)經(jīng)“四舍五入四舍五入”所得，所得，則則 誤差誤差 不超過不超過 末位的半個單位，即：末位的半個單位，即： 又又 , ,故該不等式又可寫為故該不等式又可寫為 由有效數(shù)字定義可知由有效數(shù)字定義可知, , 有有3 3位有效數(shù)字，分別位有效數(shù)字，分別 是是2,72,7，0 0。*x*)(xe*x41

30、021* xx)270. 0(10*1 x311021* xx*xx第一章第一章 誤差誤差返回前進例例4 4 = 32.93, = 32.89,= 32.93, = 32.89,求其有效數(shù)求其有效數(shù)字字. . x*x第一章第一章 誤差誤差返回前進解解: : = 32.93, = 32.89, = 32.93, = 32.89, 故故 有有3 3位有效數(shù)字，分別是位有效數(shù)字，分別是3,23,2，8 8。由于由于 中的數(shù)字中的數(shù)字9 9不是有效數(shù)字，故不是有效數(shù)字，故 不是有不是有效數(shù)。效數(shù)。 x1102105. 004. 0* xx321021* xx*x*x*x*x第一章第一章 誤差誤差返回前

31、進例例1.3 1.3 為了使為了使 的近似值的相對誤差的近似值的相對誤差 0.1%，問至少應(yīng)取幾位有，問至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？效數(shù)字？ 101x1第一章第一章 誤差誤差返回前進3 基本運算中的誤差估計 niiinniiiinnnnxexxxxfxxxxxxfxxxdfxxxfxxxfyyye1211*2121*2*121*)(),()(),(),(),(),()(第一章第一章 誤差誤差返回前進基本運算中的相對誤差)(),(),()(1)(ln)()(211211irniniininiirxexxxfxxxxxffxexfdfffdyyeye第一章第一章 誤差誤差返回前進具體誤差估計，所以有：由

32、于1,),(212121xfxfxxxxfy)()()()()()(22121211212121xexxxxexxxxxexexexxerrr)()() ()( )()(2121211221xexexxexexxexxxerrr)()()()()( 1)(212122211221xexexxexexxxexxxerrr)(21)()( 21)(xexexexxerr第一章第一章 誤差誤差返回前進更細的誤差估計分析1)()()(2121xexexxe)()()(2121xexexxerrr故有：)()()(2121xexexxerrr 10)(0) 1 (21221121，的絕對值及時，同號而當

33、xxxxxxxx常大，即：個式子的誤差可能會非時，這兩，特別當則上述結(jié)論可能不成立，可能大于及時，異號而當01)(0)2(2121221121xxxxxxxxxx第一章第一章 誤差誤差返回前進)()(ln)(ln)(xnexndxdyexyrnrn，設(shè)第一章第一章 誤差誤差返回前進例例6 6：測得某桌面的長測得某桌面的長a a的近似值的近似值a a* *=120cm,=120cm,寬寬b b的的 近似值近似值b b* *=60cm=60cm。若已知。若已知|e(a|e(a* *)|0.2cm, )|0.2cm, |e(b |e(b* *)|0.1cm)|0.1cm。 試求近似面積試求近似面積s

34、 s* *=a=a* *b b* * 的絕對誤差限與相對誤差限。的絕對誤差限與相對誤差限。2241 . 01202 . 060|*)(|*|*)(|*|*)(|*)(*)(*)(*)*,(*)(*)*,(*)(cmbeaaebsebeaaebbebbasaeabasse 解解: : 面積面積s=ab,s=ab,在公式（在公式（1.51.5）中）中, ,將將 換為換為 s=ab, s=ab, 則則),(21xxfy 相對誤差限為相對誤差限為%33. 06012024|*)(|*)(| sseser第一章第一章 誤差誤差返回前進 1.3 1.3 選用算法應(yīng)遵循的原則選用算法應(yīng)遵循的原則1.1.盡量簡化計算步驟，減少乘除運算的次數(shù)盡量簡化計算步驟，減少乘除運算的次數(shù). . 第一章第一章 誤差誤差返回前進1.1.盡量簡化計算步驟，減少乘除運算的次數(shù)盡量簡化計算步驟，減少乘除運算的次數(shù). . 例如，計算多項式例如，計算多項式 通常運算的乘法次數(shù)為通常運算的乘法次數(shù)為 nn