橢圓中的焦點(diǎn)三角形案例分析

1、橢圓中的焦點(diǎn)三角形的案例分析江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué) 王建華一：教學(xué)過程：（一）：復(fù)習(xí)引入：1：橢圓的定義2：幾何性質(zhì)：圖形范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)焦點(diǎn)離心率焦半徑準(zhǔn)線方程F1F2MF1MF23：橢圓中的基本圖形【設(shè)計(jì)說明】通過圖表，圖形類比復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，注重其中的異同。（二）：基礎(chǔ)訓(xùn)練及例題問題(一)利用焦點(diǎn)三角形求軌跡方程例1：在ABC中，已知B,C坐標(biāo)分別為(-3,0)和(3,0)，且ABC周長為16，則頂點(diǎn)A的軌跡方程。變題1：在ABC中，已知B,C坐標(biāo)分別為(-3,0)和(3,0)，AB,AC邊上中線長為15，則此三角形重心G的軌跡方程。變題2：（93年全國高考卷）若ABC面積為1，tanABC=,

2、 tanACB=建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求以B,C為焦點(diǎn)并且過點(diǎn)A的橢圓方程BAC【設(shè)計(jì)說明】結(jié)合高考，逐層深入。其實(shí)變題1，2還是要回歸例題1中焦點(diǎn)三角形的邊的關(guān)系進(jìn)行求解。問題(二)焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)A例2已知F1、F2為橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)，若A、B是橢圓過焦點(diǎn)F1的弦，則F2F1B (1)求AF1F2，ABF2的周長。(2)求最大值？(3)求F1AF2的最值？（4） 若F1AF2為鈍角時(shí)，求點(diǎn)A橫坐標(biāo)的范圍（2000年全國高考卷）（5）AF1F2面積的最大值。（6）設(shè)F1AF2為，求的面積【設(shè)計(jì)說明】把不等式、三角、面積等等知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，讓學(xué)生形成一個(gè)整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)的貫通。（三） 鞏

3、固練習(xí)（一）必做題（1）（2005年全國高考卷）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1F2P為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 （2）動(dòng)圓與定圓x2+y2+4y-32=0內(nèi)切且過定圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)A（0，2），求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。（3）已知M為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為2個(gè)焦點(diǎn)，且MF1F2=600, MF2F1=300，則橢圓的離心率為 。（4）已知F1，F(xiàn)2為橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)，M（1，1）為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，A為橢圓上任意一點(diǎn)，求的最大值。（二）選做題 （1）M為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓2個(gè)焦點(diǎn)，I為MF1F2的內(nèi)心，延長MI交F1F2于N，則的值等于

4、(2) 點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其左、右焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)向F1PF2的外角平分線作垂線，垂足為Q，則Q的軌跡為 （3）已知橢圓和直線l:x-y+9=0，在l上任取一點(diǎn)P，經(jīng)過P且以已知橢圓焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，求作出的所有橢圓中長軸最短的橢圓方程。（三）課外拓展自己探求尋找橢圓中的三角形還有哪些性質(zhì)？【設(shè)計(jì)說明】分層教學(xué)，讓每個(gè)學(xué)生都能得到鞏固提高。二：教材設(shè)計(jì)的背景橢圓是新教材選修1-1第二章、選修2-1第二章的內(nèi)容，新教材中圓錐曲線的要求大大降低，其中只有橢圓的考綱要求仍然為B，由此可見橢圓的重要性。橢圓在物理學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)中有著廣泛的運(yùn)動(dòng)。從知識(shí)體系上看橢圓有著承前啟后的作用：它必修2是直

5、線和圓的的延續(xù)，實(shí)質(zhì)上圓是一種特殊的橢圓；又為進(jìn)一步拋物線、雙曲線等內(nèi)容打下基礎(chǔ)。 從思想方法上看，它是培養(yǎng)提高學(xué)生思維能力的好題材。學(xué)習(xí)橢圓要經(jīng)常畫圖、分析,要綜合運(yùn)用前面函數(shù)的知識(shí)解決橢圓中的一些問題，這些都有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。橢圓中的焦點(diǎn)三角形是橢圓中的重要內(nèi)容，歷年的高考題常常在此做文章，本節(jié)課在一些高考題的基礎(chǔ)上加以拓展和深化。同時(shí)融入三角和不等式的知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)的綜合運(yùn)用。所以根據(jù)上述教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的實(shí)際，確定教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。學(xué)習(xí)目的：1：通過橢圓中焦點(diǎn)三角形的復(fù)習(xí)，進(jìn)一步掌握橢圓的兩種定義。2：通過變式訓(xùn)練拓展學(xué)生的思維。3：聯(lián)系高考，講練結(jié)合，夯實(shí)

6、基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)： 橢圓的第一，第二定義的運(yùn)用。三：教學(xué)的反思與分析（一）、轉(zhuǎn)換問題情境，將問題進(jìn)行類化。問題情境是問題的呈現(xiàn)方式。一個(gè)問題的呈現(xiàn)方式與構(gòu)建的認(rèn)知結(jié)構(gòu)越接近，就越有利于知識(shí)的遷移和運(yùn)用。本節(jié)課問題（一）在解決完例題1之后，又利用變題1，2，實(shí)現(xiàn)情境的轉(zhuǎn)換。依據(jù)問題與認(rèn)知結(jié)構(gòu)間的共同因素，將問題進(jìn)行“類化”。“類化”是指將問題納入相應(yīng)的同類知識(shí)結(jié)構(gòu)中，并從這個(gè)結(jié)構(gòu)中尋找解決問題的方法和策略的過程。在轉(zhuǎn)換問題的情境后，根據(jù)轉(zhuǎn)換后的問題與認(rèn)知結(jié)構(gòu)間的共同因素和聯(lián)系，將問題與知識(shí)結(jié)構(gòu)、新知與舊知、未知與已知相“鏈接”，利用所構(gòu)建的知識(shí)結(jié)構(gòu)去“類化”這個(gè)新問題。問題（一），問題的情

7、境進(jìn)行轉(zhuǎn)化后，便將變題的（1），（2）“類化” 到學(xué)生已構(gòu)建關(guān)于焦點(diǎn)三角形的軌跡的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，在這個(gè)結(jié)構(gòu)中找到解決的途徑和方法。這樣有利于學(xué)生形成知識(shí)的廣泛遷移能力可以避免對(duì)知識(shí)的死記硬背，實(shí)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的貫通理解和轉(zhuǎn)換，有利于認(rèn)識(shí)事件的本質(zhì)和規(guī)律，提高解決問題的靈活性和有效性。（二）：構(gòu)建具有清晰、概括、包容性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家都非常重視認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重要性，他們都持同化論的觀點(diǎn)，主張認(rèn)知結(jié)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)間相互作用的有機(jī)場(chǎng)所，通過廣域性認(rèn)知結(jié)構(gòu)（知識(shí)網(wǎng)絡(luò)）的構(gòu)建，在新舊知識(shí)間和所學(xué)知識(shí)與新問題間建立起實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，使新知（新問題、新情境）同化、納入到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，并在這個(gè)結(jié)構(gòu)中確

8、立其合適的位置。這樣，這個(gè)新問題、新情境變成了“舊”問題、“舊”知識(shí)，減少了學(xué)生對(duì)該問題的陌生感，在不自覺中實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的遷移和運(yùn)用。同時(shí)，這個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中所儲(chǔ)存的知識(shí)不再是零碎的、孤立的，而是經(jīng)過轉(zhuǎn)換的一般性、概括性的觀念結(jié)構(gòu)；不再是陳述性的知識(shí)而是程序性的知識(shí)；不再是封閉性的知識(shí)個(gè)體而是開放性和包容性的知識(shí)結(jié)構(gòu)。 本節(jié)課中的問題（二）焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，通過例題2的六個(gè)不同的問題，把三角函數(shù)、面積、基本不等式等等看似不同的知識(shí)聯(lián)系在焦點(diǎn)三角形中，把新舊知識(shí)建立成一個(gè)整體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的轉(zhuǎn)化與遷移，拓展學(xué)生的思維。 （三）：梯度練習(xí)，鞏固強(qiáng)化知識(shí)例題 利用例1利用橢圓的簡單定義，求軌跡方程，例題2綜合運(yùn)用各種不等式、三角的知識(shí)解決橢圓中焦點(diǎn)三角形的問題。符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，實(shí)現(xiàn)有淺入深，更加便于學(xué)生的吸收和