常用的一些求和公式

1、下面是常用的一些求和公式:ai, a i+d, a i+2d, a i+3d, . (d 為常數(shù))稱為公差為d的等差數(shù)列.與等差數(shù)列相應(yīng)的級(jí)數(shù)稱為等差級(jí)數(shù)，又稱算術(shù)級(jí)數(shù)通項(xiàng)公式二十依一 1)川前n項(xiàng)和iq , a iq3.,（q 為常數(shù)）等差中項(xiàng)ai, a iq, a稱為公比為q的等比數(shù)列.與等比數(shù)列相應(yīng)的級(jí)數(shù)稱為等比級(jí)數(shù)，又稱幾何級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和等比中項(xiàng)無(wú)窮遞減等比級(jí)數(shù)的和K-1更多地了解數(shù)列與級(jí)數(shù)：等差數(shù)列與等差級(jí)數(shù)(算術(shù)級(jí)數(shù)) 等比數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 等比數(shù)列求和公式 等比數(shù)列：a (n+i)/an=q (n N)。(2) 通項(xiàng)公式：an=aixqA(n-i)；推廣式：an=arrX q

2、A(n-m)；(3) 求和公式：Sn=n*ai (q=i)Sn=ai(i-qAn)/(i-q) =(ai-an*q)/(i- q) (q 工i)(q為比值，n為項(xiàng)數(shù))性質(zhì)： 若 m、n、p、q N，且 m + n=p+q,貝U am*an=ap*aq ； 在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列. 若 m、n、q N，且 m+n=2q，貝U am*an=aqA2(5) G是a、b的等比中項(xiàng)GA2=ab (G工0 .在等比數(shù)列中，首項(xiàng) ai與公比q都不為零. 注意：上述公式中an表示等比數(shù)列的第 n項(xiàng)。等比數(shù)列這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個(gè)常如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常

3、數(shù),數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q半0)等比數(shù)列通式亠CI11(1) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 是：An =A1*qA ( n 1) 若通項(xiàng)公式變形為an=a1/q*qAn(n N*),當(dāng)q0時(shí)，則可把 an看作自變量 n的函數(shù)，點(diǎn)(n,an)是曲線y=a1/q*qAx上的一群孤立的點(diǎn)。等比公式求和公式“C - nCl1-7q(l -/)1-7(2) 等比數(shù)列求和公式：Sn=nA1(q=1)Sn =A1(1-qA n)/(1-q)=(a1-a1qA n)/(1-q)=(a1-a n*q)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qAn (即 A-AqAn)(前提：1)任意兩項(xiàng)

4、 am, an的關(guān)系為 an=am- qA(n-m)(3) 從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推岀： al an=a2 -an-仁a3 an-2=ak ank+1 , k 1,2,n(4) 等比中項(xiàng)：aq ap=aL2 , ar則為ap, aq等比中項(xiàng)。記 n n=a1 - a2an則有 n 2-1=(an)2n-1 , n 2n+1=(an+1)2n+1另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造幕Can,則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說(shuō)：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是同構(gòu)”的。等比中項(xiàng)定義：從第二項(xiàng)起，每

5、一項(xiàng)(有窮數(shù)列和末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)。(5) 無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無(wú)窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)和。編輯本段性質(zhì) 若 m、n、p、q N*，且 m +n=p + q，貝U am*an=ap*aq ； 在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列.“G是 a、b 的等比中項(xiàng) ”“GA2=abG0) ”. 若(an)是等比數(shù)列，公比為 q1,( bn)也是等比數(shù)列，公比是q2,則(a2n),( a3n)是等比數(shù)列，公比為口1人2, 口1人3(can), c 是常數(shù)，(an*bn ),( an/bn)是等

6、比數(shù)列，公比為 q1, q1q2 , q1/q2。(4) 按原來(lái)順序抽取間隔相等的項(xiàng)，仍然是等比數(shù)列。(5) 等比數(shù)列中，連續(xù)的，等長(zhǎng)的，間隔相等的片段和為等比。(6) 若(an)為等比數(shù)列且各項(xiàng)為正，公比為 口，則(log以a為底an的對(duì)數(shù))成等差，公差為log以a 為底q的對(duì)數(shù)。(7) 等比數(shù)列前 n 項(xiàng)之和 Sn =A1(1-qAn”(1-q)=A1(qAn-1)/(q-1)=(A1qAn)/(q-1)-A1/(q-1)(8) 數(shù)列An是等比數(shù)列， An=pn+q，貝U An+K=pn+K 也是等比數(shù)列，在等比數(shù)列中，首項(xiàng)A1與公比q都不為零.注意：上述公式中 AAn表示A的n次方。(6

7、)由于首項(xiàng)為 al，公比為q的等比數(shù)列的通向公式可以寫成an*q/a仁qAn，它的指數(shù)函數(shù) y=ax有著密切的聯(lián)系，從而可以利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列。求等比數(shù)列通項(xiàng)公式an的方法：(1)待定系數(shù)法：已知a (n+1) =2an+3 , a1=1，求an構(gòu)造等比數(shù)列 a ( n+1 ) +x=2 (an+x)a (n+1) =2an+x，丁 a (n+1 ) =2an+3 / x=3所以 a (n+1 ) +3/an+3=2 an+32 為首項(xiàng)為 4，公比為 2 的等比數(shù)列，所以an+3=a1*qA(n-1)=4*2A(n-1),an=2人(n+1)-3編輯本段等比數(shù)列的應(yīng)用等比數(shù)列在生

8、活中也是常常運(yùn)用的。女口：銀行有一種支付利息的方式復(fù)利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，在計(jì)算下一期的利息，也就是人們通常說(shuō)的利滾利。按照復(fù)利計(jì)算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)A存期等比數(shù)列小故事：根據(jù)歷史傳說(shuō)記載，國(guó)際象棋起源于古印度，至今見(jiàn)諸于文獻(xiàn)最早的記錄是在薩珊王朝時(shí)期用波斯文寫 的據(jù)說(shuō)，有位印度教宰相見(jiàn)國(guó)王自負(fù)虛浮，決定給他一個(gè)教訓(xùn)他向國(guó)王推薦了一種在當(dāng)時(shí)尚無(wú)人知曉的游 戲國(guó)王當(dāng)時(shí)整天被一群溜須拍馬的大臣們包圍，百無(wú)聊賴，很需要通過(guò)游戲方式來(lái)排遣郁悶的心情.國(guó)王對(duì)這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，高興之余，他便問(wèn)那位宰相，作為對(duì)他忠心的獎(jiǎng)賞，他 需要得到什么賞賜

9、宰相開(kāi)口說(shuō)道：請(qǐng)您在棋盤上的第一個(gè)格子上放1粒麥子，第二個(gè)格子上放2粒，第三個(gè)格子上放4粒，第四個(gè)格子上放 8粒即每一個(gè)次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的 倍數(shù)，直到最后一個(gè)格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了.好吧！ ”國(guó)王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了宗師的這個(gè)謙卑的請(qǐng)求.這位聰明的宰相到底要求的是多少麥粒呢？稍微算一下就可以得岀： 1+2+2A2+2A3+2A4+ +2人63=2人64-1，直接寫岀數(shù)字來(lái)就是 18, 446 , 744, 073, 709, 551 , 615 粒，這位宰 相所要求的，竟是全世界在兩千年內(nèi)所產(chǎn)的小麥的總和！如果造一個(gè)寬四米，高四米的糧倉(cāng)來(lái)儲(chǔ)

10、存這些糧食，那么這個(gè)糧倉(cāng)就要長(zhǎng)三億千米，可以繞地球赤道 7500圈，或在日地之間打個(gè)來(lái)回。國(guó)王哪有這么多的麥子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西薩班達(dá)依爾的一筆永遠(yuǎn)也無(wú)法還清的債。正當(dāng)國(guó)王一籌莫展之際，王太子的數(shù)學(xué)教師知道了這件事，他笑著對(duì)國(guó)王說(shuō)：陛下，這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單啊，就像1 + 1=2 一樣容易，您怎么會(huì)被它難倒？國(guó)王大怒：難道你要我把全世界兩千年產(chǎn)的小麥都給他?”年輕的教師說(shuō)：沒(méi)有必要啊，陛下。其實(shí)，您只要讓宰相大人到糧倉(cāng)去，自己數(shù)岀那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數(shù)一粒，數(shù)完18, 446, 744, 073 , 709, 551 , 615粒麥子所需要的時(shí)間，大約是5800億年（大家可以自己用計(jì)算器算一下?。?。就算宰相大人日夜