初二數(shù)學上冊--多邊形及其內角和

1、2021/3/141溫故而知新溫故而知新 在在ABCABC中中, ,（1 1）C C = 90 = 90,B B=30=30, , 則則 A A = =; ;（2 2）A A = 100 = 100,B B=C C , , 則則 B B = =；（3 3）若若ABCABC中的三個內角度數(shù)之比為中的三個內角度數(shù)之比為2 2: :3 3: :4 4, , 則相應外角之比為則相應外角之比為（4 4）三角形的三個內角中，最多有）三角形的三個內角中，最多有個銳角，最個銳角，最 多有多有個直角，最多有個直角，最多有個鈍角個鈍角 2021/3/14211.3.1多邊形2021/3/143觀察下列圖案觀察下列

2、圖案由這圖形你抽象出什么幾何圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?2021/3/144生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?三角形三角形2021/3/145 長方形長方形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?2021/3/146由這圖形你抽象出什么幾何圖形? 四邊形四邊形生活中的平面圖形2021/3/1472021/3/148 六邊形六邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?2021/3/149 八邊形八邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形?2021/3/142021/3/141010三角形三角形 長方形長方形 六邊形六邊形 四邊形四邊形 八邊形八邊形在平面內

3、在平面內,由若干條不在同一條直線上由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做叫做多邊形多邊形。多邊形的定義你能仿照三角形的定義給出多邊形的你能仿照三角形的定義給出多邊形的定義嗎定義嗎?2021/3/142021/3/141111了解一下了解一下頂點頂點內角內角邊邊對角線對角線對角線對角線:連接多邊形不相鄰的兩個頂連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段。點的線段?？杀硎緸榭杀硎緸?五邊形五邊形ABCDE或或五邊形五邊形DCBAEABCDE2021/3/142021/3/141212ABCD12345內角內角:多邊形相鄰兩邊組成的角多邊形相鄰兩邊組成的角

4、外角外角:多邊形的邊與它的鄰邊多邊形的邊與它的鄰邊 的延長線組成的角。的延長線組成的角。內角內角外角外角6789102021/3/142021/3/141313比一比你能說出這兩幅圖形的異同點嗎?（1）（2） 如圖（如圖（1 1）這樣）這樣, ,畫出多邊形的任何一條邊所在的直線畫出多邊形的任何一條邊所在的直線, ,整個四邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形整個四邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形。本節(jié)我們只討論凸多邊形。就是凸多邊形。本節(jié)我們只討論凸多邊形。2021/3/142021/3/141414想一想想一想: :觀察下面多邊形觀察下面多邊形,它們的邊它們的邊,角有什

5、么特點角有什么特點? 在平面內在平面內,內角都相等內角都相等,邊也都相邊也都相等的多邊形叫做等的多邊形叫做正多邊形正多邊形2021/3/142021/3/14151511.3.2 11.3.2 多邊形的內角和多邊形的內角和2021/3/1416v1、在平面內、在平面內,_叫叫做多邊形。做多邊形。v、在多邊形中連接、在多邊形中連接_的線段叫做多邊形的對角線。的線段叫做多邊形的對角線。v、三角形的內角和是、三角形的內角和是_度度v、你能夠利用三角形的內角和求四邊形、你能夠利用三角形的內角和求四邊形的內角和嗎的內角和嗎?試試看？試試看？ABCD思路思路:多邊形問題轉化為多邊形問題轉化為三角形問題來解

6、決三角形問題來解決四邊形的內角和為四邊形的內角和為360由一些線段首尾順次相接組成的圖形由一些線段首尾順次相接組成的圖形多邊形不相鄰的兩個頂點的線段多邊形不相鄰的兩個頂點的線段18002021/3/1417問題問題, ,新知新知 長方形的內角和是長方形的內角和是多少多少?為什么？為什么？如果是任意如果是任意四邊形呢四邊形呢?2021/3/1418BADC（1 1）四邊形）四邊形ABCDABCD的內角的內角 和是多少和是多少? ?（2 2）你是怎樣求的？）你是怎樣求的？2021/3/1419(1)(1)從頂點從頂點A A可以畫幾條對可以畫幾條對角線角線? ?分別是哪幾條？分別是哪幾條？(2)(2

7、)這樣五邊形被分成了這樣五邊形被分成了幾個三角形幾個三角形? ? (3)(3)五邊形的內角和是多少五邊形的內角和是多少度度? ?ABDCE2021/3/1420你來探索六邊形的內角和你來探索六邊形的內角和,你一定行你一定行!ABCDEF被分得三角形個數(shù)被分得三角形個數(shù)六邊形的內角和六邊形的內角和4 41802021/3/1421這種探索方法你掌握了嗎這種探索方法你掌握了嗎?請完成下表請完成下表多邊形的多邊形的邊數(shù)邊數(shù)34567n分成的三分成的三角形個數(shù)角形個數(shù)12多邊形的多邊形的內角和內角和18018021803345n-2180 5(n-2) 180180 4想一想想一想:從表中你能發(fā)現(xiàn)什么

8、從表中你能發(fā)現(xiàn)什么?2021/3/1422n n邊形的內角和等于邊形的內角和等于(n(n2)2)1801802021/3/1423想一想想一想 An A5 A1 A4 A2 A3 An A5 A1 A4 A2 A3PP(1)(2)你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎?2021/3/1424ABCDABCDEABCDEF 該圖中該圖中n邊形共有邊形共有n個三角形個三角形,故所有三角故所有三角形內角和為形內角和為n180 ,但每個圖中都有一個以但每個圖中都有一個以紅圈圈住的點，它是一個圓周角紅圈圈住的點，它是一個圓周角360 ，因此，因此n邊形的內角和為邊形

9、的內角和為 n180 - 360 = (n-2)180 多了什么多了什么?如何處理？如何處理？2021/3/1425多了什么多了什么?如何處理？如何處理？ABCDABCDEABCDEF 這種分割方式這種分割方式,將多邊形分成將多邊形分成n-1個三角形個三角形,故故所有三角形的內角和為（所有三角形的內角和為（n-1）180 ，邊上，邊上一點周圍所形成的平角不是多邊形的內角，因一點周圍所形成的平角不是多邊形的內角，因此此n邊形的內角和為邊形的內角和為 （n-1）180 - 180 = (n-2)180 2021/3/1426例1:求八邊形的內角和的度數(shù)。 解:（n2）180（82）180 1080

10、答:八邊形的內角和為1080。 2021/3/1427例2:一個正多邊形的一個內角為一個正多邊形的一個內角為150150, , 你知道它是幾邊形嗎你知道它是幾邊形嗎? ? 解:設這個多邊形為n邊形,根據(jù)題意得:（n2）18010n n12答：這個多邊形是12邊形。另解:由于多邊形外角和等于360 而這個正多邊形的每個外角都等于 18015030, 所以這個正 多邊形的邊數(shù)等于 3603012。2021/3/1428例題例題3 3、已知兩個多邊形的內角和為、已知兩個多邊形的內角和為14401440, ,且兩且兩多邊形的邊數(shù)之比為多邊形的邊數(shù)之比為1 13, 3,求它們的邊數(shù)分別是求它們的邊數(shù)分別

11、是多少多少? ? 解解:設它們的邊數(shù)分別是設它們的邊數(shù)分別是x,y.由題意得：由題意得： （x-2）180+（ y -2）180=1440 x : y=1 : 3 解之得解之得 x =3 y =9 答：它們的邊數(shù)分別是答：它們的邊數(shù)分別是3和和9。2021/3/1429 牛刀小試牛刀小試: :（1 1）八邊形的內角和等于）八邊形的內角和等于 。（2 2）已知一個多邊形的內角和等于）已知一個多邊形的內角和等于23402340, , 它的邊數(shù)是它的邊數(shù)是 。（3 3）小明在計算多邊形的內角和時求得的）小明在計算多邊形的內角和時求得的 度數(shù)是度數(shù)是10001000, ,他的答案正確嗎他的答案正確嗎?

12、 ?為為 什么？什么？ 1080152021/3/1430 （4 4）已知四邊形）已知四邊形4 4個內角的度數(shù)比是個內角的度數(shù)比是1 12 23 34,4, 那么這個四邊形中最大角的度數(shù)那么這個四邊形中最大角的度數(shù)是是 。（5 5）一個五邊形的三個內角是直角）一個五邊形的三個內角是直角, ,另兩個內角另兩個內角 都是都是n n，則，則n=n= 。（6 6）六角螺母的面是六邊形，它的內角都相等，）六角螺母的面是六邊形，它的內角都相等，則則 這個六邊形的每個內角是這個六邊形的每個內角是 。 （7 7）在四邊形）在四邊形ABCDABCD中，中，A A與與C C互補，那么互補，那么B B 與與D D有

13、什么關系呢有什么關系呢? ?為什么？為什么？ 1441351202021/3/1431探索探索 （1 1）什么是三角形的外角）什么是三角形的外角? ?外角有什么性外角有什么性質？質？ （2 2）類似地）類似地, ,在多邊形中找出在多邊形中找出外角外角DEABCF多邊形的一邊與另一邊的多邊形的一邊與另一邊的延長線的夾角延長線的夾角, ,叫做叫做多邊形多邊形的外角的外角。 2021/3/1432（1 1）如圖）如圖, ,求求ABCABC的三個外角的和。的三個外角的和。 321ABC三角形的三個外角三角形的三個外角之和為之和為3603600 0 2021/3/1433（2 2）四邊形的外角和等于多少

14、度）四邊形的外角和等于多少度? ? 4321DABC（3 3）五邊形的外角和怎么求）五邊形的外角和怎么求?n?n邊形呢？邊形呢？ 2021/3/1434猜想與說理猜想與說理:n邊形的外角和是多少度呢邊形的外角和是多少度呢? 答:都是360.因為多邊形的外角與它相鄰的內角是鄰補角,所以n邊形的外角和加內角和等于n180,內角和為(n2)180,因此，外角和為:n180(n2)180= 360. 結論結論: :多邊形的外角和都等于多邊形的外角和都等于360. 2021/3/1435例例1:一個多邊形的內角和等一個多邊形的內角和等 于它的外角和的于它的外角和的3倍倍,它它 是幾邊形是幾邊形?解解:設

15、它是設它是n邊形邊形,則則(n-2).180=3360解得解得:n=8答：它是答：它是8邊形邊形2021/3/1436例例2 2:一個正多邊形的每個內角比相鄰外角大36求這個多邊形的邊數(shù)。 解:設一個外角為x, 則內角為（x36） 根據(jù)題意得: x+x+36180 x72 360725答：這個正多邊形為正五邊形。2021/3/14372021/3/1438 1. 三角形三個內角的度數(shù)分別是（三角形三個內角的度數(shù)分別是（x+y)o, (x-y)o,xo,且且xy0,則該三角形有一個內則該三角形有一個內角為角為 （）（）A、30OB、45OC、60OD、90O2.一個正多邊形每一個內角都是一個正多

16、邊形每一個內角都是120o,這個這個多邊形是（）多邊形是（）A、正四邊形正四邊形B、正五邊形、正五邊形C、正六邊形、正六邊形D、正七邊形、正七邊形CC2021/3/1439一個多邊形木板一個多邊形木板,截去一個三角形后（截線不經(jīng)截去一個三角形后（截線不經(jīng)過頂點）過頂點）,得到新多邊形內角和為得到新多邊形內角和為2160o，則原多，則原多邊形的邊數(shù)為（邊形的邊數(shù)為（ ）A、13條條B、14條條C、15條條D、16條條4. 下列說法中，錯誤的是（下列說法中，錯誤的是（ ）A、一個三角形中至少有一個角不大于、一個三角形中至少有一個角不大于60O;B、有一個外角是銳角的三角形是鈍角三角形；、有一個外角

17、是銳角的三角形是鈍角三角形；C、三角形的外角中必有兩個角是鈍角；、三角形的外角中必有兩個角是鈍角；D、銳角三角形中兩銳角的和必然小于、銳角三角形中兩銳角的和必然小于60O；AD2021/3/14405.5.小明繞五邊形各邊走一圈小明繞五邊形各邊走一圈, ,他共轉了他共轉了_ _ _度。度。6.6.下列正多邊形下列正多邊形（1 1）正三角形（正三角形（2 2）正方形（）正方形（3 3）正）正五邊形（五邊形（4 4）正六邊形）正六邊形, ,其中用一種正多邊形能鑲其中用一種正多邊形能鑲嵌成平面圖案的是嵌成平面圖案的是; ;360（1）、（）、（2）、（）、（4） 7. 7.如下圖如下圖,AD,AD是是BCBC邊上的高邊上的高,BE,BE是是 ABDABD的的角平分線，角平分線，1=401=40，2=302=30，則，則C=C=_ _ _BED=BED= 。6560ABCD1 2E2021/3/14418 8、兩個多邊形的邊數(shù)比是、兩個多邊形的邊數(shù)比是1:2,1:2,兩個多邊形兩個多邊形的內角和為的內角和為14401440度度, ,求這兩個多邊形的邊數(shù)求這兩個多邊形的邊數(shù), ,2021/3/1442思考、有一六邊形思考、有一六邊形,截去一三角形截去一三角形,內角和內角和會發(fā)生怎樣變化會發(fā)生怎樣變化?請畫圖說明。請畫圖說明。內角和減少內角和減少1