第5章平面向量

1、第五章 平面向量 第1講平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算最新考綱1.了解向量的實(shí)際背景；2.理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線(xiàn)的含義；6.了解向量線(xiàn)性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.基礎(chǔ)診斷 梳理自測(cè)，理解記憶 知 識(shí) 梳 理1.向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線(xiàn)共線(xiàn)

2、向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線(xiàn)向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：abba(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0(a)a；()aaa；(ab)ab3.共線(xiàn)向量定理向量a(a0)與b共線(xiàn)的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba.診 斷 自

3、測(cè)1. 判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)零向量與任意向量平行.()(2)若ab，bc，則ac.()(3)向量與向量是共線(xiàn)向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.()(4)若ab，則存在R使ba.()(5)在ABC中，D是BC中點(diǎn)，則().()2.設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是()A.ab B.abC.a2b D.ab且|a|b|解析表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有，觀(guān)察選項(xiàng)易知C滿(mǎn)足題意.答案C3.(2015全國(guó)卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A. B.C. D.解析由題意得. 答案A4.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角

4、線(xiàn)的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則等于()A. B.2 C.3 D.4解析()()224.故選D.答案D5.(人教A必修4P92A12改編)已知ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于O，且a，b，則_，_(用a，b表示).解析如圖，ba，ab.答案baab考點(diǎn)突破 分類(lèi)講練，以例求法考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念【例1】 給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，則“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac.其中正確命題的序號(hào)是()A. B. C. D.解析不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.正確

5、.，|且，又A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則|，且，方向相同，因此.正確.ab，a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又bc，b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故ac.不正確.當(dāng)b0時(shí)，a，c可能不平行.綜上所述，正確命題的序號(hào)是.答案A規(guī)律方法(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線(xiàn)向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混為一談.(4)非零向量a與的關(guān)系：是與a同方向的單位向量.【訓(xùn)練1】 給出下列命題：兩個(gè)具有

6、公共終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)向量；兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；若a0(為實(shí)數(shù))，則必為零；已知，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線(xiàn).其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析錯(cuò)誤.兩向量共線(xiàn)要看其方向而不是起點(diǎn)與終點(diǎn).正確.因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较?，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小.錯(cuò)誤.當(dāng)a0時(shí)，不論為何值，a0.錯(cuò)誤.當(dāng)0時(shí)，ab，此時(shí)，a與b可以是任意向量. 答案C考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算【例2】 (1)（2015金華聯(lián)考）在ABC中，AB邊的高為CD，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，則()A.ab B.abC.ab D.ab(2)如

7、圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么等于()A. B.C. D.解析(1)ab0，ACB90，AB，CD，BD，AD，ADBD41.()ab.(2)在CEF中，有.因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以.所以，故選D.答案(1)D(2)D規(guī)律方法(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：觀(guān)察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果.【訓(xùn)練2】 (1)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)

8、，若，則等于()A.1 B. C. D.(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，則_.解析(1)，2，即.故.(2)因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以2，已知，故2.答案(1)D(2)2考點(diǎn)三共線(xiàn)向量定理的應(yīng)用【例3】 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn).(1)若ab，2a8b，3(ab).求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線(xiàn).(1)證明ab，2a8b，3(ab).2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共線(xiàn)，又它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn).(2)解kab與akb共線(xiàn)，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，

9、b是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量，kk10，k210，k1.規(guī)律方法(1)證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，可用向量共線(xiàn)解決，但應(yīng)注意向量共線(xiàn)與三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(xiàn).(2)向量a，b共線(xiàn)是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1，2，使1a2b0成立.【訓(xùn)練3】 (1)已知向量i與j不共線(xiàn)，且imj，nij.若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)m，n應(yīng)該滿(mǎn)足的條件是()A.mn1 B.mn1C.mn1 D.mn1(2)(2015嘉興模擬)如圖，經(jīng)過(guò)OAB的重心G的直線(xiàn)與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)m，n，m，nR，則的值為_(kāi).解析(1)由A，B，D共線(xiàn)可設(shè)，于是有imj(nij)nij.又i，j不

10、共線(xiàn)，因此即有mn1.(2)設(shè)a，b，由題意知()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，得存在實(shí)數(shù)使得，即nbmaab，從而消去，得3. 答案(1)C(2)3課堂總結(jié) 反思?xì)w納，感悟提升思想方法1.向量的加、減法運(yùn)算，要在所表達(dá)的圖形上多思考，多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形，比如平行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論.2.證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，可用向量共線(xiàn)來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線(xiàn)與三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(xiàn).3.對(duì)于三點(diǎn)共線(xiàn)有以下結(jié)論：對(duì)于平面上的任一點(diǎn)O，不共線(xiàn)，滿(mǎn)足xy(x，yR)，則P，A，B共線(xiàn)xy1.易錯(cuò)防范1.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩

11、點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿(mǎn)足條件.要特別注意零向量的特殊性.2.在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤.第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示最新考綱1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(xiàn)的條件.基礎(chǔ)診斷 梳理自測(cè)，理解記憶 知 識(shí) 梳 理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2.其中，不共線(xiàn)的向量

12、e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.4. 平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示 設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.診 斷 自 測(cè)1. 判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)

13、平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)1，1，2，2滿(mǎn)足1a1b2a2b，則12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可以表示成.()(5)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，則等于45.()2.在下列向量組中，可以把向量a(3，2)表示出來(lái)的是()A.e1(0，0)，e2(1，2)B.e1(1，2)，e2(5，2)C.e1(3，5)，e2(6，10)D.e1(2，3)，e2(2，3)解析由題意知，A選項(xiàng)中e10，C，D選項(xiàng)中兩向量均共線(xiàn)，都不符合基底條件，故選B

14、(事實(shí)上，a(3，2)2e1e2).答案B3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AOC，且|OC|2，若 ，則()A.2 B. C.2 D.4解析因?yàn)閨OC|2，AOC，所以C(，)，又 ，所以(，)(1，0)(0，1)(，)，所以，2.答案A4.（2016杭州聯(lián)考）設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(kāi).解析()，所以1，2，即12.答案5.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)滿(mǎn)足，則_.解析，()，. 答案考點(diǎn)突破 分類(lèi)講練，以例求法考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用

15、【例1】 (1)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，若，則等于()A. B. C. D.(2)(2016杭州二中調(diào)研)如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi).解析(1)因?yàn)?)22，所以，所以.(2)設(shè)k，kR.因?yàn)閗k()k(1k)，且m，所以1km，解得k，m.答案(1)D(2)規(guī)律方法(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.(3)要熟練運(yùn)用平面幾何的

16、一些性質(zhì)定理.【訓(xùn)練1】 (1)在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1，|b|2，則()A.ab B.abC.ab D.ab(2) （2015紹興聯(lián)考）已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且2，rs，則rs的值是()A. B. C.3 D.0解析(1)法一因?yàn)镃D平分ACB，由角平分線(xiàn)定理，得2，所以2.所以()ab.法二(特殊值法)構(gòu)造直角三角形，令CB1，CA2，AB，則DCB30，所以BD.故，a(ba)ab.(2)，.又rs，r，s，rs0，故選D.答案(1)B(2)D考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】 已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4).設(shè)a，b，c，且3c

17、，2b，(1)求3ab3c；(2)求滿(mǎn)足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c，3c(3，24)(3，4)(0，20)，M(0，20).又2b，2b(12，6)(3，4)(9，2)，N(9，2).(9，18).規(guī)律方法向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行.若已知有向線(xiàn)段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則.【訓(xùn)練

18、2】 (1)(2016廣東六校聯(lián)考)已知A(3，0)，B(0，2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，|OC|2，且AOC，設(shè) (R)，則的值為()A.1 B. C. D.(2)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線(xiàn)，若(2，4)，(1，3)，則()A.(2，4) B.(3，5)C.(3，5) D.(2，4)解析(1)過(guò)C作CEx軸于點(diǎn)E.由AOC，知|OE|CE|2，所以，即，所以(2，0)(3，0)，故.(2)由題意得()2(1，3)2(2，4)(3，5).答案(1)D(2)B考點(diǎn)三平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示【例3】 平面內(nèi)給定三個(gè)向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1).(1)若(akc)

19、(2ba)，求實(shí)數(shù)k；(2)若d滿(mǎn)足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐標(biāo).解(1)akc(34k，2k)，2ba(5，2)，由題意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(2)設(shè)d(x，y)，則dc(x4，y1)，又ab(2，4)，|dc|，解得或d的坐標(biāo)為(3，1)或(5，3).規(guī)律方法(1)兩平面向量共線(xiàn)的充要條件有兩種形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；若ab(b0)，則ab.(2)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解.【訓(xùn)練3】 (1)已知梯形ABCD，其中A

20、BCD，且DC2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi).(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若p(ac，b)，q(ba，ca)，且pq，則角C_.解析(1)在梯形ABCD中，DC2AB，2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(4，2)(x，y)(4x，2y)，(2，1)(1，2)(1，1)，(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，解得，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4).(2)因?yàn)閜q，則(ac)(ca)b(ba)0，所以a2b2c2ab，所以，結(jié)合余弦定理知，cos C，又0C180，所以C60.答案(1)(2，4)(2)60課堂總結(jié)

21、反思?xì)w納，感悟提升思想方法1.對(duì)平面向量基本定理的理解(1)平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).(2)平面向量一組基底是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，平面向量基底可以有無(wú)窮多組.(3)用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式.2.向量共線(xiàn)的作用向量共線(xiàn)常常用來(lái)解決交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題和三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，向量共線(xiàn)的充要條件用坐標(biāo)可表示為x1y2x2y10.易錯(cuò)防范1.要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，向量的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo)，當(dāng)向量的起點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，其終點(diǎn)坐標(biāo)就是向量坐標(biāo).2.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)、終

22、點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.3.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.第3講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用最新考綱1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.基礎(chǔ)診斷 梳理自測(cè)，理解記憶 知 識(shí) 梳 理1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念(1)向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a和b，記a，b，則AOB(018

23、0)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos_，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.(3)數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos的乘積.2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夾角：cos .(4)兩非零向量ab的充要條件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等

24、號(hào)成立)|x1x2y1y2| .3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律).(2)ab(ab)a(b)(結(jié)合律).(3)(ab)cacbc(分配律).診 斷 自 測(cè)1. 判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是.()(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量.()(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量.()(4)若ab0，則a和b的夾角為銳角；若ab0，則a和b的夾角為鈍角.()(5)abac(a0)，則bc.()2.(2015全國(guó)卷)向量a(1，1)，b(1，2)，則(2ab)a等于()A.1 B.0C.1 D.2解析因

25、為a(1，1)，b(1，2)，所以2ab2(1，1)(1，2)(1，0)，得(2ab)a(1，0)(1，1)1，選C.答案C3.(2016寧波模擬)如圖，平行四邊形ABCD中，AB2，AD1，A60，點(diǎn)M在AB邊上，且AMAB，則等于()A. B.C.1 D.1解析，所以()221|cos 60121.選D.答案D4.(2016石家莊模擬)已知平面向量a，b的夾角為，|a|2，|b|1，則|ab|_.解析|ab|2|a|22ab|b|242|a|b|cos 1523，|ab|.答案5.(人教A必修4P104例1改編)已知|a|5，|b|4，a與b的夾角120，則向量b在向量a方向上的投影為_(kāi).

26、解析由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為|b|cos 4cos 1202.答案2考點(diǎn)突破 分類(lèi)講練，以例求法考點(diǎn)一平面向量的數(shù)量積【例1】 (1)(2015天津卷)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線(xiàn)段BC和DC上，且，則的最小值為_(kāi).(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為_(kāi)；的最大值為_(kāi).解析(1)法一如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，則B(2，0)，C，D.由得E.由得F.從而2.法二在梯形ABCD中，AB2，BC1，ABC60，可得DC1，()()21cos 60211cos 60cos 120

27、2，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最元小值為.(2)法一如圖，()21，()|21.法二以射線(xiàn)AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，設(shè)E(t，0)，t0，1，則(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因?yàn)?1，0)，所以(t，1)(1，0)t1，故的最大值為1.法三由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB1，|11.當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為DC1，()max|11.答案(1)(2)11規(guī)律方法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義.(2)解決涉及幾何

28、圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，可先利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)再運(yùn)算.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).【訓(xùn)練1】 (1)(2016溫州適應(yīng)性測(cè)試)在ABC中，若A120，1，則|的最小值是()A. B.2 C. D.6(2)(2015四川卷)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點(diǎn)M，N滿(mǎn)足3，2，則等于()A.20 B. 15 C.9 D.6解析(1)1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.(2)取，為一組基底.3，(43)(43)(16292)(1662942)9，選C.答案(1)C(2)C考點(diǎn)二平面向量的夾角與垂直【例2】

29、(1)(2015重慶卷)若非零向量a，b滿(mǎn)足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.(2)已知向量與的夾角為120，且|3，|2.若，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi).解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，設(shè)a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.(2)由，知0，即()()(1)22(1)32940，解得.答案(1)A(2)規(guī)律方法(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若a，b為非零向量，cos (夾角公式)，abab0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解

30、決有關(guān)角度、垂直問(wèn)題.(2)解決向量的夾角問(wèn)題時(shí)要注意方法的選擇，可以用定義法、坐標(biāo)法以及圖形法求解，在用定義法求解的過(guò)程中要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確率.【訓(xùn)練2】 (1)(2016江西師大附中模擬)已知向量a，b滿(mǎn)足a(a2b)3，且|a|1，b(1，1)，則a與b的夾角為()A. B. C. D.(2)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b.若bc0，則t_.解析(1)由|a|1，a(a2b)3，|a|22ab3，ab1，又b(1，1)，|b|，cosa，b，又a，b0，a，b，故選C.(2)bcbta(1t)btab(1t)b2t|a|b|cos 60(1t)|b|2t1tt10，t

31、2.答案(1)C(2)2考點(diǎn)三平面向量的模及應(yīng)用【例3】 (1)(2015浙江卷)已知e1，e2是平面單位向量，且e1e2.若平面向量b滿(mǎn)足be1be21，則|b|_.(2)(2014湖南卷)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1，0)，B(0，)，C(3，0)，動(dòng)點(diǎn)D滿(mǎn)足|1，則|的最大值是_.解析(1)因?yàn)閨e1|e2|1且e1e2.所以e1與e2的夾角為60.又因?yàn)閎e1be21，所以be1be20，即b(e1e2)0，所以b(e1e2).所以b與e1的夾角為30，所以be1|b|e1|cos 301.|b|.(2)設(shè)D(x，y)，由|1，得(x3)2y21，向量(x1，y)，故|的最大值

32、為圓(x3)2y21上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(1，)距離的最大值，其最大值為圓(x3)2y21的圓心(3，0)到點(diǎn)(1，)的距離加上圓的半徑，即11.答案(1)(2)1規(guī)律方法(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算；幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.(2)求向量模的最值(范圍)的方法：代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.【訓(xùn)練3】 (1)(2016杭州模擬)如圖，

33、在ABC中，O為BC中點(diǎn)，若AB1，AC3，60，則|_.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為_(kāi).解析(1)因?yàn)椋?0，所以|cos 6013，又，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.(2)以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC所在直線(xiàn)為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPx(0xa)，D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x).(2，x)，(1，ax)，3(5，3a4x)，|3|225(3a4x)225，當(dāng)x時(shí)取等號(hào).|3|的最小值為5.答案(1)(2)5課堂總結(jié) 反思?xì)w納，感

34、悟提升思想方法1.計(jì)算數(shù)量積的三種方法：定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，要靈活選用，與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用.當(dāng)利用定義處理問(wèn)題較困難時(shí)，可考慮向量的坐標(biāo)法求解.2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積的運(yùn)算.3.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問(wèn)題常用的方法與技巧.易錯(cuò)防范1.數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，abac(a0)不能得出bc，兩邊不能約去一個(gè)向量.2.兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有ab0，反之不成立；兩個(gè)向量夾角為鈍角，則有ab0，反之不成立.3.注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價(jià).第4講平面向量的

35、應(yīng)用最新考綱1.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題；2.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)診斷 梳理自測(cè)，理解記憶 知 識(shí) 梳 理1.向量在平面幾何中的應(yīng)用向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題.(1)證明線(xiàn)段平行或點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線(xiàn)向量定理：ab(b0)abx1y2x2y10.(2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)abab0x1x2y1y20(a，b均為非零向量).(3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式cos (為a與b的夾角).2.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)

36、量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型.解答此類(lèi)問(wèn)題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外，還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識(shí).3.向量在解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用，是以解析幾何中的坐標(biāo)為背景的一種向量描述.它主要強(qiáng)調(diào)向量的坐標(biāo)問(wèn)題，進(jìn)而利用直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答，坐標(biāo)的運(yùn)算是考查的主體.診 斷 自 測(cè)1. 判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)若，則A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn).()(2)解析幾何中的坐標(biāo)、直線(xiàn)平行、垂直、長(zhǎng)度等問(wèn)題都可以用向量解決.()(3)實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(

37、)(4)在ABC中，若0，則ABC為鈍角三角形.()(5)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A(2，1)，B(0，10)，C(8，0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：t()，tR，則點(diǎn)P的軌跡方程是xy10.()2.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3，4)，B(5，2)，C(1，4)，則這個(gè)三角形是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形解析(2，2)，(6，6)，12120，ABC為直角三角形.答案B3.(2016濟(jì)南模擬)在四邊形ABCD中，(1，2)，(4，2)，則該四邊形的面積為()A. B.2 C.5 D.10解析(1，2)(4，2)0，則，故四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂

38、直，面積S|25，故選C.答案C4.(2015湖南卷)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2y21上運(yùn)動(dòng)，且ABBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)，則|的最大值為()A.6 B.7 C.8 D.9解析由A，B，C在圓x2y21上，且ABBC，線(xiàn)段AC為圓的直徑，故2(4，0)，設(shè)B(x，y)，則x2y21且x1，1，(x2，y)，所以(x6，y).故|，當(dāng)x1時(shí)，此式有最大值7，故選B.答案B5.(人教A必修4 P120B8改編)在ABC中，若，則點(diǎn)O是ABC的_(填“重心”、“垂心”、“內(nèi)心”、“外心”).解析，()0，0，OBCA，即OB為ABC底邊CA上的高所在直線(xiàn).同理0，0，故O為ABC的垂心.答案垂

39、心考點(diǎn)突破 分類(lèi)講練，以例求法考點(diǎn)一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用【例1】 (1)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為CD的中點(diǎn).若1，則AB的長(zhǎng)為_(kāi).(2)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BAD120，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，則的值為_(kāi).解析(1)由題意，可知，.因?yàn)?，所以()1，即221.因?yàn)閨1，BAD60，所以|，因此式可化為1|21，解得|0(舍去)或，所以AB的長(zhǎng)為.(2)法一如圖，所以2222cos 1201，解得2.法二建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.由題意知：A(0，1)，C(0，1)，B(，0)，D(，0).由BC3BE，DCDF，可求點(diǎn)

40、E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為E，F(xiàn)，21，解得2.答案(1)(2)2規(guī)律方法用平面向量解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，在便于建立直角坐標(biāo)系的情況下建立平面直角坐標(biāo)系，這樣可以使向量的運(yùn)算更簡(jiǎn)便一些.在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，共線(xiàn)向量定理和平面向量基本定理起主導(dǎo)作用.【訓(xùn)練1】 (1)已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足()，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的_心(填“重”、“垂”、“內(nèi)”、“外”).(2)(2016杭州質(zhì)檢)在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中點(diǎn)，則_.解析(1)由原等式，得()，即()，根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線(xiàn)AD(D為BC的中點(diǎn))所對(duì)應(yīng)

41、向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)ABC的重心.(2)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則A，C，B.E點(diǎn)坐標(biāo)為，(，0)，.答案(1)重(2)考點(diǎn)二平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用【例2】 在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知向量m，n，且2mn|m|，1.(1)求角A的大??；(2)求ABC的面積S.解(1)因?yàn)?mn2sin cos 2cos2sin A(cos A1)sin1，又|m|1，所以2mn|m|sin，即sin.因?yàn)?A，所以A，所以A，即A.(2)cos Acos coscos cos sin sin ，因?yàn)閎ccos A1，所以bc.又sin Asin sin，所以ABC的面

42、積Sbcsin A().規(guī)律方法(1)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題解決.(2)還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識(shí).【訓(xùn)練2】 (1)已知a，b，c為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m(，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，則角A，B的大小分別為()A.， B.，C.， D.，(2)ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，設(shè)向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin

43、 A)，若mn，則角B的大小為_(kāi).解析(1)由mn得mn0，即cos Asin A0，即2cos0，A，A，即A.又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin C，且acos Bbcos Acsin C，ccsin C，所以sin C1，又C(0，)，C，所以B.(2)mn，(ab)(sin Bsin A)(ac)sin C0，又，則化簡(jiǎn)得a2c2b2ac，cos B，0B0，故由1，2，得y11y1，y22y2，整理，得11，21，所以122()220. 課堂總結(jié) 反思?xì)w納，感悟提升思想方法1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，

44、這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題.2.以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法.3.向量的兩個(gè)作用：載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題.易錯(cuò)防范1.對(duì)三角形“四心”的意義不明，向量關(guān)系式的變換出錯(cuò)，向量關(guān)系式表達(dá)的向量之間的相互位置關(guān)系判斷錯(cuò)誤等.2.注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價(jià).3.注意向量共線(xiàn)和兩直線(xiàn)平行的關(guān)系；兩向量a，b夾角為銳角和ab0不等價(jià).課堂總結(jié) 反思?xì)w納，感悟提升 專(zhuān)題探究課二 高考中的三角函數(shù)與平面向量問(wèn)題的熱點(diǎn)題型高考導(dǎo)航從近幾年的高考試題看，全國(guó)卷交替考查三角函數(shù)、解三角形.該部分解答題是高考得分的基本組成部分，不能掉以輕心.該部分的解答題考查的熱點(diǎn)題型有：一考查三角函