概率論與數(shù)理統(tǒng)計總復(fù)習(xí)

1、,( )1( )( )2()( )( )()()( )( )3()( ) ()( )0()( ) ( )ABA BABABN AP AN SP ABP AP BP ABABP ABP AP BP ABP A P B AP AABP ABP A P B 對偶律：三、基本公式：、古典概型的概率計算公式：、加法公式：可推廣到有限個的情形如果，、乘法公式：可推廣到有限個的情形若 與 獨立，1121()4()( )0( )5( )() ()()0,() ()()6()()0( )() ()niiiinjjjiniiiP ABP B AP AP AP BP A P B AP AA AASSP A P B

2、AP ABP B AP AP AP A P B A、條件概率：、全概率公式：其中是 的一個劃分或是 的一個完備事件組、逆概率公式：第第2章章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布一、一維隨機(jī)變量一、一維隨機(jī)變量1、確定分布律和概率密度的常數(shù)、確定分布律和概率密度的常數(shù)-歸一性歸一性注意：區(qū)分互斥和獨立。注意：區(qū)分互斥和獨立。2( )( ),( )1,2,3( )( )( )4( )( )( )( )5(kkka xbbakkkxxxP aXbF bF aP aXbpa bRP aXbf x dxpP XxpkF xP Xxf xxRf t dtF xf xF xf xxYg X 求求求、隨機(jī)變量落

3、在區(qū)間的概率分布律（）、已知分布函數(shù)概率密度、已知分布函數(shù)概率密度在的連續(xù)點 處、)1()2()XYg XXYg X的分布（ ）離散：由 的分布律，求的分布律-（ ）連續(xù)：由 的概率密度，求的概率密度-分布函數(shù)法6、常見的分布：、常見的分布： (0-1)、二項、泊松、均勻、指數(shù)、正態(tài)分布、二項、泊松、均勻、指數(shù)、正態(tài)分布2( , ),( , )( , )( , )( , ), , ,(, )( , )x yGP aXb cYdF b dF b cF a dF a ca b c dRPX YGf x y dxdyGR3、已知聯(lián)合分布求邊緣分布、已知聯(lián)合分布求邊緣分布1121,2,1,2,1,2,

4、( )( , )( , )( , )( )( , )iiijjijijjjijiXYpP XxpiP Xx Yypi jpP Xypjfxf x y dyxRf x yx yRfyf x y dxyR 求求21,2,1,2, ,1,2,( )( , )( )( )( , )( )iijjX YijijXX YXYYP XxpiP XypjP Xx YyP Xx P Yyi jfxxRf x yfx fyx yRfyyR 當(dāng), 獨立時可求當(dāng), 獨立時可求5、討論獨立性、討論獨立性221( ,),1,2,2( , ),( , )( )( )ijiiiiijijXYXYx yRP Xx YyP Xx

5、P YyXYi jpppXYx yRf x yfx fy ）離散型：與 獨立，有或與 獨立，有）連續(xù)型：與 獨立幾乎處處成立11111,2,3,()( )( )()1,2,3, ()( ) ( )( )( ,)(, ), (, )kkkkkkkkkkijijijijjix pXP XxpkE Xxf x dxXf xxg xpXP XxpkE g Xg x f x dxXf xxg x ypX YP Xx YypiE g X Y 若 ：若 ：若 ：若 ： 若：2,1,2,3,( , ) ( , )(, )( , )( , )jg x y f x y dxdyX Yf x yx yR 若：第第3

6、章章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望1、定義、定義22122222()()( )()() ( )()()()1()( )()()()()()( )2 ()( )2()(XYkkkXYE aXbYcaE XbE YcE XYE X E YxE XpD XE XE XxE Xf x dxD XE XE XD XYD XD YEXE XYE YD aXbYca D與 獨立與 獨立、性質(zhì)：二、方差、定義、性質(zhì)2)( )Xb D Y注意：常見分布的期望和方差。注意：常見分布的期望和方差。三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)三、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)(, )()( )()() ( )(, )()(

7、 )0XYXYCov X YEXE XYE YE XYE X E YCov X YD XD YXYXY與 相互獨立，即 與 不相關(guān)()1,2,kkE Xk()1,2,kEXE Xk四、矩四、矩 k階原點矩：階原點矩：k階中心矩：階中心矩：222222()22()22211( )()21( )()212( )()21( )()2( )()3()()xxtxtxf xexxexF xedtxxedtxxF xE XD X 、概率密度：、分布函數(shù)：關(guān)系：、正態(tài)隨機(jī)變量的期望和方差 22222211111111114( ,)()()1()()1( )5(,)(1,2, )(,)(iiinnnnnnnn

8、baXNP aXbaP XaxxXNinC XC XN CCCCC XC XCN C 、正態(tài)隨機(jī)變量取值的概率設(shè)，則、正態(tài)隨機(jī)變量的線性性設(shè)且它們相互獨立，則推廣：2222112121,)(,)(0,1)()nnnnnkknkkCC CCXN nnXnNXNnn特例：推論：；或：，11222211222211222211111111()()1111()()1111()()1111(1,nniiiinniiiinniiiinniiiinnkkkikiiiXXxxnnSXXXnXnnsxxxnxnnSSXXssxxnnkAXaxknn樣本均值： ； 樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：；樣本 階原點距：；112

9、,)1()1()(1,2,)nkkiinkkiikBXXnbxxkn樣本 階中心距：三、抽樣分布三、抽樣分布(上上分位數(shù)分位數(shù))（2） 2分布：設(shè)分布：設(shè)XN(0,1)，X1,X2, , Xn是是 X 的樣本，則統(tǒng)的樣本，則統(tǒng)計量計量 X12X22Xn2 2(n)（3） t分布：設(shè)分布：設(shè)XN(0,1)，Y 2(n)，X 與與Y 相互獨立，則統(tǒng)相互獨立，則統(tǒng)計量計量（4） F分布：分布：設(shè)設(shè)U 2(n1)，V 2(n2)，且，且U與與V 相互獨立，相互獨立，則統(tǒng)計量則統(tǒng)計量( )Xtt nY n1122( ,)U nFF n nV n2211( )()2xxex （ ）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：12212

10、22222121211222122211221,( ,)1(01)2(1)(1)3(1)2,(,)(,)()()1(01nnnXXXXNXXzNtt nnSnnSnXXXY YYXNYNXYNnn 、設(shè)自正態(tài)總體的樣本，則（ ），；（ ）（ ）、設(shè)與分別來自正態(tài)總體和，且這兩個樣本相互獨立，則（ ） ，221212221222112222112222222112212)2(1,1)(3)( () 11()()1) 1snsnsnsnnnSSF nnXYtSnSn近似地；（ ）；其中112211()1,2,)23kkkE XkkAAA、矩估計第 步：求(（ 由未知參數(shù)的個數(shù)確定）第 步：由第 步：解出未知參數(shù)得矩估計量11112( )( , )( , )1( )( , )( , )ln ( )ln( , )( , )2ln ( )ln( , )( ; )ln ( )3niiniiiniiniiLp xXP Xxp xLf xXf xLp xXp xLf xXf xdLd令、最大似然估計(下面步驟以一個參數(shù)為例）若 ：第 步：寫出似然函數(shù)若 ：若 ：第 步：將似然函數(shù)兩端取自然對數(shù)若 ：第 步：解似然方程1212120( ,)4( ,)(,)nnnx xxx xxXXX，得第 步：從而得未知參數(shù)的最大似然估計值參數(shù)的最大似然估計量12121231( )2( )()