第6章連續(xù)型概率分布

1、本章要點(diǎn)本章要點(diǎn): 第第6章章 連續(xù)型概率分布連續(xù)型概率分布n均勻概率分布均勻概率分布n正態(tài)概率分布正態(tài)概率分布n二項(xiàng)概率的正態(tài)近似二項(xiàng)概率的正態(tài)近似n* * 指數(shù)概率分布指數(shù)概率分布n概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 連續(xù)型隨機(jī)變量 X 所有可能取值充滿某個(gè)區(qū)間或整個(gè)實(shí)軸。對(duì)這種隨機(jī)變量，不能象離散型隨機(jī)變量那樣, 指出其取各個(gè)值的概率， 給出概率分布列。而是用“概率密度函數(shù)”表示隨機(jī)變量的概率分布。概率密度概率密度例：例：某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過(guò)程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長(zhǎng)度不盡相同。現(xiàn)測(cè)得該廠生產(chǎn)的100個(gè)零件長(zhǎng)度(單位: mm)如下:引例引例129, 132, 136, 145, 14

2、0, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142,148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137,141, 134, 142, 133, 153,

3、 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134,142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.這這100個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是個(gè)數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是，最大值是155。經(jīng)分組計(jì)算得頻數(shù)分布表如下: 子區(qū)間子區(qū)間頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率(127.5, 131.5)(127.5, 131.5)6 60.060.06(131.5, 135.5)(131

4、.5, 135.5)12120.120.12(135.5, 139.5)(135.5, 139.5)24240.240.24(139.5, 143.5)(139.5, 143.5)28280.280.28(143.5, 147.5)(143.5, 147.5)18180.180.18(147.5, 151.5)(147.5, 151.5)8 80.080.08(151.5, 155.5)(151.5, 155.5)4 40.040.04以小區(qū)間以小區(qū)間 ti-1，ti 為底，為底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 為高為高作一系列小矩形，組成了頻率直方圖，簡(jiǎn)稱直方圖。作一系列小

5、矩形，組成了頻率直方圖，簡(jiǎn)稱直方圖。 由于概率可以由頻率近似， 因此這個(gè)直方圖可近似地刻畫(huà)零件長(zhǎng)度的概率分布情況。 用上述直方圖刻畫(huà)隨機(jī)變量X的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫(huà)X的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù), 同時(shí)將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來(lái)越多, 分組越來(lái)越細(xì)時(shí), 直方圖的上方外形輪廓就越來(lái)越接近于某一條曲線, 這條曲線稱為隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度曲線的概率密度曲線可用來(lái)準(zhǔn)確地刻畫(huà)X的概率分布情況。 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 定義定義:設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,若存在非負(fù)可積函數(shù) f(x), 使X取值于任一區(qū)間 (a, b 的概率可表示成則稱 f (x)為 X 的概率

6、密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度概率密度或密度密度。f (x)xab均勻概率分布均勻概率分布例：例：在一個(gè)質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)邊沿連續(xù)地標(biāo)上在一個(gè)質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤(pán)邊沿連續(xù)地標(biāo)上0至至9的刻的刻度度(0與與9重合重合),隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后讓轉(zhuǎn)盤(pán)自然停止隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)后讓轉(zhuǎn)盤(pán)自然停止,分析轉(zhuǎn)分析轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí)指針?biāo)赶虻目潭缺P(pán)停止時(shí)指針?biāo)赶虻目潭萖的分布情況的分布情況。均勻概率分布均勻概率分布均勻概率分布均勻概率分布：一種連續(xù)型概率分布，其隨機(jī)變量X的取值充滿某一有限區(qū)間a, b，且取區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會(huì)都均等。從而X在 a, b每一等長(zhǎng)度的子區(qū)間上取值的概率都相同。稱X服從上的均勻分布，記作).,(baUX均勻概率密度函數(shù)

7、均勻概率密度函數(shù)均勻分布的概率密度函數(shù)均勻分布的概率密度函數(shù)均勻概率分布均勻概率分布f(x)均勻概率分布的期望值和方差均勻概率分布的期望值和方差若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X服從服從a, b上的均勻分布上的均勻分布,則則練習(xí)練習(xí)已知隨機(jī)變量X服從10,20的均勻分布計(jì)算P(X0 .則稱X服從正態(tài)分布.記為XN(, 2 )。正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于直線關(guān)于直線 對(duì)稱軸，對(duì)稱軸，且且在在 處有拐點(diǎn)處有拐點(diǎn)當(dāng)當(dāng) 曲線以曲線以x軸為漸進(jìn)線軸為漸進(jìn)線x1( )max( )2ff xxxf(x) 決定了圖形的中心位置, 決定了圖形峰的陡峭程度。f (x)f (x)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)正態(tài)

8、分布密度函數(shù)的性質(zhì)正態(tài)概率分布的性質(zhì)正態(tài)概率分布的性質(zhì)正態(tài)隨機(jī)變量的概率由曲線下面積給出。一些常用區(qū)間的概率是68.26%，95.44%，99.72%標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為 1的正態(tài)分布N(0,1),密度函數(shù)為: =1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有關(guān)概率的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有關(guān)概率的計(jì)算若隨機(jī)變量XN(0, 1 ),則對(duì)任意的z0f (x)xz0 0練習(xí)練習(xí)P1457.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量ZN(0, 1 ),計(jì)算下列概率計(jì)算下列概率:練習(xí)練習(xí)P1459.已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量ZN(0, 1 ),對(duì)以下每種情況分別計(jì)算相對(duì)以下每種情況分別計(jì)算相應(yīng)的應(yīng)的

9、z值值:一般正態(tài)分布概率的計(jì)算一般正態(tài)分布概率的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變換標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變換定理定理:若若XN( , 2),則有則有:此結(jié)果說(shuō)明此結(jié)果說(shuō)明:對(duì)對(duì)于一般正態(tài)分布，計(jì)算可先于一般正態(tài)分布，計(jì)算可先轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布態(tài)分布，即當(dāng)即當(dāng)XN( , 2)時(shí)，有時(shí)，有例：例：Grear輪胎公司問(wèn)題輪胎公司問(wèn)題Grear輪胎公司剛剛開(kāi)發(fā)了一種新的鋼絲子午線輪胎，輪胎公司剛剛開(kāi)發(fā)了一種新的鋼絲子午線輪胎，根據(jù)對(duì)輪胎的實(shí)際道路測(cè)試，工程小組已估計(jì)出輪根據(jù)對(duì)輪胎的實(shí)際道路測(cè)試，工程小組已估計(jì)出輪胎可行駛里程的均值胎可行駛里程的均值= 36 500英里，標(biāo)準(zhǔn)差英里，標(biāo)準(zhǔn)差=5 000。另外，收集的

10、數(shù)據(jù)表明正態(tài)分布是一合理的假設(shè)。另外，收集的數(shù)據(jù)表明正態(tài)分布是一合理的假設(shè)。輪胎預(yù)期使用超過(guò)輪胎預(yù)期使用超過(guò)40 000英里的比率是多少？英里的比率是多少？假設(shè)假設(shè)Grear公司正在考慮一項(xiàng)擔(dān)保：如果原裝的輪胎公司正在考慮一項(xiàng)擔(dān)保：如果原裝的輪胎沒(méi)有超過(guò)擔(dān)保中設(shè)定的里程，公司將折價(jià)更換輪胎。沒(méi)有超過(guò)擔(dān)保中設(shè)定的里程，公司將折價(jià)更換輪胎。如果如果Grear公司希望符合折價(jià)擔(dān)保的輪胎不超過(guò)公司希望符合折價(jià)擔(dān)保的輪胎不超過(guò)10%，則擔(dān)保里程應(yīng)為多少？則擔(dān)保里程應(yīng)為多少？z0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.50

11、40 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0

12、.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.793

13、9 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.

14、8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484

15、 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9

16、793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927

17、0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.99

18、78 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 練習(xí)練習(xí)P14612. 2003年年1月，美國(guó)工人工作時(shí)在因特網(wǎng)上平均用月，美國(guó)工人工作時(shí)在因特網(wǎng)上平均用時(shí)時(shí)77小時(shí)（小時(shí)（CNBC，2003年年3月月15日）。假設(shè)美國(guó)工人日）。假設(shè)美國(guó)工人在因特網(wǎng)上的用時(shí)服從正態(tài)分布，總體均值為在因特網(wǎng)

19、上的用時(shí)服從正態(tài)分布，總體均值為77小時(shí)，小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為20小時(shí)。小時(shí)。a. 隨機(jī)選取一名工人，則他花在因特網(wǎng)上的時(shí)間低于隨機(jī)選取一名工人，則他花在因特網(wǎng)上的時(shí)間低于50小時(shí)的小時(shí)的概率是多少？概率是多少？b. 在在2003年年1月，有多大比例的工人花在因特網(wǎng)上的時(shí)間超過(guò)月，有多大比例的工人花在因特網(wǎng)上的時(shí)間超過(guò)100小時(shí)？小時(shí)？c. 如果某人在因特網(wǎng)上的用時(shí)排名在前如果某人在因特網(wǎng)上的用時(shí)排名在前20%，則認(rèn)為他屬于則認(rèn)為他屬于“高高頻用戶頻用戶”。試問(wèn)，如果某名工人屬于試問(wèn)，如果某名工人屬于“高頻用戶高頻用戶”，那么他在因特那么他在因特網(wǎng)上的工作時(shí)間至少應(yīng)該有多少小時(shí)？網(wǎng)上的工作時(shí)

20、間至少應(yīng)該有多少小時(shí)？ 統(tǒng)計(jì)圖表30 二項(xiàng)概率的正態(tài)近似二項(xiàng)概率的正態(tài)近似二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布的圖形p=0.2, n=50 =0.2, n=20p=0.2, n=5p=0.2, n=10p=0.2, n=20 二項(xiàng)概率的正態(tài)近似二項(xiàng)概率的正態(tài)近似在在試驗(yàn)數(shù)大于試驗(yàn)數(shù)大于20，np5和和n(1-p)5情況下，情況下，正態(tài)概率分布給出一易于使用的二項(xiàng)概率近正態(tài)概率分布給出一易于使用的二項(xiàng)概率近似。似。例：例：某公司有某公司有10%的發(fā)票出錯(cuò)的歷史。一個(gè)的發(fā)票出錯(cuò)的歷史。一個(gè)有有100張發(fā)票的樣本已選好，計(jì)算有張發(fā)票的樣本已選好，計(jì)算有13張發(fā)票張發(fā)票有錯(cuò)的概率。有錯(cuò)的概率。連續(xù)修正因子：連續(xù)修正

21、因子：當(dāng)用連續(xù)正態(tài)概率分布來(lái)近當(dāng)用連續(xù)正態(tài)概率分布來(lái)近似離散二項(xiàng)概率分布時(shí)，從似離散二項(xiàng)概率分布時(shí)，從x值加減的值加減的0. 5值。值。練習(xí)練習(xí)已知一種主要的全國(guó)信用卡的所有持卡人中已知一種主要的全國(guó)信用卡的所有持卡人中有有 30%在發(fā)生任何利息之前已全額支付了在發(fā)生任何利息之前已全額支付了其帳單。利用二項(xiàng)分布的正態(tài)近似對(duì)一個(gè)有其帳單。利用二項(xiàng)分布的正態(tài)近似對(duì)一個(gè)有150名信用卡持卡人的組回答下列問(wèn)題：名信用卡持卡人的組回答下列問(wèn)題：a. 在任何利息費(fèi)用發(fā)生之前已支付其帳款余額的在任何利息費(fèi)用發(fā)生之前已支付其帳款余額的客戶數(shù)在客戶數(shù)在 40到到60之間的概率是多大？之間的概率是多大？b. 在任意利息費(fèi)用發(fā)生之前已支付其帳款余額的