河南省鄭州市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

河南省鄭州市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量，，則的值為（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.762．設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.323．如圖已知正方體，點(diǎn)是對角線上的一點(diǎn)且，，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面 B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)為直角三角形時(shí)， D.當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，4．設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，則（）A.10 B.C. D.385．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x6．已知為等差數(shù)列，且，，則（）A. B.C. D.7．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種9．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn)，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.10．已知命題p：，總有，則為（）A.，使得 B.，使得C.，總有 D.，總有11．若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6C.6 D.1412．已知直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若AB的中點(diǎn)為M，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝________14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為___________.15．一個(gè)物體的運(yùn)動方程為其中位移的單位是米，時(shí)間的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時(shí)速度是__________米/秒16．經(jīng)過點(diǎn)，圓心在x軸正半軸上，半徑為5的圓的方程為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知直線l過點(diǎn)A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點(diǎn)P，Q，且|PQ|＝8，求圓C的方程19．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若在上存在極值點(diǎn)，證明：.21．（12分）如圖，五邊形為東京奧運(yùn)會公路自行車比賽賽道平面設(shè)計(jì)圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計(jì)時(shí)需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長（2）在上述條件下，如何設(shè)計(jì)才能使折線賽道（即）的長度最大，并求最大值22．（10分）兩人下棋，每局均無和棋且獲勝的概率為，某一天這兩個(gè)人要進(jìn)行一場五局三勝的比賽，勝者贏得2700元獎(jiǎng)金，（1）分別求以獲勝、以獲勝的概率；（2）若前兩局雙方戰(zhàn)成，后因?yàn)槠渌露K止比賽，間，怎么分獎(jiǎng)金才公平？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件利用正態(tài)分布的對稱性計(jì)算作答.【詳解】因隨機(jī)變，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正態(tài)分布的對稱性得：，所以的值為0.24.故選：A2、D【解析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題3、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法一一計(jì)算可得；【詳解】解：由題可知，如圖令正方體的棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以對于A：若平面，則，則，解得，故A錯(cuò)誤；對于B：若平面，則，即，解得，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為直角三角形時(shí)，有，即，解得或（舍去），故C錯(cuò)誤；設(shè)到的距離為，則，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，，故正確故選：4、A【解析】寫出點(diǎn)坐標(biāo)，由對稱性易得線段長【詳解】點(diǎn)是點(diǎn)，，關(guān)于平面的對稱點(diǎn)，的橫標(biāo)和縱標(biāo)與相同，而豎標(biāo)與相反，，，，直線與軸平行，，故選：A5、C【解析】過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線的定義和平行線的性質(zhì)、直角三角形求解【詳解】如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線的方程為y2＝3x，故選：C.6、B【解析】由已知條件求出等差數(shù)列的公差，從而可求出【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，故選：B7、D【解析】由雙曲線的方程及雙曲線的離心率即可求解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.8、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計(jì)算作答.【詳解】計(jì)算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：用3種顏色，每個(gè)矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C9、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理，再結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線的定義知，是的中點(diǎn)且.在中，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.10、B【解析】由含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}p：，總有是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B11、A【解析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)a、b，即可得.【詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.12、A【解析】設(shè)，，則、，由點(diǎn)在圓上可得，再由向量垂直的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設(shè)，中點(diǎn)，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由點(diǎn)圓位置、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的軌跡方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1則f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e14、【解析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出首項(xiàng)和公差，得出前項(xiàng)和，再由裂項(xiàng)相消的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，因此，所以，所以?shù)列的前2022項(xiàng)的和為.故答案：.15、5【解析】，16、【解析】設(shè)圓方程為，代入原點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)圓方程為經(jīng)過點(diǎn)，代入圓方程則圓方程為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了圓方程的計(jì)算，設(shè)出圓方程是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）由，取倒數(shù)得到，再利用等差數(shù)列的定義求解；（2）由（1）得到，利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】證明：由，以及，顯然，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由（1）可得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和①所以②則由②-①可得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.18、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直關(guān)系得過直線l斜率，由點(diǎn)斜式化簡即可求解l的一般式方程；（2）結(jié)合勾股定理建立弦心距（由點(diǎn)到直線距離公式求解），半弦長，圓半徑的基本關(guān)系，解出，即可求解圓C的方程【小問1詳解】因?yàn)橹本€l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；【小問2詳解】圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝1719、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）利用參變量分離法可得出對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)椋?，可?①當(dāng)時(shí)，由可得，由可得.此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】解：當(dāng)且時(shí)，由，可得，令，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則，.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由題得，在，上為單調(diào)遞增的函數(shù)，在，上恒成立，分類討論，再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可；（2）由（1）可知，在存在極值點(diǎn)，則且，求得，再兩次求導(dǎo)即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題得，在，上為單調(diào)遞增的函數(shù)，在，上恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，由，得，在，上為增函數(shù)，則，在,上恒成立，滿足命題，當(dāng)時(shí)，由，得，在上為減函數(shù)，，時(shí)，，即，不滿足恒成立，不成立，綜上：的取值范圍為.小問2詳解】證明：由（1）可知，在存在極值點(diǎn)，則且即：要證只需證即證又由（1）可知在上為增函數(shù)，且,成立.要證只需證即證：設(shè)則即在上增函數(shù)在為增函數(shù)成立.綜上，成立.21、（1）服務(wù)通道的長為千米（2）時(shí)，折線賽道的長度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負(fù)值舍去）所以服務(wù)通道的長為千米【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，所以因?yàn)椋?，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）即當(dāng)時(shí)，折線賽道的長度最大，最大值為千米22、（1）以獲勝、以獲勝的概率分別是；（2）分給分別元，元