2021蘭州一診含答案

1、2021 年高三診斷考試數(shù) 學（理）留意事項：1. 本試卷分第 i 卷（挑選題）和第 ii卷（非挑選題）兩部分；試題前標注有（理）的試題理科考生作答， 試題前標注有（文）的試題文科考生作答，沒有標注的試題文理科考生均作答；2. 本卷滿分 150 分，考試用時120 分鐘；3. 答題全部在答題紙上完成，試卷上答題無效；第 i 卷（共 60 分）一、挑選題：本大題共12 小題，每道題5 分，共 60 分. 在每道題給出的四個選項中，只有哪一項符合題目要求的 .第19頁 共11頁1. （ 理 ） 設(shè) 全 集 u1,2,3,4,5， 已 知 u 的 子 集 m 、 n 滿 足 集 m1,4 ， m i

2、 n1 ，n i eu m3,5，就 na. 1,3b.3,5c.1,3,5d.1,2,3,52. （理）設(shè) i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 12ai 為純虛數(shù)，就實數(shù) a 為ia. 121b. 2c.2d.23. 曲線yx311 在點 p1 ， 12 處的切線與兩坐標軸圍成三角形的面積是a.75b. 752c. 27d. 2724. 如點p 2,022到雙曲線 xy1 a0, b0 的一條漸近線的距離為2 ，就該雙曲線的離心率為a2b 2a.2b.3c. 2 2d. 235. （理）已知命題：p1 ：函數(shù)f xx1x x11) 的最小值為 3 ；2p ：不等式 11 的解集是 x | x1 ;xp3

3、：,r ，使得 sinsinsin成立 ;p4 ：,r ， tantantan1 tantan成立 .其中的真命題是a. p1b. p1 ， p3c. p2 ， p4d. p1 ，p3， p46. （理）數(shù)列 an 滿意 a11 ， a22 ，且 112 n2) ，就 an3an 1an 1ana. 2 n1b. 2n2 2 nd.c.3 2 n 13開頭7. 執(zhí)行右面的程序框圖，如輸入的那么輸出的p 是a.120 b.240 c.360 d.720n6 , m4輸入 n、mk=1,p=1p=pn-m+kk =k+1是km否輸出 p終止8. 有一個幾何體的三視圖如下列圖，就該幾何體的體積為a.

4、163b.20c.24 d.329. （理）已知動點p 到兩定點 a 、 b 的距離和為 8，且|的全部直線與點 p 的軌跡相交而形成的線段中，長度為整數(shù)的有4ab |4 32，線段 ab 的的中點為 o ，過點 oa. 5 條b. 6 條c. 7 條d. 8 條10. （理）將函數(shù)f x2 sinx 30 的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)3yg x 的圖象如 yg x 在 0, 上為增函數(shù)，就的最大值為4a 4b 3c 2d111.（理）已知函數(shù)f x是 r 上的偶函數(shù)， 且滿意f 5xf 5x ，在0,5上有且只有f 10 ，就 f x 在 2021,2021 上的零點個數(shù)為a 808b 8

5、06c 805d 80412. （ 理 ） 定 義 ：min a,ba,abb,ab0. 在 區(qū) 域0x 2內(nèi) 任 取 一 點y 6px, y， 就 x 、 y滿 足min x2x2 y, xy4x2x2 y 的概率為a. 5 9b. 4 9c. 1 3d. 2 9第二卷（共 90 分）二、填空題：本大題共4 小題，每道題 5 分，共 20 分.rrrrrrr13（理）已知向量 a k,2 ， b2,2， ab 為非零向量，如 aab，就 k.14（理）三位老師安排到4 個貧困村調(diào)查義務(wù)訓練實施情形，如每個村最多去2 個人，就不同的安排方法有種.15. 已知三棱錐 sabc 的全部頂點都在以

6、o 為球心的球面上，abc 是邊長為 1的正三角形， sc為球 o的直徑 , 如三棱錐 sabc 的體積為26，就球 o 的表面積為.16 （ 理 ） 已 知 各 項 為 正 的 數(shù) 列 an 中 ， a11,a22,log2 an 1log 2 ann （ nn）， 就aala21008.122021三、解答題：本大題共6 小題，共 70 分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17（本小題滿分 12 分）在 abc 中，角 a 、 b 、 c 的對邊分別為 a 、 b、 c ， a 2b2c2bc .（）求角 a 的大??；（）如 a23 ， b2 ，求 c 的值18（本小題滿分 1

7、2 分）（理）如圖，在四棱錐pabcd中， pa平面 abcd ，底面 abcd 是菱形，ab2 ，pbad60 （）求證： bdpc ；（）如 paab ，求二面角 apdb 的余弦值 .dacb19（本小題滿分 12 分）（理）某售報亭每天以每份0.4 元的價格從報社購進如干份報紙，然后以每份1 元的價格出售，假如當天賣不完，剩下的報紙以每份0.1 元的價格賣給廢品收購站.（）如售報亭一天購進270 份報紙，求當天的利潤y 單位：元 關(guān)于當天需求量 x （單位：份，xn ）的函數(shù)解析式 .（）售報亭記錄了100 天報紙的日需求量（單位：份） ，整理得下表：日需求量 x24025026027

8、0280290300頻數(shù)10201616151310以 100 天記錄的需求量的頻率作為各銷售量發(fā)生的概率.（1） 如售報亭一天購進270 份報紙，表示當天的利潤（單位：元） ，求的數(shù)學期望；（2） 如售報亭方案每天應(yīng)購進270 份或 280 份報紙，你認為購進270 份報紙好， 仍是購進 280 份報紙好 . 說明理由 .20（本小題滿分 12 分）已知點 p 為 y 軸上的動點，點m 為 x 軸上的動點，點uuuruuurf 1,0為定點，且滿意uuru1 uuurpnnm0 ，2pmpf0 .（）求動點 n 的軌跡 e 的方程；（）過點f 且斜率為 k 的直線 l 與曲線 e 交于兩點

9、a ， b ，試判定在x 軸上是否存在點c ，使得222| ca | cb | ab | 成立，請說明理由.21（本小題滿分 12 分）（理）已知函數(shù)f x1 x222ex ，g x3e2 lnxb （ xr ， e 為常數(shù)， e2.71828 ），且這兩函數(shù)的圖像有公共點，并在該公共點處的切線相同.（）求實數(shù) b 的值；（）如 1xe 時，2 f x2exa 6e22 g xe2 a2 x 恒成立，求實數(shù) a 的取值范疇 .請考生在第 22,23,24題中任選一題 做答，假如多做，就按所做的第一題計分. 做答時請寫清題號.22（本小題滿分10 分）選修 4-1 ：幾何證明選講已知：如圖 ,e

10、 o 為 abc的外接圓，直線 l 為e o 的切線，切點為 b ，直線 ad l ，交 bc 于 d 、交 e o 于 e ， f 為 ac 上一點，且edcfdc .a求證：（）ab2bdbc ；lgf（）點 a、 b 、 d 、 f 共圓.obdce23（本小題滿分10 分 選修 4 4：坐標系與參數(shù)方程在直接坐標系xoy中，直線 l 的方程為 xy40 ，曲線 c 的參數(shù)方程為x3 cos ysin為參數(shù) （i ）已知在極坐標 （與直角坐標系 xoy取相同的長度單位，且以原點 o 為極點， 以 x 軸正半軸為極軸） 中，點 p 的極坐標為（ 4，），判定點 p 與直線 l 的位置關(guān)系；

11、2（ii ）設(shè)點 q 是曲線 c 上的一個動點，求它到直線l 的距離的最小值24（本小題滿分 10 分）選修 4 5：不等式選講已知函數(shù)f xx2x5 （i ）證明：3f x3 ；（ii ）求不等式f xx28 x15 的解集2021 高三診斷考試數(shù)學參考答案及評分標準（理）一、挑選題：本卷共12 小題，每道題 5 分，共 60 分；在每道題給出的四個選項中，只有哪一項符合題目要求的題號123456789101112答案cddabacbdcbb二、填空題：本大題共4 小題，每道題 5 分，共 20 分.13.0 ；14.60 ；15.4；16.3.三、解答題：本大題共6 小題，共 70 分.

12、解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.217.解：（）由a 2b2c2bc ，得 bc2 2bca 212. 3 分1 cos a.2 0a， a2. 6 分3（）由正弦定理 , 得 sin bb sin a231. 9 分 a23a,0b,2 322 b. c 6 ab6. 11 分 cb2 . 12 分18.（）證明：由于四邊形abcd是菱形，所以 acbd .又由于 pa平面 abcd, 所以 pabd .又 paaca, 所以 bd 平面 pac .又 pc平面 pac ，所以 bdpc 6 分（）解：依題意 , 知p平面 pad平面 abcd ，交線為 ad ，過點 b 作 bma

13、d ，垂足為 m ，就 bm平面 pad .n在平面 pad 內(nèi)過 m 作 mnpd ，垂足為 n ，連 bn ,md就 pd 平面 bmn ，所以bnm 為二面角 apdbac的一個平面角 . 9 分b abad ，bad60 ,3 bmab 23 ,dm1. 10 分又 paab ，故 mn2.所以 bn214. 11 分2 cosbnmmn bn227 .1472即二面角 apdb 的余弦值為77. 12 分19.解：（）當x270 時， y27010.4162 ;當 x270 時， y10.4 x270x0.1270x0.40.9 x81 ,0.9x y81, x270 xn 5 分1

14、62, x270（）（ 1）可取 135、144、153、162,就p1350.1，p1440.2 ， p1530.16 ，p1620.54 . e1350.11440.21530.161620.54154.26 . 9 分（2）購進報紙 280 張，當天的利潤為y0.6240400.30.10.6250300.30.20.6260200.30.160.6270100.30.162800.60.38154.68154.26 ，所以每天購進 280 張報紙好 12 分20.解：uuur1 uuuur（）設(shè)n x,y ，就由pnnm0 ，得 p 為 mn 的中點 . 2 分2 p0,y ,2m x

15、,0 .uuuur pmx,y ,2uuur pf1,y .2uuuuruuury2 pmpfx40 ,即y24x .動點 n 的軌跡 e 的方程y24x . 5 分（）設(shè)直線l 的方程為ykx1 ，由ykx1消去 x 得y24 y40 .設(shè) a x , y ， bx , yy4x2 ,就yy4 ,y yk4 . 6 分112212kuuur1 2uuur假設(shè)存在點c m,0滿意條件，就 cax1m, y1 ,cb x2m, y2 ,uur uuur2y y2y 2y 22 ca cbx xm xx my y12 m12 m412121244m2 yy 2 y y m2341212m2m 4

16、k223 . 9 分 4k22 2120 ,關(guān)于 m 的方程 m24m k 2230 有解 . 11 分假設(shè)成立，即在x 軸上存在點 c ，使得| ca |2| cb |2| ab |2 成立. 12 分21.解：（）f xx2e ，g x3e2，x設(shè) f x1 x22ex 與g x3e2 lnxb 的公共點為 x , y ，就有0021 x 22ex3e2 lnxb,00023e2x02e, x0x00. 3 分e2解得 b. 5 分2（）由（）知g x3e2 ln xe ,22所以 2 f x2exa 6e22 g xe2 x2a ln x .有 1xe時， x2a ln x a2 x 恒

17、成立，即a xln xx22x 恒成立 . 1xe , ln x1x22 xx ，且等號不能同時成立，xln x0. axln x在1xe 時恒成立 . 8 分設(shè) hxx22 x（ 1xe） , 就xln xh x2 x2xln x x22x11 xx1x22lnx) .xln x 2 xln x2明顯 x1 0 ，又 ln x1， x2 2ln x0 .所以 h x0 （僅當 x1 時取等號） . hxx22 x在 1,e 上為增函數(shù) . 11 分xln x故 h xmaxhee22e.e1所以實數(shù) a 的取值范疇是e22e, . 12 分e122. 證明：直線 l 為 e o 的切線 ,

18、1acb . ad l , 1 dab .acb dab ,又abc dba , abc dab . abbc .dbab ab2bdbc . 5 分（）由（）可知bacadb .edcfdc ,edcadb ,bacfdc . bacfdbfdcfdb180 .點 a 、 b 、 d 、 f 共圓. 10 分23. 解：（ i ）把極坐標系下的點p 4, 化為直角坐標，得2p 0, 4 .由于點 p 的直角坐標（ 0， 4）滿意直線 l 的方程 xy40 ，所以點 p 在直線 l 上. 5 分（ii ）設(shè)點 q 的坐標為 3 cos,sin ，就點 q 到直線 l 的距離為d|3 cossin4 |2cos462 cos2 2 .226由此得，當 cos1 時， d 取得最小值，且最小值為2 . 10 分624. 解：（ i ）證明：當 x2 時，f x