計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)ch4

1、多元回歸分析CH414.1 從一元到多元在一元回歸分析中，只有一個(gè)自變量。隱含的前提是，影響因變量的主要因素只有一個(gè)，其它影響都是隨機(jī)性的。經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系往往涉及到多種因素和多個(gè)變量。一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的影響因素往往不止一個(gè)。23三變量（二元）線性回歸模型 1、回歸模型、回歸模型q教科書需求量模型：教科書需求量模型：q總體回歸方程：總體回歸方程： E(Y|X)=B1+ B2X2+ B3X3q 總體回歸方程的隨機(jī)形式：總體回歸方程的隨機(jī)形式： Yi= B1+ B2X2i+ B3X3i+uiqY（因變量）因變量）=教科書需求量，教科書需求量，qX2（自變量）自變量）=教科書價(jià)格教科書價(jià)格qX3（自變

2、量）自變量）=可支配收入可支配收入qui =隨機(jī)誤差項(xiàng)隨機(jī)誤差項(xiàng)42、偏回歸系數(shù)、偏回歸系數(shù)B2、 B3稱為偏回歸系數(shù)稱為偏回歸系數(shù)B2表示當(dāng)其他條件不變時(shí)，表示當(dāng)其他條件不變時(shí)， X2變動(dòng)一個(gè)單位變動(dòng)一個(gè)單位Y的均值的改變量；的均值的改變量；B3表示當(dāng)其他條件不變時(shí)，表示當(dāng)其他條件不變時(shí)，X3變動(dòng)一個(gè)單位變動(dòng)一個(gè)單位Y的均值的改變量的均值的改變量。4.2 例子：消費(fèi)的影響因素在第2章中的消費(fèi)函數(shù)是這里我們默認(rèn)工資是唯一重要的影響因素如果把非工資性收入 加入模型，則消費(fèi)函數(shù)為這使得我們?cè)谘芯抗べY收入對(duì)消費(fèi)的影響時(shí)，可以剝離非工資性收入的影響。反之亦然。512ConsumWageu123Cons

3、umWageE-IncomeuE-Income4.3 多元回歸模型的OLS方法第2章總體回歸函數(shù)可以推廣到多元函數(shù) （PRF） 或變量分別記為 ， 用來(lái)表示恒取1 的“變量”。 每次觀察實(shí)際上是維空間的一個(gè)點(diǎn)6122kkYXXu122( )kkE YXX2( ,)iikiY XX2,kXX1X4.3.1 殘差平方和尋找超平面，使散點(diǎn)與它的縱向距離最小如果超平面記為則殘差（散點(diǎn)到平面的縱向距離）為殘差平方和為7122kkYXX122iiiiikkiuYYYXX21221()niikkiiSRSSYXX4.3.2 正規(guī)方程殘差平方和最小的必要條件81221112221212212()( 1)02(

4、)()0 2()()0niikkiiniikkiiiniikkikiikSYXXSYXXXSYXXX4.3.3 正規(guī)方程有唯一解的條件矩陣 的秩為 ，其中912(,)kXXXXk2131122322231 1 1 kknnknXXXXXXXXXXi.e.| 0X X 4.3.4 正規(guī)方程的解當(dāng)n=3時(shí)，正規(guī)方程的解為（小寫字母：離差）10122332233232222232323222332222323()()()()()()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiYXXy xxy xx xxxx xy xxy xx xxxx x4.4 多元CLRM的假設(shè)為

5、了保證多元回歸OLS估計(jì)量具有良好的性質(zhì)，并利用樣本回歸函數(shù)（SPF）推測(cè)總體回歸函數(shù)（PRF）的性質(zhì)，需要對(duì)多元回歸模型做適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。這些假設(shè)與一元回歸模型是類似的。但要增加一個(gè)假設(shè)：自變量之間不存在完全共線性。114.4.1 線性假設(shè)（參數(shù)線性）假設(shè)假設(shè)1 1：因變量：因變量 與自變量與自變量 具有具有線性關(guān)系線性關(guān)系即存在形如 的方程準(zhǔn)確地描述了變量之間的關(guān)系。 這就是總體回歸函數(shù)（PRF）?；?qū)懗?2122kkYXXu122( )kkE YXX4.4.2 自變量不是隨機(jī)變量假設(shè)假設(shè)2 2：自變量：自變量 是非是非隨機(jī)的：在重復(fù)隨機(jī)的：在重復(fù)抽樣的過(guò)程中抽樣的過(guò)程中，每個(gè)自變量每個(gè)自變量

6、 的取值的取值保持保持不變不變。該假設(shè)幫助我們理解“重復(fù)抽樣”情形下OLS估計(jì)量的分布規(guī)律，判斷OLS估計(jì)量的“優(yōu)劣”。13X (2, )jXjk4.4.3 誤差項(xiàng)均值為零 假設(shè)假設(shè)3 3：給定自變量：給定自變量 ， 隨機(jī)誤差項(xiàng)隨機(jī)誤差項(xiàng) 的的均值為均值為0 0，即即該假設(shè)與 等價(jià)，其直觀含義是，因變量在其均值的上下“波動(dòng)”，均值是“波動(dòng)”的中心。142,kXX2122(|,)kkkE Y XXXXiu2(|,)0ikE uXX4.4.4 同方差假設(shè)假設(shè)假設(shè)4 4：誤差項(xiàng)：誤差項(xiàng) 的的方差相等，即方差相等，即 的的條件方差是常數(shù)條件方差是常數(shù)，亦亦即即該假設(shè)的含義是，對(duì)于不同自變量，擾動(dòng)項(xiàng)的“

7、波動(dòng)幅度”是相同的，對(duì)應(yīng)的因變量有相同的“波動(dòng)幅度”方差。1522var( )()iiuE uiuiuiY4.4.5 誤差項(xiàng)無(wú)自相關(guān) 假設(shè)假設(shè)5 5：各個(gè)誤差項(xiàng)之間無(wú)自相關(guān)。對(duì)任意：各個(gè)誤差項(xiàng)之間無(wú)自相關(guān)。對(duì)任意的的 ， 和和 之間之間的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)為為0 0，即，即 16ijiujucov( ,)0iju u4.4.6 無(wú)完全共線性假設(shè)假設(shè)6 6：解釋變量之間不存在完全共線性，：解釋變量之間不存在完全共線性，或者說(shuō)，任何一個(gè)解釋變量不能表示成其或者說(shuō)，任何一個(gè)解釋變量不能表示成其他解釋變量的線性函數(shù)他解釋變量的線性函數(shù)。等價(jià)的表述是 向量組 線性無(wú)關(guān)1712(,)kXXX4.5 高斯-

8、馬爾科夫定理如果如果以上假設(shè)（以上假設(shè)（1-61-6）成立成立，則則最小二乘最小二乘（OLSOLS）估計(jì)量估計(jì)量是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)量。最最優(yōu)的含義是，在所有線性無(wú)偏的估計(jì)中，優(yōu)的含義是，在所有線性無(wú)偏的估計(jì)中，最小二乘估計(jì)量的方差最小最小二乘估計(jì)量的方差最小。滿足假設(shè)（1-6）的回歸模型稱為經(jīng)典線性回歸模型，簡(jiǎn)稱CLRM。184.6 OLS估計(jì)量的BULE性質(zhì)假設(shè)假設(shè)1-61-6滿足時(shí)，滿足時(shí)，OLSOLS估計(jì)量是估計(jì)量是1. 1. 線性的線性的（linearlinear）：因變量：因變量的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。2. 2. 無(wú)無(wú)偏的（偏的（unbiasedunbiased）

9、：估計(jì)量的均值或）：估計(jì)量的均值或數(shù)學(xué)期望等于真實(shí)的數(shù)學(xué)期望等于真實(shí)的參數(shù)參數(shù)。即即3. 3. 最優(yōu)的或有效的（最優(yōu)的或有效的（Best or Best or efficientefficient）：如果存在其它線性無(wú)偏的估）：如果存在其它線性無(wú)偏的估計(jì)量，其方差必定大于計(jì)量，其方差必定大于OLSOLS估計(jì)量的方差。估計(jì)量的方差。19()iiE4.7 誤差項(xiàng)的正態(tài)性假設(shè)為了獲得OLS估計(jì)量的分布，還需要增加如下假設(shè) 假設(shè)假設(shè) 7 7 ：誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布該假設(shè)與一元回歸模型類似，其合理性由中心極限定理來(lái)保證。202(0,)iuN4.8 OLS估計(jì)量的抽樣分布在假設(shè)1-7下，O

10、LS估計(jì)量服從正態(tài)分布該結(jié)論是假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)214.9 學(xué)生t-分布 如果假設(shè)（1-7）成立，則其中 是 的估計(jì)量：后者可用誤差項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)差 來(lái)表示，但 是未知的，用其無(wú)偏估計(jì)量（ 等于參數(shù)的個(gè)數(shù)）來(lái)代替，則得到 。22()iin kitse2iunk2()se2()sek2()se t-分布（df較大）接近正態(tài)分布23-6-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4 T.DIST NORM.DIST4.11 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的原理：在零假設(shè)下計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，如果統(tǒng)計(jì)量“異常異?！?，則拒絕零假設(shè)。零假設(shè)就是對(duì)我們關(guān)心的參數(shù)“賦值”，這也是統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的前提。 由樣本數(shù)據(jù)得

11、到的統(tǒng)計(jì)值是一次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，“異常異?！笔侵冈摻Y(jié)果是“小小概率概率”事件。244.12 由SRF推斷PRF利用26個(gè)家庭（Data2-1）的數(shù)據(jù)，把非工資收入 和工資收入 同時(shí)作為解釋變量，得到消費(fèi)的回歸方程： 為了驗(yàn)證非工資收入對(duì)消費(fèi)的影響，需要檢驗(yàn)總體消費(fèi)函數(shù)（PRF）中 E-Income 的系數(shù) 是否為零。2521490.668 Wage0.685 E-Income se= (0.0587) (0.119)Y 3X2X3 t統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 如果 成立，則當(dāng)前的樣本262322322 (26323)()()tsese03H :0330.6855.760.119()tse23pr.(| 2.0

12、69)0.05t4.13 選取顯著性水平選取 ，則（查表）從而 是小概率事件，拒絕零假設(shè)犯第 類錯(cuò)誤的概率小于事實(shí)上，拒絕原假設(shè) 幾乎不會(huì)犯錯(cuò)誤。2723pr.(| 2.069)0.05t5%| | 5.76t 5%Ipr.(| | 5.76)7.236tE0H4.14 單邊檢驗(yàn)若預(yù)期 ，我們對(duì)犯第 類錯(cuò)誤的概率有新的評(píng)估。作雙邊檢驗(yàn)時(shí)， 是拒絕區(qū)域。作單邊檢驗(yàn)時(shí)如果 ， 的估計(jì)量 是絕對(duì)值較大的負(fù)數(shù)，從而判斷 ，接受零假設(shè)。拒絕區(qū)域變成單尾 。犯第 類錯(cuò)誤的概率修正為雙邊檢驗(yàn)的一半。 如果 ，拒絕 ，犯錯(cuò)概率小于或等于2.5%。本例犯錯(cuò)概率小于 28| |2.069t 30I3302.069

13、t I32.069t 0H3.626E 4.15 單邊檢驗(yàn)的拒絕區(qū)域29拒絕域4.15 置信區(qū)間由 得到我們有 95%的把握斷言，區(qū)間 包含 ，稱它為 的置信區(qū)間。3023pr.(| 2.069)10.95t 333pr.2.0692.0690.95()se3pr. 0.440.930.950.44,0.93334.16 擬合優(yōu)度擬合優(yōu)度用于度量樣本回歸線擬合樣本點(diǎn)（散點(diǎn)）的好壞程度擬合優(yōu)度本質(zhì)上就是在多大程度上能用自變量解釋因變量的變化或者說(shuō)因變量的變動(dòng)有多大“比例”來(lái)源于自變量的變動(dòng)314.17 因變量變異的分解恒等式即 的總變異中能用 解釋的比例是 32()()() 1,2,iiiiii

14、YYYYYYYYuin222111()()nnniiiiiiYYYYuTSSESSRSSY/ESS TSS4.18 擬合優(yōu)度的定義 很顯然，擬合優(yōu)度為0則表明自變量對(duì)因變量沒(méi)有任何解釋力，為1時(shí)則意味著樣本回歸線通過(guò)所有的樣本點(diǎn)。3321ESSRSSRTSSTSS 201R4.19 校正擬合優(yōu)度增加一個(gè)自變量，擬合優(yōu)度增加。增加一個(gè)自變量損失一個(gè)自由度（正規(guī)方程多一個(gè)方程），但這種“不利影響”沒(méi)有體現(xiàn)在擬合優(yōu)度中。我們需要一個(gè)指標(biāo)，它能“權(quán)衡”增加自變量的“得失”。344.20 校正擬合優(yōu)度的定義擬合優(yōu)度的本質(zhì)：被自變量解釋的比例？或多大的比例是誤差導(dǎo)致的？ 的方差分別用無(wú)偏估計(jì)量來(lái)代替： 得

15、到 35var( ), var( )1RSSTSSuYnkn221111(1)RSSnnRRnkTSSnk 2var( )1var( )uRY & uY4.21 校正擬合優(yōu)度增加的條件上式中 是自變量的個(gè)數(shù)（含常數(shù)項(xiàng)）增加新變量導(dǎo)致校正擬合優(yōu)度增加的充要條件是：新變量對(duì)應(yīng)的 t 統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于1。36k4.22 擬合優(yōu)度與校正擬合優(yōu)度 如果 分別用有用其有偏估計(jì)量代替： 就得到先前的擬合優(yōu)度： 37 & uYvar( ), var( )RSSTSSuYnn21RSSESSRTSSTSS 4.23 聯(lián)合檢驗(yàn) -檢驗(yàn)主要用于檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)系數(shù)的顯著性，但有時(shí)需要檢驗(yàn)一組條件是否成立，這就是聯(lián)合檢驗(yàn)。

16、基本思路是比較受限模型和非受限模型的擬合優(yōu)度（或殘差平方和），如果擬合優(yōu)度（殘差平方和）“變化較大”，則約束“失當(dāng)”，拒絕零假設(shè)（受限模型成立）。38t4.24 瓦爾德檢驗(yàn)非受限和受限模型分別為限制條件是瓦爾德檢驗(yàn)的步驟：計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和 與 ，再構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)量：39111(U) mmmmkkYXXXu122(R) mmYXXu012H : 0mmkURSSRRSS （4.14）據(jù)假設(shè)，分子分母均服從卡方分布，故若統(tǒng)計(jì)量異常，拒絕 ，稱 聯(lián)合顯著。針對(duì)聯(lián)合假設(shè)的檢驗(yàn)稱為瓦爾德檢驗(yàn)。4022222() /()/()() /()(1) /()RUcUURURSSRSSkmFRSSnkR

17、RkmRnk,ck m n kFF1,mk0H4.25 瓦爾德檢驗(yàn)的直觀解釋 由（4.14）可見(jiàn)瓦爾德檢驗(yàn)的直觀含義： 如果加上約束條件（去掉一些自變量）后，擬合優(yōu)度變化不大，說(shuō)明這些變量無(wú)關(guān)緊要，是聯(lián)合不顯著的； 如果擬合優(yōu)度變化較大，則它們作為一個(gè)“集體”對(duì)被解釋變量是有影響的，是聯(lián)合顯著的。414.26 F分布的拒絕區(qū)域42012345600.10.20.30.40.50.60.70.80.91 F density function 4.15%4.15%4.15% F Distribution df=(2,10)拒絕域4.27 瓦爾德檢驗(yàn)的特殊情形 時(shí)，瓦爾德檢驗(yàn)就是整體顯著性檢驗(yàn)，原假

18、設(shè) 變?yōu)椋核凶宰兞肯禂?shù)為零。統(tǒng)計(jì)量變?yōu)榭傮w顯著性檢驗(yàn)等價(jià)于擬合優(yōu)度為零的檢驗(yàn)431m 0H22/(1)/(1)/()(1) /()UUcUUESSkRkFRSSnkRnk4.28 例子：房屋價(jià)格的影響因素利用DATA4.1，考慮回歸模型（4.16）其中3個(gè)自變量分別是面積、臥室數(shù)量、浴室數(shù)量。檢驗(yàn)臥室和浴室數(shù)量的聯(lián)合顯著性。 零假設(shè)是 ，上述方程和受限方程的擬合優(yōu)度分別是 與 由（4.14） 計(jì)算得到統(tǒng)計(jì)量：441234PriceSqftBedroomsBaths+u034H :020.835976UR 20.820522RR 查表：由于 ，不能拒絕零假設(shè)。 即使選擇顯著性水平 ，也不能拒絕

19、零假設(shè)： 故 是聯(lián)合不顯著的。4.22中的F分布圖有助于理解聯(lián)合檢驗(yàn)。45(0.8359760.820522) / 20.471(10.835976) /(144)cF*2,102,10(0.05)4.1 i.e. Pr(4.1)5%FF*cFF10%*2,10(0.10)2.92F23 & 4.29 聯(lián)合顯著與單個(gè)系數(shù)的顯著性回歸結(jié)果是：就臥室與浴室來(lái)說(shuō)，單個(gè)系數(shù)也是不顯著的，這是必然的：如果一組系數(shù)中有一個(gè)顯著，則該組系數(shù)必定是聯(lián)合顯著的。反之不然。46Price129.0620.1548 Sqft21.588 Bedrooms (4.84) (0.79) 12.193 Baths (0.

20、28) tt房屋的影響因素 去掉臥室和浴室的數(shù)量，回歸結(jié)果是結(jié)論是： 房屋價(jià)格的主要影響因素是面積4722Price52.350.1388 Sqft (7.407) 0.82, 0.81 tRR4.30 檢驗(yàn)線性組合工資收入與非工資收入對(duì)消費(fèi)的影響相同？這等價(jià)于（4,2）中 ？ 方法1：瓦爾德檢驗(yàn) 考慮兩個(gè)方程（第2個(gè)是受限模型）利用DATA2-1計(jì)算得到：48023H :12312(U) ConsWageE-Income(R) Cons(WageE-Income)uu遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 對(duì)應(yīng)的臨界值4.28。實(shí)際上它對(duì)應(yīng)的 值約為0.91。 故接受受限方程（零假設(shè)） ：49222() /()(1) /

21、()0.8872660.887198 23 0.013910.8872661URcURRkmFRnk5%p234.31：檢驗(yàn)線性組合的代換法 令 ，代入非受限方程（U）： 問(wèn)題變?yōu)閷?duì) 的檢驗(yàn)：Wage系數(shù)不顯著，接受 5013313Cons() WageE-Income (Wage+E-Income)Wage+uu230Cons2049.20.685(Wage+E-Income)0.016Wage (5.769) (0.118)t2204.32 綜合應(yīng)用：公汽需求影響因素獲得美國(guó)40個(gè)城市的橫截面數(shù)據(jù)（DATA4-2）含義如下：bustraval=城市交通公車乘車需求，單位千乘客小時(shí)fare=

22、公共車費(fèi)，單位美元gasprice=汽油價(jià)格，美元/加侖income=人均收入，美元pop=人口，單位千人514.32（1） 模型設(shè)定 模型初步設(shè)定為（模型1）： 我們忽略了供給的影響，但我們沒(méi)有足夠的理由直接排除其他解釋變量。521234567BusTravlFareGasprice IncomePopDensity Landarea+u4.32（2）模型1的估計(jì)結(jié)果變量系數(shù)T-統(tǒng)計(jì)值Pr.(|t|T) C C2744.682744.681.0389941.0389940.30640.3064FareFare- -238.654238.654-0.528314-0.5283140.60080

23、.6008GaspriceGasprice522.113522.1130.1964140.1964140.84550.8455IncomeIncome- -0.194740.19474-3.001294-3.0012940.00510.0051PopPop1.711441.711447.3971767.3971760.00000.0000DensityDensity0.116410.116411.9542531.9542530.05920.0592LandareaLandarea- -1.155231.15523-0.640855-0.6408550.52600.5260R-R-squared

24、squared0.921020.92102AdAdj-j- R-squared R-squared 0.90660.9066534.32（3）刪除不顯著的變量校正擬合優(yōu)度0.907對(duì)橫截面數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)是一個(gè)很好的結(jié)果。從p 值來(lái)說(shuō)，我們有比較充分的理由將Fare、Gasprice、和Landarea從模型中刪除。54BusTravl2744.68238.65Fare522.11Gasprice (0.31) (0.60) (0.85) 0.1947Income1.71Pop0.1164Density (0.005) (0.0000)pp (0.059) 1.16Landarea (0.526)p4

25、.32（4） 刪除最不顯著的變量但同時(shí)刪除多個(gè)變量可能會(huì)去除那些處于顯著邊界的變量或具有理論重要性的變量一般情況下，優(yōu)先刪除回歸系數(shù)最不顯著的變量，即p值最大的變量，但不包括常數(shù)項(xiàng)。在模型1中，系數(shù)最不顯著的是Gasprice，把它去掉得到如下結(jié)果（模型2）554.32（5）模型256變量系數(shù)T-統(tǒng)計(jì)值P(|t|T) C C3215.83215.82.949052.949050.00570.0057FareFare-225.65-225.65-0.51228-0.512280.61180.6118IncomeIncome-0.1957-0.1957-3.06877-3.068770.00420

26、.0042PopPop1.71681.71687.580597.580590.00000.0000DensityDensity0.11820.11822.037402.037400.04950.0495LandareaLandarea-1.1952-1.1952-0.67701-0.677010.50300.5030R-squaredR-squared0.92090.9209Adj R-squaredAdj R-squared 0.909300.909304.32（6）繼續(xù)刪除不顯著的變量刪除Gasprice之后，系數(shù)最不顯著的變量是Fare，因?yàn)樗膒值最大，高達(dá)61.1%，但據(jù)經(jīng)濟(jì)理論價(jià)格

27、一般來(lái)說(shuō)對(duì)需求具有重要的作用，故將車費(fèi)暫時(shí)保留。先刪除其它系數(shù)不顯著的變量。Landarea的系數(shù)其 值高達(dá)50%，從模型中去掉。574.32（7）模型358變量變量系數(shù)系數(shù)T-T-統(tǒng)計(jì)值統(tǒng)計(jì)值P(|t|T) P(|t|T) C C3111.183111.182.9047492.9047490.00630.0063FareFare-295.730-295.730-0.69610-0.696100.49100.4910IncomeIncome-0.20219-0.20219-3.23182-3.231820.00270.0027PopPop1.588331.5883312.9497312.949

28、730.00000.0000DensityDensity0.149020.149024.1729254.1729250.00020.0002R-squaredR-squared 0.9198680.919868 Adj Adj R-R-squaredsquared0.910710.910714.32（8）刪除 Fare剔除掉Landarea之后，剩余變量的顯著性水平進(jìn)一步提高，特別是Density的顯著性提高幅度較大。但Fare的 值仍然高達(dá)49%，這顯然不是其它變量“分擔(dān)”其影響所致。乘車是生活或工作的基本需求有必要去掉Fare594.32（9）最終模型60變量變量系數(shù)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差T-T

29、-統(tǒng)計(jì)值統(tǒng)計(jì)值 Pr.(|t|T) Pr.(|t|T) C C2815.702815.70976.3007976.3007 2.8840532.884053 0.00660.0066IncomeIncome-0.2012-0.20120.0621010.062101 -3.241076-3.2410760.00260.0026PopPop1.576571.576570.1206120.120612 13.0714813.07148 0.00000.0000DensityDensity0.153420.153420.0348980.034898 4.3963114.396311 0.00010.0001R-squaredR-squared0.918750.91875Adjusted R-squared Adjusted R-