周衍柏《理論力學(xué)教程(第三版)》電子教案第三章7剛體力學(xué)

1、第三章第三章 剛剛 體體 力力 學(xué)學(xué)導(dǎo)讀導(dǎo)讀 剛體平面平行運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)剛體平面平行運(yùn)動的運(yùn)動學(xué) 剛體平面平行運(yùn)動的動力學(xué)剛體平面平行運(yùn)動的動力學(xué) 剛體平面平行運(yùn)動時相對于質(zhì)心的角動量定理剛體平面平行運(yùn)動時相對于質(zhì)心的角動量定理 剛體平面平行運(yùn)動時機(jī)械能守恒律剛體平面平行運(yùn)動時機(jī)械能守恒律3.7 剛體的平面平行運(yùn)動剛體的平面平行運(yùn)動 1 1 平面平行運(yùn)動運(yùn)動學(xué)平面平行運(yùn)動運(yùn)動學(xué) 剛體平面平行運(yùn)動時剛體平面平行運(yùn)動時, 任一任一點(diǎn)都始終在平行于某一固定平面點(diǎn)都始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運(yùn)動的平面內(nèi)運(yùn)動. 只須研究剛體中只須研究剛體中任一和固定平面平行的截面任一和固定平面平行的截面(薄薄片片)

2、的運(yùn)動的運(yùn)動, 空間問題簡化為平面空間問題簡化為平面問題問題.(i) 純平動純平動 薄片上任何一點(diǎn)的位移都是薄片上任何一點(diǎn)的位移都是AA(ii) 純轉(zhuǎn)動純轉(zhuǎn)動 薄片繞薄片繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動一個角度點(diǎn)轉(zhuǎn)動一個角度, BABABABB LL薄片上一點(diǎn)速度薄片上一點(diǎn)速度, 加速度加速度0rrvrvvAA 200rrrraaAA點(diǎn)加速度點(diǎn)加速度 相對切向加速度相對切向加速度 相對向心加速度相對向心加速度A點(diǎn)常叫基點(diǎn)點(diǎn)常叫基點(diǎn)任一時刻薄片上恒有一點(diǎn)速度為零任一時刻薄片上恒有一點(diǎn)速度為零, 叫做轉(zhuǎn)動瞬心叫做轉(zhuǎn)動瞬心(C), 轉(zhuǎn)動瞬心相對于轉(zhuǎn)動瞬心相對于Oxy系的坐標(biāo)可從上式求得系的坐標(biāo)可從上式求得AxCAyCvy

3、yvxx00, yxyxP,rr0rzxyxyzAvO如果如果 0, 則無轉(zhuǎn)動瞬心則無轉(zhuǎn)動瞬心, 或者說或者說, 轉(zhuǎn)動瞬心在無窮遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動瞬心在無窮遠(yuǎn)處處. 只要轉(zhuǎn)動瞬心只要轉(zhuǎn)動瞬心C已知已知, ,就知道薄片在此時的運(yùn)動就知道薄片在此時的運(yùn)動. .因?yàn)橐驗(yàn)槿绻∪绻為基點(diǎn)，則因它此時的速度為零為基點(diǎn)，則因它此時的速度為零, ,薄片將僅繞薄片將僅繞C轉(zhuǎn)動而任意一點(diǎn)轉(zhuǎn)動而任意一點(diǎn)P P 的速度大小為的速度大小為CP過過A及及B作兩直線分別垂直于作兩直線分別垂直于vA及及vB, 此兩直線的交點(diǎn)即為此兩直線的交點(diǎn)即為轉(zhuǎn)動瞬心轉(zhuǎn)動瞬心.ABCAvBv 質(zhì)心作為基點(diǎn)質(zhì)心作為基點(diǎn), 利用質(zhì)心運(yùn)動定理利用質(zhì)心

4、運(yùn)動定理和相對于質(zhì)心的角動量定理寫出平面和相對于質(zhì)心的角動量定理寫出平面平行運(yùn)動的動力學(xué)方程平行運(yùn)動的動力學(xué)方程yCxCFymFxm zzzzzMIIMz為諸外力為諸外力(包括約束反力包括約束反力)對對z軸的力矩的和軸的力矩的和由于外力一般是已知的由于外力一般是已知的, 但約束反力是未知的但約束反力是未知的. 所以要所以要聯(lián)立約束方程聯(lián)立約束方程, 始能求解始能求解.由于滾動物體和地面接觸處的形變導(dǎo)由于滾動物體和地面接觸處的形變導(dǎo)致反作用力不通過質(zhì)心而造成的致反作用力不通過質(zhì)心而造成的.xyoCx xyy fNkAB0v221PJT 2mdJJCP222)(2121mdJJTCPdvC2221

5、21CCJmvTC222121CCJmvTRvmRJCC,212243CmvT PCd例例1 如圖如圖, 將一根質(zhì)量為將一根質(zhì)量為m的長桿用的長桿用細(xì)繩從兩端水平地掛起來細(xì)繩從兩端水平地掛起來, 其中一根其中一根繩子突然斷了繩子突然斷了,另一根繩內(nèi)的張力是另一根繩內(nèi)的張力是多少多少?T解解: 設(shè)桿子長設(shè)桿子長2l, 質(zhì)心運(yùn)動定理和過質(zhì)心軸的角動量定質(zhì)心運(yùn)動定理和過質(zhì)心軸的角動量定理給出繩斷的一剎那的運(yùn)動方程理給出繩斷的一剎那的運(yùn)動方程:CCITlmaTmg因在此時懸繩未斷的一端加速度為零因在此時懸繩未斷的一端加速度為零, 從而有從而有231mlIClaCmgT41例例2 如圖如圖, 一半徑為一

6、半徑為R的乒乓球與水平面摩擦系數(shù)為的乒乓球與水平面摩擦系數(shù)為 . 開開始時始時, 用手按球的上左側(cè)用手按球的上左側(cè), 使球質(zhì)心以使球質(zhì)心以vC0向右運(yùn)動向右運(yùn)動, 并具并具有逆時針方向的初始角速度有逆時針方向的初始角速度 0, 設(shè)設(shè)vC00, 乒乓乒乓球一邊滑動球一邊滑動, 一邊倒著轉(zhuǎn)動一邊倒著轉(zhuǎn)動. 它在水它在水平面方向受滑動摩擦力平面方向受滑動摩擦力- mg的作的作用用, 按照質(zhì)心運(yùn)動定理按照質(zhì)心運(yùn)動定理, 有有(a) 0gtvvvmmamgCCCCvC0 0t=0fPPvCt=t1利用利用(a)和和(b)來分析乒乓球的運(yùn)動來分析乒乓球的運(yùn)動(b) /230232RgtmRImgRCvC0

7、 0t=0fPPvCt=t1對質(zhì)心的摩擦擦力矩對質(zhì)心的摩擦擦力矩- mgR, 對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動方程為對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動方程為(1) 當(dāng)當(dāng)t=t1=vC0/( g), vC=0, = 0 3vC0/(2R), 據(jù)條件據(jù)條件vC0 0, 質(zhì)心停止平動質(zhì)心停止平動, 繞質(zhì)心的繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)方向沒有變旋轉(zhuǎn)方向沒有變. 當(dāng)當(dāng)t t1, vC 0, 質(zhì)心開始倒退質(zhì)心開始倒退, 但接觸點(diǎn)但接觸點(diǎn)P的速的速度度vP=vC+ R 0, 滑動摩擦力方向向左滑動摩擦力方向向左, 驅(qū)使驅(qū)使質(zhì)心加速質(zhì)心加速倒退倒退, 力矩繼續(xù)減緩轉(zhuǎn)動力矩繼續(xù)減緩轉(zhuǎn)動, 直到接觸點(diǎn)直到接觸點(diǎn)P的速度為零的速度為零.(2) vP為零的時刻為零的時刻t

8、2滿足滿足gvRtgtvtRgRCC00202052, 023自自時刻時刻t2以后以后, 乒乓球向后作無滑動滾動乒乓球向后作無滑動滾動, 如不考慮滾如不考慮滾動摩擦動摩擦, 質(zhì)心速度和角速度恒定質(zhì)心速度和角速度恒定RvRvvRgtvvCCCCC00002023522352例例3 如圖如圖, 一半徑為一半徑為R的圓木以的圓木以角速度角速度 0在水平面上作純在水平面上作純滾動滾動, 在前進(jìn)的路上撞在以高度為在前進(jìn)的路上撞在以高度為h的臺階上的臺階上. 設(shè)碰撞是完設(shè)碰撞是完全非彈性的全非彈性的, 即碰撞后圓木不彈回即碰撞后圓木不彈回.要圓木能夠翻上臺階要圓木能夠翻上臺階而又始終不跳離臺階而又始終不跳

9、離臺階,對臺階有什么要求對臺階有什么要求?解解: 碰撞前圓木質(zhì)心速度碰撞前圓木質(zhì)心速度v0=R 0, 圓木對接觸點(diǎn)的角動量為圓木對接觸點(diǎn)的角動量為IC 0+mv0(R-h), 碰撞后為碰撞后為IA , 由角由角動量守恒得動量守恒得0200)()(mRIhRmRIIhRmvICCACv0 0hNR(a) 3230RhR將圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量公式將圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量公式IC=1/2mR2帶入帶入,得得(1) 圓木能夠爬上臺階的條件是它碰撞后的動能足夠大圓木能夠爬上臺階的條件是它碰撞后的動能足夠大:(b) 212mghIA由由(a), (b)得得(c) )23( 12 )( 222220hRghhRmRI

10、mRImghCC圓木不跳離臺階的條件是臺階的支撐力圓木不跳離臺階的條件是臺階的支撐力N始終大于零始終大于零. N在碰撞的最初時刻最小在碰撞的最初時刻最小, 我們就來計算它我們就來計算它.沿質(zhì)心和沿質(zhì)心和接觸點(diǎn)方向的向心加速度是重力分量和支撐力造成接觸點(diǎn)方向的向心加速度是重力分量和支撐力造成的的,所以所以NmgmRsin2由圖知由圖知 sin =1-h/R, 從而有從而有0323/1/1202RhRmRRhmgmRRhmgN(d) )23()(9220hRghR要兩個不等式同時成立要兩個不等式同時成立, 則必須則必須7312)(9RhhhR否則否則, 初始速度小了爬不上去初始速度小了爬不上去,初始速度夠大了初始速度夠大了,爬上爬上去就跳了起來去就跳了起來.綜合綜合(c), (d), 得得2202)23(12 )23()(9hRhghRghR小小 結(jié)