【數學】《數學分析》第十七章多元函數微分學

1、精品word可編輯資料- - - - - - - - - - - - -第十七章 多元函數微分學 1 6時 1 可微性 4時 一 可微性與全微分：第 25 頁，共 14 頁- - - - - - - - - -1. 可 微 性 ： 由 一 元 函 數 引 入 .x 2y2 亦 可 寫 為xy ,x ,y 0 , 0 時 , 0 , 0 .2. 全微分 :例 1考查函數f x, yxy 在點 x0 ,y0 處的可微性 .1 p105e1二.偏導數:1.偏導數的定義、記法 :2.偏導數的幾何意義 :1 p109 圖案 171.3. 求偏導數 :例 2 , 3 , 4 .1 p142 143 e2

2、, 3 , 4 .例 5 設f x, yx 3y2,x 2x 2y 20 ,x 2y 20 ,y 20.證明函數f x, y 在點 0 , 0 連續(xù) , 并求f x 0 , 0 和f y 0 , 0 .證limxf x, ycos , ysinlim2 cos3sin 2x, y 0,0 lim0cos3sin 200f 0,0 .f x, y 在點 0 , 0 連續(xù) .3f x 0 , 0 limf x,0f 0,0limx0 ,x 0xx0 x | x |f y 0 , 0 limf 0, yf 0,0limy2不存在 .y 0yy0 y | y |ex1 p116 1171， 2 4 .

3、三.可微條件 :1. 必要條件 :th1設x0 ,y0 為 函 數f x, y定 義 域 的 內 點 .f x, y 在 點 x0, y0 可 微f x x0, y0 和f y x0 ,y0 存在 ,且df x0,y0 df x0 , y0f x x0, y0xf y x0 ,y0 y . 證由于 xdx ,ydy ,微分記為df x0 , y0 f x x0, y0 dxf y x0, y0 dy .定理 1 給出了運算可微函數全微分的方法.兩個偏導數存在是可微的必要條件, 但不充分 .例 6 考查函數f x, yxy,22xy0 ,x 2y2x 2y20 ,在原點的可微性 .1 p110e

4、5 .02. 充分條件 :th2 如函數 zf x, y的偏導數在的某鄰域內存在, 且f x 和f y 在點 x0 ,y0 處連續(xù).就函數 f 在點x0 , y0 可微 .證 1 p111th3如 f y x, y 在 點 x0 , y0 處 連 續(xù) ,f x x, y 點 x0 , y0 存 在 , 就 函 數 f 在 點x0證, y0 可微 .f x0x , y0yf x0 , y0 f x0x , y0yf x0x , y0 f x0x , y0 f x0 , y0 f y x0x , y0yyf x x0 , y0 xx01,0f y x0 , y0yf x x0, y0 xx0f x

5、 x0 ,y0 xf y x0, y0 yxy.即 f 在點x0 ,y0 可微 .要求至少有一個偏導數連續(xù)并不是可微的必要條件.例 7 設f x, y22 xy0 , sin1,x2y 222xy0 ,x2y 20 .驗證函數f x, y 在點 0 , 0 可微, 但f x 和f y 在點 0 , 0 處不連續(xù) .f x, y證x2y 2sin1x2y 20 ,x, y0 , 0.因 此 f x, y , 即f x, yf 0,00x0y ,f 在 點0 , 0可 微 ,f x 0,00 ,f y 0,00 . 但 x, y 0 , 0 時, 有f x x, y2 xsin1x2y 2xx2y

6、 2cos1,x2y2沿方向 ykx,limxlimx不存在 ,沿方向 ykx, 極限x0x2y2x 0 | x |1k 2limxcos1不存在 ; 又 x, y 0 , 0 時,2xsin10 ,x0x 2y 2x 2y2x 2y2因此 ,limf x x, y不存在 ,f x 在點 0 , 0 處不連續(xù) .由 f 關于 x 和 y 對稱 ,f y 也在 x, y 0, 0點 0 , 0 處不連續(xù) .四.中值定理 :th4 設函數 f 在點x0, y0 的某鄰域內存在偏導數. 如 x,y 屬于該鄰域 , 就存在x01 xx0 和y02 yy0 ,011, 021, 使得f x, yf x0

7、, y0 f x , y xx0 f y x0 , yy0 . 證 例 8 設在區(qū)域 d 內f xf y0 . 證明在 d 內f xc .五.連續(xù)、偏導數存在及可微之間的關系： 六.可微性的幾何意義與應用：1. 可微性的幾何意義：切平面的定義 . 1 p115.th5 曲面 zf x, y 在點p x0, y0 ,f x0, y0 存在不平行于z 軸的切平面的充要條件是函數f x, y 在點p0 x0 , y0 可微 .證略 2. 切平面的求法 :設函數f x, y 在點p0 x0, y0可微，就曲面 zf x, y 在點p x0, y0 ,f x0, y0 處的切平面方程為其中 z0f x0

8、 , y0 zz0f x x0 , y0 xx0 f y x0 , y0 yy0 ，法線方向數為f x x0 , y0 ,f y x0, y0 ,1，法線方程為x x0y y0z z0.f x x0 , y0 f y x0 , y0 1例 9試 求 拋 物面zax2by 2 在點m x0, y0, z0 處 的 切 平 面方 程 和 法 線 方 程 .1 p115 e63. 作近似運算和誤差估量:與一元函數對比 ,原理 .例 10 求1.083.96 的近似值 .1 p115 e7例 11 應用公式 s1 ab sin c 運算某三角形面積 .現測得 a 212.50 , b8.30 ,c30

9、 .如測量a , b 的誤差為0.01 ,c 的誤差為0.1.求用此公式運算該三角形面積時的絕對誤差限與相對誤差限.1 p116 e8ex1 p116 1175 14 ；2復合函數微分法 （ 5 時 ）簡介二元復合函數:zf x, y ,xs,t , y s, t .以以下三種情形介紹復合線路圖:參閱 4 p327 328 .zf x,y ,x s, t , ys, t ;uf x, y, z ,x s, t , ys, t ,zs, t ;uf x, y, z ,xs, t, z , y s, t, z .一.鏈導法就 :以“外二內二”型復合函數為例.th設 函 數 xs,t , ys,t

10、在 點 s, td可 微 ,函 數 zf x, y 在 點x, y s, t , s, t可微 , 就復合函數 zf s, t , s, t 在點 s,t 可微 , 且z s,t sz x, yxxs,t sz x, yyy s,t ,sz s,t tz x, yxxs,t tz x, yyy s,t t. 證 1 p155稱這一公式為鏈導公式. 該公式的形式可在復合線路圖中用所謂“分線加，沿線乘”（或“并聯加，串聯乘” ）來概括 .對所謂“外三內二” 、“外二內三” 、“外一內二”等復合情形，用“并聯加，串聯乘” 的原就可寫出相應的鏈導公式.鏈導公式中內函數的可微性可減弱為存在偏導數. 但對

11、外函數的可微性假設不能減弱.如1 p156 的例.對外 m 元f u1 ,u2 ,um , 內 n 元 uki x1, x2 , xn k1 , 2 , m , 有fmfuk，i1, 2 , n .xik 1ukxi外 n 元內一元的復合函數為一元函數. 特稱該復合函數的導數為全導數.例 1zln u 2v ,uex y ,vx2y . 求z 和 zxy2.1p157 e1例 2zu 2 vuv 2 ,ux cos y ,vx sinzzy .求和.xy例 3z2 x2 3x y zz y,求和.2xy例 4 設函數f u,v, w可微 .f x, y, zf x, xy, xyz . 求 f

12、x 、 fy 和fz .例 5 用鏈導公式運算以下一元函數的導數: yxx ; y1x2 ln x.1 p158 e4sin xcos x例 6 設函數 uux, y 可微. 在極坐標變換 xr cos,yr sin下 , 證明22u1urr 222uu.1 p157 e2xy例 7 設函數f u 可微 ,zyf x2y 2 .求證y 2z xxyz yxz.二.復合函數的全微分 : 全微分和全微分形式不變性.例 8zexy sin xy. 利用全微分形式不變性求dz , 并由此導出z 和 z .xy1 p160 e5ex1 p160 1611 5.三.高階偏導數 :1. 高階偏導數的定義、記

13、法：3 z例 9zex 2 y ,求二階偏導數和y x2.1 p167 e1例 10zarctgy .求二階偏導數 .1 p167 e2x2.關于混合偏導數 :1 p167170.3. 求含有抽象函數的二元函數的高階偏導數:公式 ,1 p171例 11zf x ,x2 z . 求2 和z .1 p171 e32yxx y4. 驗證或化簡偏微分方程:例 12zlnx 2y.證明z+z0 . laplace方程 222x2y2例 13將方程 xuyyu0 變?yōu)闃O坐標形式 .x解xrcosr,yrxsin.xrx 2ryy 2 ,arctg y .xyx2,xx 2yryr,xr 2.yr 2uur

14、uxuxrxxrrryuuuru2,yryyuxu2;yrrr因此 ,xuyuyxxyurrx2ur 2xyurry 2ur 2x2y 2uu.r 2方程化簡為u0 .例 14 試確定 a 和 b , 利用線性變換s xay ,t xby將方程24u 2u23u022xx yy2 u0 .s tuusutuuxsxtxst化為解,uyusutsytyaubu .st2uuu2us2ut2us2 ut=x 2x2 usts22u2 u+xs t+xt s+=xt 2x=s2 +2s t +t 2 .2uuu2 us2 ut22usut=x yyst2u+s2ys t22uu+yt s+=yt 2

15、y= as2+ ab+ b2 .s tt2uuu2222=aba 2u + 2abu + bu .因此 ,y 2ysts224u2u2u232s tt 2214ax3a 2 x yy2u+ 24a4b6ab2u+14b3b 2 u .令14a3a 20 ,12us224b3b0 ,2 u2us t1a,b32u1 或 at 211 , b3或 ,此時方程430 化簡為0 .x2x yy 2s tex1 p1831， 2 . 3方向導數和梯度 （ 3 時 ） 一方向導數：000001. 方向導數的定義：0定義設三元函數 f 在點p x , y , z 的某鄰域p r3 內有定義 . l 為從點p

16、 動身的射線 . p x, y, z為 l 上且含于 p0 內的任一點 ,以表示 p 與 p0 兩點間的距離 .如極限lim0f pf p0 liml f0存 在 , 就 稱 此 極 限 為 函 數 f 在 點f l x0 , y0, z0 .p0 沿 方 向 l 的 方 向 導 數 , 記 為flp0或fl p0 、對二元函數 zf x, y 在點p0 x0, y0, 可仿此定義方向導數 .易見 ,f 、 f和f 是三元函數 f 在點xyzp0 分別沿 x 軸正向、 y 軸正向和 z 軸正向的方向導數.例 1f x, y, z = xy 2z3 .求 f 在點p0 1, 1 ,1 處沿 l

17、方向的方向導數 ,其中 l 為方向 2 ,2 , 1 ; l 為從點 1, 1 ,1 到點 2 ,2 ,1 的方向 .解 l 為方向的射線為 x12y1z1令t 210 .即x2t1 ,y2t1 ,zt1, t0 .f p0 f 1 ,1,13,f pf 2t1 ,2t1, t1 2t12t1 2 t1 3t 37t 2t3 x1 2 y1 2z1 22t 2 2t 2t 23t .因此 ,f3limf pf p0 lim t7t 2t1.lp00t03t3 從點 1 , 1 , 1 到點 2 ,2 ,1 的方向 l 的方向數為1 ,3 , 0 ,l 方向的2射線為xt1 ,y3t1 ,z1

18、, t0 .f pf t1 ,3t1,1 9t5t3,f p0 f 1,1,1 3 ; x1 2 y1 2 z1 2t 23t 210t .因此 ,flimf pf p0 lim9t 25t5.lp00t010t102. 方向導數的運算 :th如函數 f 在點p0 x0 , y0, z0 可微 , 就 f 在點p0 處沿任一方向 l 的方向導數都存在,且f l p0 f x p0 cos+f y p0 cos+f z p0 cos,其中 cos、 cos和 cos為 l 的方向余弦 . 證 1 p163對二元函數f x, y ,fl p0 f x p0 cos+f y p0 cos,其中和是

19、l 的方向角 .注： 由fl p0f x p0 cos+f y p0 cos+f z p0 cos=f x p0 ,f y p0 ,f z p0 cos,cos,cos,可見 ,f l p0 為向量f x p0 ,f y p0 ,f z p0 在方向 l 上的投影 .例 2 上述例 1 解 l 的方向余弦為cos=22,cos=2,cos1=.222 213233f x p0 =1 ,f y p0 = 2 y y 12,f z p0 = 3z23 .因此 ,f = fxlp0cos+f y p0 cos+f z p0 cos= 2z 132 2 3 11 .333 l 的方向余弦為21cos=

20、1,cos=3,cos= 0.因此 ,212 2f1=12l101231011 210105.10可微是方向導數存在的充分條件, 但不必要 .例 31 p164 e2 .二.梯度 陡度 :1. 梯度的定義 :gradff x p0 ,f y p0 ,f z p0 .| gradf|=2f x p0 2f y p0 2f z p0 .易見 , 對可微函數 f , 方向導數是梯度在該方向上的投影.2. 梯度的幾何意義 :對可微函數 , 梯度方向是函數變化最快的方向.這是由于f l p0 gradfl| gradf p0 | cos.其中是 l 與gradfp0 夾角 . 可見0 時f l p0 取

21、最大值 , 在 l 的反方向取最小值.3. 梯度的運算 : grad ucgrad u . grad u +v =grad u +grad v .grad u v =u grad v + v grad u.vugradvvgradugrad2.uugradf u =f u gradu .證 vuv xxu u 2uxv,v uvy2uyuuyv.gradv u12uvxuu xv ,uvyuy v 1 uv, u v u 2xy ux v, uy v 1uvu 2x, vy vu x, u y ugradvvgradu.u 2ex1 p1651， 2 ，3 ， 6 .4taylor公式和極值問

22、題 （ 4 時 ）一中值定理：凸區(qū)域 .th 1設二元函數 f 在凸區(qū)域 dr 2 上連續(xù) , 在 d 的全部內點處可微. 就對 d 內任意兩點pa,b ,q ah , bkintd , 存在 01 , 使f ah , bkf a, bf x ah , bkhf ah , bkk .證令t f ath , btk ,.在閉凸區(qū)域上的情形 :1 p173 174.推論如函數 f 在區(qū)域 d 上存在偏導數, 且 f x二.taylor公式:f y0 , 就 f 是 d 上的常值函數 .th 2 taylor 公式 如函數 f 在點p0 x0 ,y0 的某鄰域 p0 內有直到 n1 階連續(xù)偏導數,

23、就對 p0 內任一點 x0h , y0k ,存在相應的0 ,1 ,使f x0h , y0kn1hi 0 i.xikf x0 , y0 y1h n1.xn 1kf x0yh , y0k.證1 p175例 1求函數f x, yx y 在點 1 , 4 的 taylor 公式 到二階為止 . 并用它運算 1.08 3.96 .三.極值問題 :1. 極值的定義 :留意只在內點定義極值.例21 p176 e5ex1 p1835， 6， 7 .2. 極值的必要條件：與一元函數比較.1 p175 176 e4 .th 3設 p0 為函數f p 的極值點 . 就當f x p0 和存在時 ,有f x p0 =f y p0 0 .證函數的駐點、不行導點， 函數的可疑點 .3. 極值的充分條件 :代數預備 :給出二元 實 二次型gx, yax 22bxycy2 .其矩陣為a b.b c gx, y 是正定的 ,次序主子式全0 ,|kg x, y 是半正定的 ,次序主子式全0 ; gx, y 是負定的 ,1 k| aij10 ,其中 | aij|k 為 k 階次序主子式 .1gx, y 是半負定的 , 1 k| aij