人教版高三年級《數(shù)學歸納法》的教學設計

1、人教版高三年級數(shù)學歸納法的教學設計一.設計思想本節(jié)課是根據(jù)現(xiàn)代認知心理學理論，運用建構主義觀點設計的教學方案，通過生活實例和數(shù)學實驗，力求學生在實踐的基礎上主動構建數(shù)學歸納法，理解數(shù)學歸納法的原理。此教學設計巧設情境，導入新課；由淺入深，循序漸進；教法選擇適宜，學法指導能貫穿于始終；在教學中既注重基礎知識的獲得，又注重了學生能力的培養(yǎng)，提高了學生的整體素質(zhì)。二教材分析數(shù)學歸納法既是高中代數(shù)中的一個重點和難點內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學方法。數(shù)學歸納法安排在數(shù)列之后極限之前，它是數(shù)列知識的深入與擴展，也是促進學生從有限思維發(fā)展到無限思維的一個重要環(huán)節(jié)。數(shù)學歸納法還貫穿了高中數(shù)學的幾大知識點：不等式，

2、數(shù)列，三角函數(shù)，平面幾何等。其中體現(xiàn)的數(shù)學思想方法對學生進一步學習數(shù)學、領悟數(shù)學思想至關重要。根據(jù)課程標準和學科教學指導，“數(shù)學歸納法”教學分三個課時，這節(jié)課是第一課時，講的是高三數(shù)學第三冊（選修）p62p64的內(nèi)容。本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生嚴密的推理能力、訓練學生的抽象思維能力、體驗數(shù)學內(nèi)在美的好素材。三學情分析在高一數(shù)列的學習中，學生已經(jīng)學習了用歸納法推導等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，但其正確性還有待用數(shù)學歸納法加以證明。對學生來說，數(shù)學歸納法內(nèi)容抽象，思想新穎，結構復雜，加上學生原有的認知結構對于同化“數(shù)學歸納法”無論是數(shù)學知識還是邏輯知識都不夠充分。在利用數(shù)學歸納法原理作證明的過程中不僅會產(chǎn)

3、生各種技巧上的困難，而且即使學生具有應用數(shù)學歸納法的技巧，也常常不能真正理解它的意義，對數(shù)學歸納法的實質(zhì)往往停留在“形式”上。若不突破以上難點，學生往往會懷疑數(shù)學歸納法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。這會對以后進一步的學習造成極大的阻礙。通過這堂課的教學，要使學生初步掌握歸納與推理的能力，培養(yǎng)學生大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)。課堂上，通過師生雙向交流，學生經(jīng)歷了“觀察分析猜想論證”的思維環(huán)節(jié)，進一步掌握了自主探索問題、自主學習的方法。 四教學目標：知識與技能目標：1. 了解“歸納法” 的含義；2理解“數(shù)學歸納法”的原理；3掌握數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，會用“數(shù)學歸納法”證

4、明簡單的恒等式。過程與能力目標：1通過對數(shù)學歸納法的學習、應用，培養(yǎng)學生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴密的邏輯推理能力；2讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。情感、態(tài)度與價值目標：1通過數(shù)學歸納法的學習初步形成嚴謹務實的科學態(tài)度和嚴謹?shù)臄?shù)學思維品質(zhì)與數(shù)學理性精神；2認識有限與無限的辯證關系；3感悟數(shù)學的內(nèi)在美，從而使學生更喜歡數(shù)學。五教學重點：理解數(shù)學歸納法的實質(zhì)意義;掌握數(shù)學歸納法的證題步驟。教學難點：數(shù)學歸納法證題有效性的理解；遞推步驟中歸納假設的應用。六教學策略和手段：根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學生的實際水平，我采用引導發(fā)現(xiàn)法和感性體驗法進行教學。引導發(fā)現(xiàn)

5、法屬于啟發(fā)式教學，體現(xiàn)了認知心理學的相關內(nèi)容。在教學過程中，教師采用啟發(fā)、引導、點撥的方式，創(chuàng)設各種問題情境，使學生帶著問題去主動思考、動手操作、交流合作，進而達到對知識的“發(fā)現(xiàn)”和接受，完成知識的內(nèi)化，使書本的知識成為自己的知識。這也正好體現(xiàn)了荷蘭教育家弗賴登塔爾的建構主義教學觀。在本教學設計中,通過生活實例和數(shù)學實驗，促進學生對“遞推原理”的理解，明了“兩個步驟”的必要性，為“數(shù)學歸納法”的應用前提和場合提供形象化的參照物，為理解數(shù)學歸納法做了感性鋪墊。七課前準備：1請學生復習等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式的推導，并準備好幾個小長方體木塊；2教師準備多媒體課件.八教 學 過 程：（一）創(chuàng)設情境

6、 提出問題情景設置1: 師：班長，同學們都到齊了嗎？生：到齊了。（班長站起來，回顧了一下四周后回答）師：那你是怎么知道全班同學都到齊了呢？生：因為48個位置上都坐滿了人呀。（顯然對老師提這個問題感到奇怪）師：很好，其實這個判斷用了歸納法。我們不妨把班長回顧四周的動作分解成48拍。（此時，教室里熱鬧了起來。）生：哦，我知道了。因為班長看到第一個座位上有人，第二個座位上也有人，這樣一個座位一個座位地往下看，看到最后第48個座位上也有人。從而歸納出“人到齊了”這個結論。師：太棒了！這就是我們在生活中不知不覺經(jīng)常用到的歸納法。象這種由一系列特殊事例得出一般結論的方法，我們把它叫做歸納法。（板書：歸納法

7、）我們剛才通過一一列舉，一個一個驗證，最后得出“人到齊了”這個結論。這里人的個數(shù)是有限的，倘若研究的個體是無限個呢？情景設置2:師：我們來聽個笑話吧：從前，有個叫萬百千的小孩，家長送他上學，開始識字。第一天先生教他個“一”字。第二天先生又教了個“二”字。到了第三天，他想先生一定是教“三”字了，并予先在紙上劃了三橫。果然這天就教了個“三”字。于是他得了一個結論：“四”一定是四橫，“五”一定是五橫，以此類推，萬事大吉。從此，便不再去上學，家長發(fā)現(xiàn)問他為何不去上學，他毫不猶豫得意地回答：“我都會了”。家長要他寫出自己的名字，“萬百千”寫名字結果可想而知。（學生笑倒一片，在笑聲中我又問）師：萬百千在學

8、習上犯了什么錯誤？生：一二三的寫法只是特殊情況，并不是所有的字都是這樣寫的，他根據(jù)這幾個特殊字的寫法推斷出所有的字都這樣寫就錯了。師：僅考察部分特例而得出一般結論的推理方法叫不完全歸納法，它不可靠，所得結論不一定正確。 “萬百千”正是犯了這個錯誤。情景設置3:師：請同學們思考討論這兩個問題。（教師在屏幕上顯示以下問題）（1）一個數(shù)列的通項公式是an=(n2-5n+5)2 容易驗證，a1=a2=a3=a4=1，所以說：對任何nn，an=（n2-5n+5）2=1。上述判斷正確嗎？（2）若數(shù)列an是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，那么 a1=a0+d,a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4

9、=a3+d=a1+3d，由此可以得出它的通項嗎？生1：（1）中的判斷是錯誤，可以舉反例，如a5=251。(2)等差數(shù)列的通項為：an=a1+(n-1)d。生2：我覺得由此得到等差數(shù)列的通項公式是不可靠的，是不完全歸納法，感覺就象“萬百千”學字。只有經(jīng)過嚴格的證明，不完全歸納得出的結論才是正確的。師：不錯。只有經(jīng)過嚴格的證明，不完全歸納得出的結論才是正確的。那怎樣來解決這種無法窮盡驗證的命題的呢？如何用“有限”的步驟，去證明“無限” 的命題呢？這就是我們今天將要學習的數(shù)學歸納法。（投影并板書本節(jié)課課題 數(shù)學歸納法）（二）新課講授師：有一列整齊排放的自行車，如果邊上一輛無意中被碰倒以后，會發(fā)生什么

10、情況？生：后面幾輛也會倒下去。師：大家把準備好的小長方形木塊拿出來，我們一起來做實驗吧。（隨之，多米勒骨牌按一定間隔整齊地擺放在講臺上，把它當作自行車模型，邊示范邊作下面講解。）師：現(xiàn)在，我們把自行車放在我們的講臺上。（學生笑）這樣排放好以后，要讓他們?nèi)康瓜?，應該怎么辦？生：只要推倒第一個就行了。師：真的第一個倒了，其他就能倒嗎？（我把第三個和第四個的間距拉得足夠開），這樣能全部倒下嗎？生：不能。因為第三個和第四個的間距太大，相互碰不到，所以，只倒下了前面幾個。師：好，這就說明一個問題，要讓他們?nèi)康瓜?，必須先控制好他們每個之間的距離。也就是要保證做到：一個倒下去，后面一個也要被推倒。這是它

11、們?nèi)康瓜氯サ囊罁?jù)、關鍵。但是，如果我把距離控制好了，（把骨牌恢復原樣）使它能保證這一點，但什么也不干，能保證它們?nèi)康瓜聠?？生：不能，當然還必須碰倒第一個。師：只要滿足以下兩個條件，所有的多米諾骨牌都能倒下：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一個倒下一定導致后一塊倒下。（板書：p（1）倒下；p（k）倒p（k+1）倒）師：請同學們思考：證明等差數(shù)列的通項公式與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？（經(jīng)引導后小結，多媒體顯示）多米諾骨牌游戲原理通項公式的證明方法（1）第一塊骨牌倒下。（1）當n=1時猜想成立（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒

12、下。（2）若當n=k時猜想成立，即，則當n=k+1時猜想也成立，即 。 根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。（學生回答等差數(shù)列通項公式的證明過程,由教師將學生回答的內(nèi)容板書，師生共同總結出應注意之處。）師： 所謂的數(shù)學歸納法證題時有兩個步驟：（同時板書）（1）證明當n取第一個值時結論成立。即驗證p（n）成立；（2）假設當n=k時結論正確，證明當n=k+1時結論正確，即由p（k）正確p（k+1）正確；由（1）和（2）就可斷定命題對于從n開始的所有自然數(shù)n都成立。同學們，是不是證明時這兩個步驟缺一不可呢？為什么完成了這兩個步

13、驟就證明了對所有的自然數(shù)都成立？（同學們討論后，請一位回答）生：這個原理跟剛才的實驗是一個道理，只要符合這兩點，再多的骨牌都能倒下。1）證明p（1）為真；2）證明命題“p（k）真p（k+1）真”正確；由1）、2）命題知，原命題對一切nn均成立。師：步驟（1）是驗證，步驟（2）是以一次邏輯推理代替了無限次驗證過程，是證體題的關鍵，它保證這樣一個過程：p（n）正確（驗證） p（n+1）正確p（n+2）正確（同時板書）上述無窮鏈條一環(huán)扣一環(huán)，形象地說明了數(shù)學歸納法證明p（n）的正確性的過程。說明：此處畫龍點睛，多數(shù)學生至此都頓悟了數(shù)學歸納法的思想和方法，也在其個人的認知結構中，借助感性認識，建構了數(shù)

14、學歸納法解題的模型。（三）典例探究： 例1：用數(shù)學歸納法證明：1+3+5+7+ +（2n-1）=n2（在規(guī)范證明完本題之后，我再次加以強調(diào)，在第2步由n=k成立向n=k+1成立過渡的過程中，必須使用歸納假設，否則就不叫用數(shù)學歸納法證題，而且兩個步驟缺一不可。為了加深對數(shù)學歸納法實質(zhì)的理解，我投影兩個不滿足兩個步驟的例子供學生辨析，進一步讓學生加深對數(shù)學歸納法的透徹理解。）思考題：（1）以下證明命題的方法是數(shù)學歸納法嗎？ 假設n=k時,等式1+3+5+7+(2n-1)= n2成立 即 1+3+5+7+ (2k-1)=k2 成立 那么， 1+3+5+7+ +(2k-1)+(2k+1) =(k+1)

15、1+（2k+1）2 =(k+1)2 當n=k+1時等式也成立所以等式對一切正整數(shù)都成立。(2)用數(shù)學歸納法證明等差數(shù)列前n項和公式，證法如下：（1）當n=1時，s=a,顯然成立。（2）假設n=k時，公式成立，即s=ka+k(k-1)d/2當n=k+1時,s=a+a+a+a =a+(a+d)+(a+2d)+ +a+(k-1)d+(a+kd)=(k+1)a+(k+1)(k+1)-1d/2當n=k+1時公式成立。（四）反饋練習：用數(shù)學歸納法證明：（1）1+2+3+n=n(n+1)/2 (nn)； （2）首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項公式為：an=a1qn-1 (nn)（請學生板演，并集體批改指

16、正）（五）總結：1本節(jié)課的主要內(nèi)容是什么？（數(shù)學歸納法證明命題的步驟、關鍵、核心，要注意的問題：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉）2從這節(jié)課的學習中你有何感想？你能否體會到數(shù)學歸納法的魅力？九.板書設計:2.1數(shù)學歸納法步驟：（略） p（n）正確（驗證） p（n+1）正確p（n+2）正確 注意：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉例題板書：（略）練習板演：（略）投影屏幕 十.作業(yè)設計:（1）練習 p64 1，2，3 （2）預習課本p64-65案例研討 這是一節(jié)“數(shù)學歸納法”的啟示課，初學者對數(shù)學歸納的原理不易理解，對證明方法感到陌生、抽象。教案中首先通過生動的實例引入課題，使學生學習積極性初步得到調(diào)動，增強了“參與感”與求知欲。進而應用“骨牌游戲”深入淺出地提示了數(shù)學歸納法的本質(zhì)遞推，并概括出數(shù)學歸納法證明問題的步驟。最后以學生練習，讓他們從實際證題過程中，加深對數(shù)學歸納法的理解，并初步掌握應用數(shù)學歸