現(xiàn)代機(jī)械控制工程第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、第五章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念；系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念；Routh Criterion;Nyquist Criterion;Bode Criterion;系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性一一、系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步概念A(yù)b、不穩(wěn)定的擺AAAa、穩(wěn)定的擺1、 穩(wěn)定的概念 穩(wěn)定性示例原理：外力-閥芯初始位移Xi(0)，閥口2、4打開-活塞右移(隨動(dòng))-閥口關(guān)閉(回復(fù)平衡位置)(反饋)-活塞繼續(xù)右移（慣性）-閥口1,3開啟-活塞左移-閥口關(guān)閉-活塞繼續(xù)左移（慣性）-閥口2,4開啟1)隨動(dòng)：活塞跟閥芯運(yùn)動(dòng)。2)反饋與慣性：引起振蕩。3) 振蕩結(jié)果與外界無關(guān)。結(jié)論：1)系統(tǒng)是否穩(wěn)定

2、，取決于系統(tǒng)本身（結(jié)構(gòu)和參數(shù)），與輸入無關(guān)。2)不穩(wěn)定現(xiàn)象的存在是由于反饋?zhàn)饔谩?)穩(wěn)定性是指自由響應(yīng)的收斂性。 穩(wěn)定性定義原來處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在受到擾動(dòng)作用后都會(huì)偏離原來的平衡狀態(tài)。若系統(tǒng)在擾動(dòng)作用消失后，經(jīng)過一段過渡過程后，系統(tǒng)仍然能夠回復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是（漸近）穩(wěn)定的。否則，則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。 若系統(tǒng)不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。 Lyapunov意義下的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性(初值響應(yīng)衰減為零）、小

3、偏差穩(wěn)定性、任意初值漸近穩(wěn)定對(duì)于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定一定意味著大范圍穩(wěn)定，當(dāng)然此時(shí)系統(tǒng)必須工作在其線性范圍內(nèi)。 穩(wěn)定程度臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 a) 穩(wěn)定b) 臨界穩(wěn)定c) 不穩(wěn)定處于臨界穩(wěn)定，或接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)定系統(tǒng)，由于分析時(shí)依賴的模型通常是簡(jiǎn)化或線性化的，或者由于實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性等因素的影響，在實(shí)際中可能成為不穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量，以保證其在實(shí)際工作時(shí)處于穩(wěn)定狀態(tài)。 經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。2、穩(wěn)定的條件 假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，受到單位脈沖信號(hào)(t)的

4、作用，此時(shí)系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下，輸出信號(hào)偏離平衡點(diǎn)的問題，顯然，當(dāng)t時(shí)，若：0)(limtxot系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮系統(tǒng)01110nnnnasasasa其特征方程為：tAe對(duì)于特征方程的單實(shí)根-，相應(yīng)瞬態(tài)輸出為：當(dāng)- 0時(shí)，該輸出分量指數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)- = 0時(shí)，該輸出分量為常數(shù)。對(duì)于特征方程的一對(duì)單復(fù)根-+j，相應(yīng)瞬態(tài)輸出為：)sin()sincos(22tCBetCtBett其中， = arctgB/C。當(dāng)- 0時(shí)，該分量為指數(shù)發(fā)散的振蕩過程。當(dāng)- =

5、 0時(shí)，該分量為等幅振蕩。)(121rrttataae對(duì)于r重實(shí)根-，相應(yīng)的時(shí)域分量為：當(dāng)- 0時(shí)，該輸出分量指數(shù)單調(diào)遞增。當(dāng)- = 0時(shí)，該輸出分量多項(xiàng)式遞增。kkkrkkkkktrrrrtcbarctgttcbettctccttbtbbe, )sin(sin)(cos)(1122121121對(duì)于一對(duì)r重復(fù)根-+j，相應(yīng)的時(shí)域分量為：當(dāng)- 0時(shí)，該分量為指數(shù)發(fā)散的振蕩過程。當(dāng)- = 0時(shí)，該分量為多項(xiàng)式發(fā)散的振蕩過程。綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分；即：所有特所有特征根均在復(fù)數(shù)平

6、面的左半部分征根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分。由于特征根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件也可表述為：系統(tǒng)的極點(diǎn)均在系統(tǒng)的極點(diǎn)均在s平面的左半平面平面的左半平面。 顯然，穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān)。系統(tǒng)穩(wěn)定的判別方法：1)特征方程根的分布；2)開環(huán)傳遞函數(shù)-閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；二、勞斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 0)()()(2101110nnnnnpspspsaasasasasD系統(tǒng)的特征方程為：其中，pi(i=0,1,2,n)為系統(tǒng)的特征根。優(yōu)點(diǎn)：無需求解特征根，直接通過特征方程的系數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這是一種代數(shù)判據(jù)，依據(jù)根與系統(tǒng)的關(guān)系來判斷根的分布。由根與系數(shù)的關(guān)系可以求得：)

7、() 1()()()(210124213210313121022101nnnnnnnnnpppaapppppppppaappppppaapppaa若使全部特征根pi若均具有負(fù)實(shí)部，則要求特征方程的各項(xiàng)系數(shù)ai(i = 0, 1, 2, , n)均大于零，即： 注意，該條件僅為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 ai0 (i = 0, 1, 2, , n) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件勞斯穩(wěn)定判據(jù) 其中，ai0 (i=0,1,2,n)，即滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 0)(1110nnnnasasasasD考慮系統(tǒng)的特征方程：勞斯穩(wěn)定判據(jù)的判別過程如下： q 列出勞斯陣列 130211aaaaab150412aaaaab1

8、70613aaaaabsna0 a2 a4 a6 sn-1a1 a3 a5 a7 sn-2b1b2b3b4 sn-3c1c2c3c4 sn-4d1d2d3d4 s2e1e2s1f1s0g1121311bbaabc131512bbaabc141713bbaabc121211ccbbcd131312ccbbcd141413ccbbcd在上述計(jì)算過程中，為了簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一整行，這時(shí)并不改變系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論。 q 用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性考察勞斯陣列表中第一列各數(shù)的符號(hào)，如果第一列中各數(shù)a0、a1、b1、c1、的符號(hào)相同，則表示系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如

9、果符號(hào)不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。 通常a0 0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡(jiǎn)述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。 q 例題設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：05001004)(23ssssD應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：勞斯陣列如下：s31100s24500s1-25 0s05000勞斯陣列第一列中元素符號(hào)改變了兩次，表明系統(tǒng)具有兩個(gè)正實(shí)部的極點(diǎn)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。事實(shí)上系統(tǒng)包含了三個(gè)極點(diǎn)：0.406+j10.185、0.406-j10.185、 -4.812 低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù) q 二階系統(tǒng)0)(2120asasasD勞斯陣

10、列為：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20從而，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：q 三階系統(tǒng)0)(322130asasasasD勞斯陣列為：s3a0a2s2a1a3s1 0s0a313021)(aaaaa從而，三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)大于零，且： a1a2-a0a30 q 例題例1：系統(tǒng)方框圖如下，試確定開環(huán)增益K為何值時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。s1)5)(1(ssKXi(s)Xo(s)解解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：KsssKKsssKs56)5)(1()(23由三階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，有：此系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，特征方程為：056)(23KssssD0560KK即：當(dāng)0K0)作用下，穩(wěn)態(tài)

11、誤差ess 0)時(shí)，系統(tǒng)各參數(shù)應(yīng)滿足的條件。解解：系統(tǒng)必須穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。系統(tǒng)的特征方程為：0)(21221321hKKKKssTTsTT穩(wěn)定條件為：0, 021212121hhKKKKKKKKTTTT即：2121210TTTTKKKKh本系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，在輸入xi(t) = a+bt 作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為：hvpssKKKKbKbKae211顯然，穩(wěn)態(tài)誤差ess0的情形，即由 00+ 變化時(shí)，G(j)以幅值順時(shí)針旋轉(zhuǎn)v90 。綜上所述，對(duì)于包含積分環(huán)節(jié)的開環(huán)系統(tǒng)，對(duì)虛軸作上述處理后，繪制Nyquist圖時(shí)需考慮由 00+ 變化時(shí)的軌跡。即按常規(guī)方法作出由 0+ 變化時(shí)的Nyquist曲

12、線后，從G(j0)開始，以的半徑順時(shí)針補(bǔ)畫v90 的圓弧(輔助線)得到完整的Nyquist曲線。顯然，對(duì)于最小相位系統(tǒng)，由于：0)0(eeKjGjvv其輔助線的起始點(diǎn)始終在無窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上。 =0 =0 =0+ReIm0型系統(tǒng) =0 =Re0 =0+ImI型系統(tǒng) =0 =Re0 =0+ImII型系統(tǒng)對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，輔助線的起始點(diǎn)則由其含有的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)決定。偶數(shù)個(gè)時(shí)，起于正實(shí)軸，奇數(shù)個(gè)時(shí)起于負(fù)實(shí)軸。為作圖方便，通常按由 0+ 0變化加輔助線，即從G(j0+)開始以的半徑逆時(shí)針補(bǔ)畫v90的圓弧。作出輔助線的Nyquist曲線方向仍然是0 0+ +。作出輔助線后，即可應(yīng)用Nyquist判據(jù)

13、判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。q 例題 例1：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1()(TssKsG應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：開環(huán) Nyquist曲線不包圍 (-1, j0 )點(diǎn)，而N=0，因此，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 =0 =0 =0+ReIm 例2：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：)1)(1 ()(222212TTKA2121270)180(90)(arctgTarctgTarctgTarctgT 0： A(0)K(0)270 ： A()0()270注意到： 212121270270270)(TTTT

14、arctgTarctgT即T1T2 時(shí)，Nyquist曲線位于第一象限。 T1T2 =0 =0 =0+ReIm =0 =0+由圖可見，Nyquist曲線順時(shí)針包圍(-1, j0 )點(diǎn)半次，而N1，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。5、 Nyquist判據(jù)中判據(jù)中“穿越穿越”的概念的概念q 穿越：指開環(huán)Nyquist曲線穿過 (-1, j0 ) 點(diǎn)左 邊實(shí)軸時(shí)的情況。q 正穿越： 增大時(shí)，Nyquist曲線由上而下穿 過-1 - 段實(shí)軸。q 負(fù)穿越： 增大時(shí)，Nyquist曲線由下而上穿 過-1 - 段實(shí)軸。負(fù)穿越相當(dāng)于Nyquist曲線 反向包圍(-1, j0 )點(diǎn)一圈。正穿越時(shí)，相角增加，相當(dāng)于Nyquist

15、曲線正向包圍(-1, j0 )點(diǎn)一圈。-1+0ReIm = =0q=2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)由0變化到時(shí)，Nyquist曲線在(-1, j0 )點(diǎn)左邊實(shí)軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于q/2時(shí)（ q 為系統(tǒng)開環(huán)右極點(diǎn)數(shù)），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。易知，上圖所示系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。6、 滯后系統(tǒng)的滯后系統(tǒng)的Nyquist穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析考慮開環(huán)附加延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)sesGsG)()(0jejGjG)()(0)()()(0jGjGA)()()(0jGjG可見延遲環(huán)節(jié)不改變?cè)到y(tǒng)的幅頻特性，僅對(duì)相頻特性有影響。具體實(shí)例見P176。延遲環(huán)節(jié)不利于系統(tǒng)穩(wěn)定四、四、Bode穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 1、Ny

16、quist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系Bode穩(wěn)定判據(jù)是幾何判據(jù)，Nyquist判據(jù)的引申。線之上；頻特性圖的對(duì)數(shù)幅軸，單位圓之外對(duì)數(shù)幅頻特性圖上的橫線，即圖上的圖上的單位圓odBodBBodeNyquist) 1 (oojwHjwGBodeNyquist180)()(180)2(相頻特性圖上的橫軸，線，即對(duì)數(shù)圖上的圖上負(fù)實(shí)軸Nyquist軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率，稱為剪切頻率或幅值穿越頻率、幅值交界頻率，記為c。Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率，即對(duì)數(shù)相頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率，稱為相位穿越頻率或相位交界頻率，記為 g。2、穿越的概念 在前面已講過穿越、正

17、穿越、負(fù)穿越。（鏈接）。 若開環(huán)頻率特性Nyquist軌跡在（1，j0)點(diǎn)沿頻率增加的方向，開環(huán)Nyquist軌跡自（1，j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸開始向下稱為半次正穿越；反之，若沿頻率增加的方向，開環(huán)軌跡自以左的負(fù)實(shí)軸開始向上稱為半次負(fù)穿越。 對(duì)應(yīng)于圖上，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，沿增加的方向，對(duì)數(shù)相頻特性Bode曲線自下而上穿越-180o線為正穿越正穿越；反之，稱為負(fù)穿越負(fù)穿越。若對(duì)數(shù)相頻特性曲線自-180o線開始向上，稱為半次正穿半次正穿越越；反之，若對(duì)數(shù)相頻特性曲線自-180o線開始向下，稱為半次負(fù)穿越。3、Bode判據(jù) 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)為P，則對(duì)應(yīng)的

18、閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)是：在Bode圖上，當(dāng)由0變到+時(shí)，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180o線正穿越的次數(shù)與負(fù)穿越的次數(shù)之差為P/2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。特別地：P=0時(shí)，若wcwg，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。若wc=wg，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 若開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)橫軸有多個(gè)剪切頻率，則取最大的那個(gè)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(見P178)五、系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性五、系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性 系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性：Gk(jw)靠近(-1,j0)的程度。定量指標(biāo)：相對(duì)裕度幅值裕度gK1、相對(duì)裕度ocococcwwwjwGww180)(180)(180)()(即線的相位差距的相頻特性時(shí)，在定性儲(chǔ)備正相位裕度，有正的穩(wěn)極坐標(biāo)圖負(fù)實(shí)軸以下，線以上，對(duì)數(shù)相頻特性圖對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，o1800| )(|1|