相似三角形模型講一線三等角問題講義解答

1、平行不平行三母子型四一線三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等邊三角形為背景五一線三直角型:六雙垂型:、相似三角形判定的根本模型認識一A字型、反 A字型斜A字型平行不平行二8字型、反8字型蝴蝶型相似三角形判定的變化模型旋轉型： 由 A 字型旋轉得到。8 字型拓展共享性一線三等角的變形一線三直角的1. 如圖，梯形 ABCD中, AD/ BC對角線 AG BD交于點O, BE/ CD交CA延長線于 E.求證：oC=OA?OE 2 .如圖，在 ABC中，AB=AC=10 BC=16點D是邊BC上(不與 B, C重合)一動點，/ ADEM B=a, DE交 AC于點E.以下結論：2

2、AD=AE?AB W AE 10;當 AD=2時， ABDA DCE厶DCE為直角三角形時， BD為8或.其中正確的結論是 .(把你認為正確結論的序號都填上)3. ：如圖， ABC中，點 E在中線 AD上，/ DEBMABC 求證：(1)db2=de?da(2 )M DCEM DAC4. ：如圖，等腰 ABC 中，AB=AC ADLBC于 D, CG/ AB BG分別交 AD AC于 E F.求證：BE2=EF?EG5. 如圖，ABC的角平分線，EF為AD的垂直平分線.求證：FDf=FB?FC6. ：如圖，在 Rt ABC中，/ C=9C , BC=2 AC=4 P是斜邊 AB上的一個動點，P

3、DLAB交邊 AC于點 D (點D與點A C都不重合)，E是射線DC上一點，且/ EPDM A.設 A P兩點的距離為 x,A BEP的面積為 y.(1) 求證：AE=2PE(2) 求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3) 當厶BEP與厶ABC相似時，求 BEP的面積.7. 如圖，在 ABC中，/ A=60, BD CE分別是 AC與 AB邊上的高，求證： BC=2DE8. 如圖， ABC是等邊三角形，點 D B C E在同一條直線上，且/ DAE=120 .(1) 圖中有哪幾對三角形相似？請證明其中的一對三角形相似；(2 )假設 DB=2, CE=6 求 BC的長.9. (：如圖，在

4、 Rt ABC中，AB=AC / DAE=45 .求證: (1 ) ABEA DCA ( 2) BC2=2BE?CD10. 如圖，在等邊厶ABC中，邊長為 6, D是BC邊上的動點，/ EDF=60 .(1) 求證： BD0A CFD(2 )當 BD=1, CF=3 時，求 BE 的長.11. 1在厶ABC中，AB=AC=5 BC=8點P、Q分別在射線 CB AC上點P不與點 C 點B重合，且保持 / APQM ABC 假設點P在線段CB上如圖，且BP=6,求線段CQ的長； 假設BP=x CQ=y求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)的定義域；2正方形ABCD勺邊長為5 如圖，點P、Q分別在直線

5、CB DC上 點P不與點C點B重合，且保持 / APQ=90度.當CQ=1時，寫出線段BP的長不需要計算過程，請直接寫出結果13 .梯形 ABCD中, AD/ BC 且 ADX BC, AD=5, AB=DC=21如圖，P為AD上的一點，滿足/ BPCMA,求 AP的長；2 如果點P在AD邊上移動點 P與點A D不重合，且滿足/ BPE2 A, PE交直線BC于點E,同時交直 線DC于點Q. 當點Q在線段DC的延長線上時，設 AP=x CQ=y求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍； 當CE=1時，寫出AP的長.不必寫解答過程14.如圖，在梯形 ABCD中, AD/ BC AB=CD

6、=BC=6 AD=3.點M為邊BC的中點，以 M為頂點作/ EMFM B, 射線ME交腰AB于點E,射線MF交腰CD于點F,連接EF.1求證： MEA BEM2假設厶BEM是以BM為腰的等腰三角形，求 EF的長；3 假設EF丄CD求BE的長.15 .在梯形 ABCD中, AD/ BC ADX BC 且 BC=6 AB=DC=4 點 E 是 AB 的中點.1如圖，P為BC上的一點，且 BP=2.求證： BEPACPD2 如果點P在BC邊上移動點 P與點B C不重合，且滿足/ EPF=/ C, PF交直線CD于點F,同時交直 線AD于點M,那么 當點F在線段CD的延長線上時，設 BP=x, DF=

7、y,求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域； 當時，求BP的長.16. 如下列圖，邊長為 3的等邊 ABC點F在邊BC上，CF=1,點E是射線BA上一動點，以線段 EF為 邊向右側作等邊厶EFG直線 EG FG交直線AC于點M, N,(1) 寫出圖中與 BEF相似的三角形；(2) 證明其中一對三角形相似；(3) 設BE=x，MN=y求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量 x的取值范圍；(4) 假設AE=1，試求 GMN的面積.17. 如下列圖,矩形 ABCD中 , CD=2 AD=3,點P是AD上的一個動點(與A、D不重合)，過點P作PE!CP 交直線AB于點E,設PD=x AE=y,(1

8、) 寫出y與x的函數(shù)解析式，并指出自變量的取值范圍；(2) 如果 PCD的面積是厶AEP面積的4倍，求CE的長；(3) 是否存在點P,使厶APE沿PE翻折后，點A落在BC上？證明你的結論.18. 如圖，在 Rt ABC中，/ C=90 , AB=5 ,點D是BC的中點，點 E是AB邊上的動點，DF丄DE交射線 AC 于點F.(1 )求AC和BC的長；(2) 當 EF/ BC 時，求 BE的長；(3) 連接EF,當厶DEF和厶ABC相似時，求 BE的長.19. 如圖，在 Rt ABC中，/ C=90 , AC=BC D是AB邊上一點，E是在AC邊上的一個動點(與點 A C不 重合)，DF丄DE

9、DF與射線BC相交于點F.(1) 如圖2,如果點 D是邊AB的中點，求證：DE=DF(2) 如果 AD: DB=m求DE DF的值；(3) 如果 AC=BC=6 AD DB=1: 2,設 AE=x, BF=y, 求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域； 以CE為直徑的圓與直線 AB是否可相切？假設可能，求出此時x的值；假設不可能，請說明理由.20. 如圖，在 ABC中，/ C=90 , AC=6 , D是BC邊的中點，E為AB邊上的一個動點，作/ DEF=90 , EF 交射線BC于點F.設BE=x, BED的面積為y .(1 )求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2) 如果以線

10、段BC為直徑的圓與以線段 AE為直徑的圓相切，求線段 BE的長；(3) 如果以B E、F為頂點的三角形與 BED相似，求 BED的面積.21. 如圖，在梯形 ABCD中, AB/ CD AB=2, AD=4 tanC=，/ ADCM DAB=90 , P 是腰 BC上一個動點(不含 點B、C),作PQL AP交CD于點Q.(圖1)(1 )求BC的長與梯形 ABCD勺面積；(2)當PQ=DQ寸，求BP的長；(圖2)(3 )設BP=x, CQ=y試求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域.1. 解 證明：T AD/ BC =，又 BE/ CD 二=，二=，即卩 OC=OA?OE答：2. 解 解：T A

11、B=AC./B=Z C,答：又I/ ADEM B./ ADEM C,.A AD0A ACD - =, AD 2=AE?AB故正確， 易證得厶CD0A BAD T BC=162設 BD=y, CE=x - =, =,整理得：y 16y+64=64 - 10x ,2即y- 8 =64 10x , Ovx,/ AE=AG CE=10- x,AE 0, BC=29解證明：(1 )在Rt ABC中，答： v AB=AC M B=M C=45 .vM BAEM BAD-M DAE M DAE=45 , / BAEM BAD+45 .而 M ADCM BAD-M B=M BAD+45 , M BAEM CD

12、A ABEA DCA(2)由厶 ABEA DCA 得. BE?CD=AB?AC而 AB=AC BCaB+aC? , BC2=2aB. BC2=2BE?CD10. 解1證明： ABC為等邊三角形，/ B=Z C=60 , 答： I/ EDF=60，/ BED/ EDBM EDBf FDC=120 ,/ BED/ FDCBD0A CFD2解：由1 知厶 BD0A CFD -=,/ BC=6 BD=1,. CD=BC BD=5, =，解得 BE=.11. 解解：1 ：/APQM CPQ/B+/ BAP / APQM ABC / BAPM CQP 答： 又 T AB=AC/ B=/ C. CPQA B

13、AP ./ AB=AC=5 BC=8 BP=6 CP=8- 6=2 , ,.假設點P在線段CB上，由1 知，/ BP=x BC=8,. CP=BG BP=8- x,又 T CQ=y AB=5 二，即.故所求的函數(shù)關系式為，Ov x v 8.假設點P在線段CB的延長線上，如圖.T/ APQ=/APB+/CPQ， / ABC=/APB+/PAB，/ APQ=/ABC，/ CPQ/= PAB.又 t/ ABP=180 -/ ABC / PCQ=180 -/ ACB / ABC/ ACB/ ABP/ PCQQCP PBA .T BP=x， CP=BC+BP=8+，x AB=5， CQ=y，,即x8.2

14、當點P在線段BC上,T/APQ=90 ，/ APB+/QPC=90，t/ PAB+/ APB=90，/ PABM QPCt/ B=/ C=90ABPA PCQ： AB: PC=BP CQ即 5: 5 - BF =BP: 1,解得：，或， 當點P在線段BC的延長線上，那么點 Q在線段DC的延長線上，同理可得： ABP PCQ AB: PC=BP CQ 5： BP- 5 =BP: 1,解得：， 當點P在線段CB的延長線上，那么點 Q在線段DC的延長線上，同理可得： ABP PCQ AB: PC=BP CQ 5: BP+5=BP: 1，解得：.13.解 解：1 t ABCD是梯形，AD/ BC AB

15、=DC /A=/D答：T/ABP+/APB+/A=180,/APB+/DPC+/BPC=180,/BPC=/A /ABP/ DPC ABPA DPC-,即：解得：AP=1 或 AP=4.2由1可知： ABPA DPQ ,即：， 1v XV 4.當 CE=1 時，/ PDQpA ECQ ,或，,解得：AP=2或舍去.14. 答：解證明：(1)在梯形 ABCD中,/ AD/ BC AB=CD/ B=Z C,/ BMFM EMB：+ EMFM C+Z MFC又/ EMFZ B,.Z EMBZMFC EMBA MFC：,/ MC=MB：，又tZ EMFZ B,.A MEFA BEM(2) 解：假設 B

16、EM是以BM為腰的等腰三角形，那么有兩種情況： BM=ME那么根據(jù)厶MEA BEM =,=，即卩 EF=MF根據(jù)第(1)問中已證厶BMOA MFC=，即卩 MF=FCFMCZC,又/ B=Z C,.Z FMCZB,. MF/ AB延長BA和CD相交于點 G又點M是BC的中點，皿卩是厶GBC的中位線， MF=GB又 AD/ BCGADo GBC： =, =1,即 AG=AB=6 GB=12 - MF=EF=6 BM=BE=3 .點 E是AB的中點,又厶MEOA BEM =1 ,即 MF=ME EF 是梯形 ABCD勺中位線， EF= ( AD+BC = ( 3+6)=;(3) T EF CD Z

17、 EFC=90 , MEOA BEM Z MFEZ MFCZ BME=45 ,解一：過點E作EHL BC那么可得 EHM等腰直角三角形，故 EH=MH 設 BE=X 那么 BH= EH=MH= BE=解二：過點 M作 MNL DC MC=3 NC= MN=FN FC=- 2由厶MEOA MFC有，即，得 BE=15. 答：解(1)證明：在梯形 ABCD中 , AD/ BC AB=DC /B=Z C.BE=2, BP=2, CP=4 CD=4 . BEPACPD(2)解：/ B=Z C=Z EPF180-Z B=180-Z EPF=ZBEP+ZBPE=ZBPE+ZCPF Z BEPZ FPC B

18、EPOA CPF .( 2V XV 4).當點F在線段CD的延長線上時，/Z FDMZ C=Z B, Z BEPZ FPCZ FMD BEPOA DMFt .2/ x - 3X+8=0 V 0. 此方程無實數(shù)根.故當點F在線段CD的延長線上時，不存在點 P使； 當點F在線段 CD上時，同理 BEPOA DMF/ ./ BEPOA CPF .2 x 9x+8-0 ,解得 X1-1 , X2-8.由于 X2-8 不合題意舍去. x=1 ,即 BP-1. 當時，BP的長為1.16.解解：(1 ) BEF AMOA CFNA GMN答：證明：(2)在厶BEF與厶AME中，/B=ZA=60,aZ AEM

19、AME=120 ,/GEF=60 ,/AEM/BEF=120BEFKAMEA BEFAAME解：(3) (i )當點E在線段AB上，點M N在線段AC上時，如圖，/ BEfo AME - BE AM=BF AE,即: x： AM=2 ( 3 - x), AM=同理可證厶 BEFACFN - BE CF=BF CN 即： x： 1=2：CN， CN=，/ AC=AM+MN+C!N 3=+y+,. y= (1 x 3);(ii )當點E在線段AB上，點6在厶ABC內時，如備用圖一，同上可得： AM=， CN=，/ AC=AM+CN MN - 3=+- y, y= -( 0 v x3);綜上所述：y

20、= -( 0 vxw 1),或 y= (x 1);(4) (i )當AE=1時， GMN是邊長為1等邊三角形，S AGM= X 1 X =；( 1 分)(ii )當AE=1時， GMN是有一個角為 30的Rt,/x=4,. y=, NG=FG FN=4X- 1X =,S AGM= XX =.17. 解 (1)解：T PEI CP 可得： EAPOA PDC , 答： 又T CD=2 AD=3 設 PD=x, AE=y, y=- , 0v xv 3;(2)解：當 PCD的面積是厶AEP面積的4倍， 那么：相似比為 2： 1T CD=2 AP=1 PD=2 PE= PC=2 EC=.( 3)不存在

21、.作AF丄PE交PE于0, BC于 F ,連接EF t AF丄 PE CPL PE/. AF=CP= PE= / CDP POA = , OA=假設 OA=AF = ， 223x - 6x+4=0 =6 - 4X 4X 3=- 12 x 無解因此，不存在.18. 解解：(1 )在 Rt ABC中，/ C=90答： ，設 AC=3k BC=4k 二 AB=5k=5 二 k=1 ,a AC=3 BC=4(2)過點E作EHL BC垂足為 H.易得 EHBA ACB 設 EH=CF=3k BH=4k, BE=5k;/ EF/ BC/ EFD2 FDC22/FDE2 C=90EFD FDC. FD =E

22、F?CD即 卩 9k+4=2 (4- 4k)2化簡，得 9k2+8k- 4=0解得(負值舍去)，；(3)過點E作EHL BC 垂足為 H.易得 EHBA ACB設 EH=3k，BE=5k/ HED# HDE=90 / FDCf HDE=90HEDM FDC/ EHD# C=90EHSA DCF ,當厶DEF和厶ABC相似時，有兩種情況：1,二，即解得，2,二，即解得，.綜合1、2,當厶DEF和厶ABC相似時，BE的長為或.19. 解 (1)證明：如圖 2，連接 DC.答： # ACB=90 , AC=BC / A=# B=45 ,點 D是 AB中點，/ BCD# ACD=45 , CD=BD

23、/ ACD# B=45 / EDL DF, CDL AB# EDC+#CDF=90 ，# CDF+#FDB=90 ， # EDC=#FDB， CEDA BFD( ASA) , DE=DF(2)解：如圖1,作DPLAC DQLBC垂足分別為點 Q, P.# B=# A, # APD# BQD=90 ,ADPA BDQ DP： DQ=AD： DB=m.# CPD# CQD=90 , # C=90 , QDP=90 ,/ DFL DE EDF=90 , QDF# PDE# DQF# DPE=90 ,DQFA DPE DE： DF=DP： DQ DE： DF=DP： DQ=AD： DB=m；(3)解：

24、如備用圖1,作EGLAB FHLAB垂足分別為點 G H. 在 Rt ABC 中，# C=90 , AC=BC=6 - AB=/ AD DB=1： 2, AD= DB=由# AGE=# BHF=90 # A=# B=45可得 AG=EG= BH=FH= GD= HD=易證 DGOA FHD , y=8 - 2x ,定義域是 Ov x 4.如備用圖2,取CE的中點O,作OMLAB于M.可得 CE=6- x AO= OM=.假設以CE為直徑的圓與直線 AB相切，那么，解得當時，以CE為直徑的圓與直線 AB相切.20. 解解：(1 )在 ABC 中，/ C=90 , AC=6，二 BC=8 AB=1Q答： CD=DB=4過點E作EHL CB于H.那么可求得 EH=x. y=x4Xx=x ( Ovxw或