平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

1、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1. 平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù) 入、尼，使a=入iei+蘢e2.其中，不共線的向量 ei, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè) a = (xi, yi), b= (x2, y2)，貝Ua + b= (xi + x2, yi + y2), a b = (xi X2, yi y2), ?a =(入 i,入 y , | a| = jx2+ y2.向量坐標(biāo)的求法 若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo) 設(shè) A(xi,

2、yi),B(X2,y2)，貝UAB=(x2 Xi,y2 yi),| AB| = /_x2 xi2+y2yi_ .3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a = (xi, yi), b=(X2, y2)，其中 b 工/ b? xiy2 x2yi = 0.1.判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打 “、或“X) ”(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底(X)在 ABC中，向量AB, Efc的夾角為/ ABC.(X)若a, b不共線，且 2ia+= 2ea + Qb，U刀=尼，皿=q(V)(4) 平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示(V )一xi yi(5) 若

3、a=(xi，yi)，b= (x2，y2)，貝Ua IIb的充要條件可表示成= y2.( X )X2 y21(6) 已知向量 a= (1- sin 0，1)，b= (?，1 + sin 0)，若 a I b,貝U e等于 45.( X )2. 已知點(diǎn) A(6,2)，B(1,14)，則與AB共線的單位向量為 殮亠512512答案(153,面或(153，-解析 因?yàn)辄c(diǎn)A(6,2)，B(1,14)，所以 AB= (- 5,12)，|AB| = 13，與AB共線的單位向量為= 士3（ 5,12） |AB| 13（，）士-15312，7?.3. 已知A(- 3,0), B(0,2) ,0為坐標(biāo)原點(diǎn)， 點(diǎn)C

4、在/AOB內(nèi)，| oC| = 2逼，且/AOC= 丁，設(shè) 比= 皿+ OB(圧R),貝0入的值為答案3 解析過C作CE! x軸于點(diǎn)E(圖略).n由/ AOC=知 OE= CE= 2,4所以 OC= OE+ OB= QA+ OB,即OE=毬A,2 所以(-2,0) = K- 3,0)，故入=3.4. 在?ABCD中，AC為一條對角線， AB= (2,4), AC= (1,3)，則向量BD的坐標(biāo)為 .答案(3，- 5)解析 / AB+BC= AC, bC= AC-AB= (- 1 , - 1),/. BD= AD-AB=bC- AB= (-3,- 5)._2 _i _| AC5. 在平面直角坐標(biāo)系

5、中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足OC= 3OA+ OB,W =3 3|AB|1 答案3解析/ OC= 一OA + _OB,33 OC- OA=- 3oa+ 2oB=壬宛一OA), AC= 3AB, - J-AC =13333| AB| 3題型一 平面向量基本定理的應(yīng)用在厶ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且CP=CAA+ -CB, Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為 M，又CM = tC,試求t的值.思維啟迪 根據(jù)題意可選擇 aB，ac為一組基底，將CM，cP線性表示岀來，通過 cM = tCP鍵立關(guān)于 t的方程組，從而求岀t的值.解/ cP= fcA+ -cb,3CP= 2CA+ Cb,即 2

6、CP- 2CA= Cfe- CP, 2Ap= PB,即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）,如圖所示A, M , Q三點(diǎn)共線,設(shè) CM = xCQ + (1 x)CA= 2CB+ (x 1)AC, 而 CB= AB AC,.CM = *AB+(2 1)AC.又 CP= AP Ac= a|-AC,由已知CM = tCP可得，|ab+ (X 1)AC= t(3AB AC),3，解得t=3.思維升華 平面向量基本定理表明，平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可用一組基底唯一表示，題中將同 一向量用同一組基底的兩種形式表示岀來，因此根據(jù)表示的唯一性”可建立方程組求解如圖，在 ABC中,_t 1 _t_tAN= 3NC

7、, P是BN上的一點(diǎn)，若 AP3mAB +謨，則實(shí)數(shù)m的值為解析設(shè) | BP| = y, | PN|X,則 AP= an + Np=aC bN,4 x + yx+ y，t t t t yAP= AB+ BP= AB+-tx -ty X y + X X 得AP= X7yAB+ 4 x y AC,人 y283令4 x+ y = 11，得尸3x,代入得m =后.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知 A(1， 2)，B(2,1)，C(3,2)，D(2,3)，(1)求 AD2BD3BC；設(shè)cm=3cA, cN=- 2BC,求mN及m、n點(diǎn)的坐標(biāo)思維啟迪(1)直接計(jì)算aD、bD、北的坐標(biāo)，然后運(yùn)算;(2)根據(jù)向量

8、的坐標(biāo)相等列方程求點(diǎn)M, N 的坐標(biāo) .解(1)TA(1, 2), B(2,1), C(3,2), (- 2,3), AD= (- 2 - 1,3 + 2) = (- 3,5),BD= (- 2-2,3 - 1) = (-4,2),BC= (3- 2,2 - 1)= (1,1),AD+ 2BD 3BC= ( 3,5) + 2( 4,2) 3(1,1)=(3 8 3,5 + 4 3)= ( 14,6).(2)v CM= 3CA, CN= 2BC,MN = CN CM = 2 bC 3CA= 2 bC+ 3AC,由 A、B、C、D 點(diǎn)坐標(biāo)可得 Ac= (3,2) (1, 2)= (2,4).MN

9、= 2(1,1) + 3(2,4) = (4,10).設(shè) M (xM , yM ), N (xN, yN).又 CM = 3CA OM OC= 3(OA OC), (xm , yM)(3,2) = 3(1， 2)(3,2) = ( 6, 12).xm = 3, yM = 10,M ( 3, 10).又CN= 2bC,I卩 ON oC= 2BC,. (xN，yN)(3,2)= 2(1,1)，. xN= 1，yN= 0，. N(1,0).思維升華 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、 減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行 .若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)， 則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法

10、則.已知 A( 2,4), B(3, 1), C( 3 , 4).設(shè) AB=a, BC= b, CA= c,且 CM = 3c, CN= 2b,(1) 求 3ab 3c；(2) 求滿足a= mb +nc的實(shí)數(shù) m, n；求M、N的坐標(biāo)及向量 MN的坐標(biāo).解 由已知得 a= (5 5) b= (6 3)c= (1,8).(1) 3a + b 3c= 3(5 , 5) + ( 6 , 3) 3(1,8) =(15 6- 3 , - 15 -3 24)= (6，- 42).(2) v mb + nc= ( 6m +n, 3m+8n),- 6mn= 5， 3m8n= 5,m= 1,解得n= 1.設(shè)0為

11、坐標(biāo)原點(diǎn)，/ CM = OM C= 3c, OM = 3c+ 0C= (3,24) + ( 3 , 4)= (0,20). M (0,20).又/ CN= ON 0C= 2b ,ON= 2b + 0C= (12,6) + ( 3, 4) = (9,2), N(9,2). MN = (9, 18).題型三 向量共線的坐標(biāo)表示3(1)已知梯形 ABCD,其中 AB/ CD,且 DC=2AB,三個(gè)頂點(diǎn) A(1,2), B(2,1), C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 .(2)已知向量 a= (3,1), b= (1,3), c= (k,7),若(a c) / b，貝U k=.思維啟迪(1)根據(jù)向量共線列

12、式求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)根據(jù)向量共線求參數(shù).答案 (1)(2,4)(2)5解析 (1)T 在梯形 ABCD 中，DC= 2AB, / DC= 2AB.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x, y),則 DC= (4,2) (x , y)= (4 x,2 y),AB= (2,1) (1,2) = (1, 1),(4 x,2 y) = 2(1 , 1),即(4 x,2 y)= (2 , 2),4 x = 2x= 2，解得，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4).2 y = 2y= 4(2)依題意得 a c= (3,1) (k,7) = (3 k, 6),又 T (a c) / b ,3 k 6故= 丁，- k = &思維升華(1)

13、兩平面向量共線的充要條件有兩種形式： 若a=(X1 , y1) , b= (x2 , y2),則a / b的充要條件是 X1y2 x2y1= 0；若a / b(a工0 ,貝U b= 2a.(2)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.2已知向量 a= (1,2), b = (1,0), c = (3,4).若入為實(shí)數(shù)，(a+力)II c,貝9入=.(2)已知向量 OA= (3， 4), OB= (6, 3), OC= (5 m , 3 m),若點(diǎn) A、B、C 能構(gòu)成二角形， 則實(shí)數(shù)m滿足的條件是 .答案? (2)m f

14、解析 (1)v a= (1,2), b = (1,0),a + 2b = (1,2) + 1,0) = (1 + 入 2),由于(a+ Zb) II c,且 c= (3,4),14(1 +一6= 0,解得 2=云(2)因?yàn)?OA= (3, 4), OB= (6， 3), OC= (5 m， 3 m),所以 AB= (3,1), BC= ( m 1 , m).由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，所以AB與 BC不共線，而當(dāng)AB與 BC共線時(shí)，有J =丄，解得m = m 1 m2故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時(shí)實(shí)數(shù)m滿足的條件是 m 方法與技巧1. 平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，將

15、向量進(jìn)行分解 向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示，其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵 2平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)兩向量平行的充要條件若a = (xi, yi), b=(x2,y2)，貝aIIb的充要條件是a =Zb,這與xiy2X2yi = 0在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同.三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求由三點(diǎn)組成的任兩個(gè)向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定失誤與防范1. 要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)中包含向量大小和方向兩種信息；兩個(gè)向量共線有方 向相同、相反兩種情況.X1 yi2. 若a = (xi，yi)，b = (X2，y2)，貝U a II b的充要條件不能表示成疵

16、=y2，因?yàn)閄2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為xi y2 X2yi = 0.、填空題1. (2012 廣東改編)若向量 BA= (2,3) , CA= (4,7)，則 BC=.答案(一2, 4)解析 由于 BA= (2,3), CA= (4,7),所以 BC=bA+ AC= (2,3) + ( 4, 7) = ( 2, 4).2. 在 ABC中，點(diǎn)P在BC上，且BP= 2元，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA= (4,3), PQ= (1,5)，則BC=答案(6,21)解析bC= 3PC= 3(2 PQ PA)=6PQ- 3PA= (6,30) (12,9)=(6,21).1 13. 若三點(diǎn) A(2,

17、2), B(a,0), C(0, b) (ab 工 0共線，則：+ b的值為1 答案丄2解析AB= (a 2, 2), AC= ( 2, b 2),依題意，有(a 2)(b 2) 4= 0 ,111即 ab 2a 2b = 0,所以 一+ -= 一a b 24. 如圖，在 OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，OP= xOA+yOB,且BP=2PA,貝 U x =2 1答案3 1解析由題意知op= Ob+bP,又 BP= 2PA, 所以 op= Ob+ -ba= Ob+(oa Ob)=；oa+；ob,所3 3335. 已知A( 3,0), B(0 , .3), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在第二象限，且 / A

18、OC= 30 OC=入0A+ OB,則實(shí)數(shù)入的值為,答案1解析 由題意知 OA= ( 3,0) , OB= (0,. 3),則 OC= ( 3 入 3),由/ AOC= 30知以x軸的非負(fù)半軸為始邊，OC為終邊的一個(gè)角為 150, tan 150 二當(dāng),即-粵警，二匸 1.6. 已知向量 a = (1,2), b = (x,1), u = a+ 2b, v= 2a b，且 u II v，則實(shí)數(shù) x 的值為1答案2解析 因?yàn)?a = (1,2) , b= (x,1), u = a + 2b, v= 2a b,所以 u = (1,2) + 2(x,1)= (2x + 1,4),v = 2(1,2)

19、 (x,1)= (2 x,3),又因?yàn)?uI v，所以 3(2x + 1) 4(2 x) = 0,1即10x= 5，解得x= 27. (2013 江蘇)設(shè) D, E 分別是 ABC 的邊 AB, BC上的點(diǎn)，AD = AB, BE= -BC若 dE=刀AB+，AC(,，為實(shí)數(shù))，貝U ，+,的值為解析 如圖，DE= DB+ BE= 1AB+ |bC= AB* 3 (AC AB) = *ab+|aC,貝U，= 6, ,= 3, ，+ ,=2.36328. 在 ABC 中，內(nèi)角 A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,若 p= (a+ c, b), q = (b a, c a),且 p I

20、q, 則角C=.答案 60解析 因?yàn)?p I q，則(a+ c)(c a) b(b a)= 0,所以 a2 + b2 c2= ab,a2 + b2 c2 = 12ab= 2,1結(jié)合余弦定理知，cos C= $,又 0C180, C= 60.二、解答題9. 已知 A(1,1)、B(3, 1)、C(a, b).(1)若A、B、C三點(diǎn)共線，求 a、b的關(guān)系式;若AC= 2AB,求點(diǎn)C的坐標(biāo).解 (1)由已知得 AB= (2, 2), AC= (a 1, b 1)./ A、B、C三點(diǎn)共線， AB I AC,2(b 1) + 2(a 1) = 0，即卩 a + b = 2.(2)t AC= 2AB, (

21、a 1, b 1) = 2(2， 2),a 1 = 4b 1 = 4a = 5，解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5, 3).10. 如圖，G是厶OAB的重心，P, Q分別是邊 OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P, G, Q三點(diǎn)共線.(1)設(shè)PG= 2PQ,將OG用入OP, OQ表示；_1 1 設(shè) OP= xOA, OQ= yOB,證明：1+1 是定值.(1)解 OG= OP+ PG= OP+ ZPQ= OP+ (OQ OP)=(1 rOP+ 泌證明一方面，由(1), 得OG= (1 ROP+ ?oQ= (1 2)xOA + 入 QB;另一方面，/ G是厶OAB的重心， OG= 3OM = 3E(oA + OB)=知+

22、 3OB.11 一入 x= 3,3 而OA, OB不共線，由，得1 入=3解得1_= 3入 y11 ;+廠3(定值).備用題1. 設(shè)向量a, b滿足| a| = 2訴，b= (2,1)，且a與b的方向相反，貝U a的坐標(biāo)為 . 答案(一4, 2)解析/ a與b方向相反，可設(shè)a=力(20, b0, O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 A、B、C 三點(diǎn)共1 2線，則一 + J的最小值是a b答案 8解析據(jù)已知得AB/ AC,又 AB= (a 1,1), AC= ( b 1,2),2(a 1) ( b 1) = 0,2a + b = 1,12 2a + b 4a+ 2b+ 一=計(jì)a bab,b 4ab 4a a=4

23、a，即 a二 1，bAfV 口 等號(hào)，4+a+ 石 *2 寸a8, 當(dāng)且僅當(dāng)1 2a+2的最小值是8.3. 已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD= 2DB, Cb= rAB+sAC,則r + s的值是 答案 0解析/ db= Ab- Ad,cd= Ab- Db- aC= Ab-AC,3212/. 2CD= AB- AC, . CD= 3AB-3AC._11122又CD= rAB + sAC,二 r = _, s=-,33r + s= 0.4. 已知A(7,1)、B(1,4)，直線y= 2ax與線段AB交于C,且AC= 2盹，則實(shí)數(shù)a=.答案 2解析 設(shè) qx, y),則 AC= (x- 7,

24、 y- 1), Cb= (1 - x,4 -y),T T x- 7 = 2 1 xx= 3/ AC= 2CB,.，解得y- 1 = 24-yy = 31 C(3,3).又 TC在直線 y= ax 上,1 3 = a 3, a= 2.5. 設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若A1A3=皿2(圧R),A1A4=PAA21 1(讓R),且一+一= 2 ,則稱A3, A4調(diào)和分割A(yù)1, A2.已知點(diǎn)C(c,0), D(d,0)(c, d R)調(diào)和分割點(diǎn) A(0,0), 入卩B(1,0)，則下面說法正確的是 .(填序號(hào)) C可能是線段 AB的中點(diǎn)； D可能是線段 AB的中點(diǎn)； C, D可能同時(shí)在線段 AB 上; C, D不可能同時(shí)在線段 AB的延長線上.答案解析 依題意，若 C, D調(diào)和分割點(diǎn) A, B,則有AC= ZAB, AD=吩B,且1 + - = 2.若C是線段AB 入卩的中點(diǎn)，則有aC=瑋，此時(shí)對.當(dāng)C, D同時(shí)在線段 AB上時(shí)，由AC=