2021年人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.3《空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示》導(dǎo)學(xué)案(含答案)

1、1.3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.了解空間直角坐標(biāo)系理解空間向量的坐標(biāo)表示2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用4.掌握空間向量的模夾角以及兩點(diǎn)間距離公式，能運(yùn)用公式解決問題重點(diǎn)：理解空間向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算 難點(diǎn)：運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決簡單的立體幾何問題一、平面向量坐標(biāo)表示及其運(yùn)算已知=(,)，=(,)，寫出下列向量的坐標(biāo)表示+=(+，+) ；-=(-，-)；=(，)；=/=0；=0設(shè)，則或 如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么； cosq =（）一、情境導(dǎo)學(xué)我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題中指出:“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空

2、間形式,簡單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點(diǎn)是排除了數(shù)量關(guān)系,對于研究空間形式,你要真正的騰飛,不通過數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法.” 吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標(biāo)系的引入,使得幾何問題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標(biāo)及其運(yùn)算.二、探究新知 一、空間直角坐標(biāo)系與坐標(biāo)表示 1.空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個單位正交基底i,j,k,以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎较?、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz,O叫做原點(diǎn),i,j,k都叫做坐標(biāo)向量,通

3、過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.1.畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使xOy=135(或45),yOz=90.三個坐標(biāo)平面把空間分成八個部分.2.在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.本書建立的都是右手直角坐標(biāo)系.2.點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,i,j,k為坐標(biāo)向量,對空間任意一點(diǎn)A,對應(yīng)一個向量OA,且點(diǎn)A的位置由向量OA唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在單位正交基底i,j,k下與向量OA對

4、應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作A(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo). 3.向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作OA=a由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡記作a=(x,y,z).小試牛刀1.若a=3i+2j-k,且i,j,k為空間的一個單位正交基底,則a的坐標(biāo)為.(3,2,-1) 答案:向量OP的坐標(biāo)恰好是終點(diǎn)P的坐標(biāo),這就實(shí)現(xiàn)了空間基底到空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換.思考：在空間直角坐標(biāo)系中,向量

5、OP的坐標(biāo)與終點(diǎn)P的坐標(biāo)有何關(guān)系? 二、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則設(shè)向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),R,那么向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a+b減法a-b數(shù)乘a數(shù)量積ab(a1+b1,a2+b2,a3+b3) ;(a1-b1,a2-b2,a3-b3) ;(a1,a2,a3) ;a1b1+a2b2+a3b3 2.空間向量的坐標(biāo)與其端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系:設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo). 3.空間向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示若向量

6、a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則(1)當(dāng)b0時(shí),aba=b (R);(2)ab.a1=b1,a2=b2,a3=b3 ;ab=0 ;a1b1+a2b2+a3b3=0 點(diǎn)睛：當(dāng)b的坐標(biāo)中b1,b2,b3都不等于0時(shí),a與b平行的條件還可以表示為ab a1b1=a2b2=a3b3 4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標(biāo)表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則(1)|a|=aa=;(2)cos=ab|a|b|= ;(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),則P1,P2兩點(diǎn)間的距離為|P1P2|= .a12+a22+a32;a1b1+a2b

7、2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32;(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.在此處鍵入公式。小試牛刀1.已知空間向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),則有m+n=,3m-n=,(2m)(-3n)=.2.已知空間向量a=(2,-1),b=(,8,-6),若ab,則=,若ab,則 =.3.已知a=(-2,2,3),b=(32,6,0),則|a|=,a與b夾角的余弦值等于.例1在直三棱柱ABO-A1B1O1中,AOB=2,AO=4,BO=2,AA1=4,D為A1B1的中點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求DO,A1B的坐標(biāo).用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下:

8、跟蹤訓(xùn)練1.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,B1C1的中點(diǎn),若以AB,AD,AA1為基底,則向量AE的坐標(biāo)為,向量AF的坐標(biāo)為,向量AC1的坐標(biāo)為.例2已知在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).(1)求AB+CA,CB-2BA,ABAC;(2)若點(diǎn)M滿足AM=12AB+34AC,求點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)若p=CA,q=CB,求(p+q)(p-q). 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算注意以下幾點(diǎn):(1)一個向量的坐標(biāo)等于這個向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則類似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.(

9、3)運(yùn)用公式可以簡化運(yùn)算:(a b)2=a22ab+b2; (a+b)(a-b)=a2-b2.跟蹤訓(xùn)練2在ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5).(1)求頂點(diǎn)B,C的坐標(biāo);(2)求CABC;(3)若點(diǎn)P在AC上,且AP=12PC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).例3已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).設(shè)a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,cBC,求c;(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k. 向量平行與垂直問題主要題型(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意:適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如

10、向量a,b平行,可設(shè)a=b),建立關(guān)于參數(shù)的方程;最好選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.跟蹤訓(xùn)練3.已知a=(+1,1,2),b=(6,2m-1,2).(1)若ab,分別求與m的值;(2)若|a|=5,且與c=(2,-2,-)垂直,求a.例4如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點(diǎn).(1)求BM,BN的長.(2)求BMN的面積. 反思感悟向量夾角與模的計(jì)算方法 利用坐標(biāo)運(yùn)算解 空間向量夾角與長度的計(jì)算問題,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用夾角與模的計(jì)算公式進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練4.在正方體ABC

11、D-A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,BB1的中點(diǎn),則cosEAF=,EF=.一題多變空間向量的平行與垂直 典例 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱D1D的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別為線段B1D1,BD上的點(diǎn),且3B1P=PD1,若PQAE,BD=DQ,求的值.延伸探究1若本例中的PQAE改為B1QEQ,其他條件不變,結(jié)果如何?延伸探究2本例中若點(diǎn)G是A1D的中點(diǎn),點(diǎn)H在平面xOy上,且GHBD1,試判斷點(diǎn)H的位置.1.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底AB,AD,AA1下的坐標(biāo)為(2,1,-3).若分別以DA,DC,DD1

12、的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則a的空間直角坐標(biāo)為()A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3) C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)2.下列向量中與向量a=(0,1,0)平行的向量是()A.b=(1,0,0)B.c=(0,-1,0) C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)(a+kb)=2,則k的值等于()A.1B.35C.25D.154.已知點(diǎn)A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),則A,B兩點(diǎn)的距離的最小值為() A.31010B.55C.355D.355.已知向量a=(2,

13、-1,-2),b=(1,1,-4).(1)計(jì)算2a-3b和|2a-3b|. (2)求.6.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn).(1)求證：EFCF；(2)求與所成角的余弦值；(3)求CE的長.課堂小結(jié)：本節(jié)課你學(xué)到了什么？ 平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)形結(jié)合類比 簡單的立體幾何問題參考答案：知識梳理學(xué)習(xí)過程小試牛刀1.(3,2,-1) 答案:向量OP的坐標(biāo)恰好是終點(diǎn)P的坐標(biāo),這就實(shí)現(xiàn)了空間基底到空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換.小試牛刀1.(-1,-1,1) ;(5,-11,19) ;168 解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-

14、4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)(-3n)=(2,-6,10)(6,-6,12)=168.2.4 ;-23解析:若ab,則有2=8=-1-6,解得=4.若ab,則ab=2+8-+6=0,解得=-23.3.答案:369解析:|a|=aa=(-2)2+22+(3)2=3,a與b夾角的余弦值cos=ab|a|b|=-6+12+0336=69.例1思路分析先在空間幾何體中找到兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系,再根據(jù)空間向量基本定理,將DO,A1B用基底表示,即得坐標(biāo).解:由已知AOOB,O1OOA,O1OOB,從而建立以O(shè)A

15、,OB,OO1方向上的單位向量i,j,k為正交基底的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖,則OA=4i,OB=2j,OO1=4k,DO=-OD=-(OO1+O1D)=-OO1+12(OA+OB)=-OO112OA12OB=-2i-j-4k,故DO的坐標(biāo)為(-2,-1,-4).A1B=OBOA1=OB-(OA+AA1)=OBOAAA1=-4i+2j-4k,故A1B的坐標(biāo)為(-4,2,-4).即DO=(-2,-1,-4),A1B=(-4,2,-4).跟蹤訓(xùn)練1. 答案:12,1,11,12,1(1,1,1)解析:因?yàn)锳E=AD+DD1+D1E=12AB+AD+AA1,所以向量AE的坐標(biāo)為12,1,1.因?yàn)?/p>

16、AF=AB+BB1+B1F=AB+12AD+AA1,所以向量AF的坐標(biāo)為1,12,1.因?yàn)锳C1=AB+AD+AA1,所以向量AC1的坐標(biāo)為(1,1,1).例2思路分析先由點(diǎn)的坐標(biāo)求出各個向量的坐標(biāo),再按照空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算求解:(1)因?yàn)锳(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以AB=(-3,5,-4),CA=(-1,0,9).所以AB+CA=(-4,5,5)，又CB=(-4,5,5),BA=(3,-5,4),所以CB-2BA=(-10,15,-3)，又AB=(-3,5,-4),AC=(1,0,-9),所以ABAC=-3+0+36=33.(2)由(1)

17、知,AM=12AB+34AC=12(-3,5,-4)+34(1,0,-9)=-34,52,-354,若設(shè)M(x,y,z),則AM=(x-1,y+2,z-4),于是x-1=-34,y+2=52,z-4=-354,解得x=14,y=12,z=-194,故M14,12,-194.(3)由(1)知,p=CA=(-1,0,9),q=CB=(-4,5,5).(方法1)(p+q)(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.跟蹤訓(xùn)練2解:(1)設(shè)B(x,y,z),C(x1,y1,z1),所

18、以AB=(x-2,y+5,z-3),BC=(x1-x,y1-y,z1-z).因?yàn)锳B=(4,1,2),所以x-2=4,y+5=1,z-3=2,解得x=6,y=-4,z=5,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,-4,5).因?yàn)锽C=(3,-2,5),所以x1-6=3,y1+4=-2,z1-5=5,解得x1=9,y1=-6,z1=10,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(9,-6,10).(2)因?yàn)镃A=(-7,1,-7),BC=(3,-2,5),所以CABC=-21-2-35=-58.(3)設(shè)P(x2,y2,z2),則AP=(x2-2,y2+5,z2-3),PC=(9-x2,-6-y2,10-z2),于是有(x2-2,y2+5

19、,z2-3)=12(9-x2,-6-y2,10-z2),所以x2-2=12(9-x2),y2+5=12(-6-y2),z2-3=12(10-z2),解得x2=133,y2=-163,z2=163,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為133,-163,163.例3 思路分析(1)根據(jù)cBC,設(shè)c=BC,則向量c的坐標(biāo)可用表示,再利用|c|=3求值;(2)把ka+b與ka-2b用坐標(biāo)表示出來,再根據(jù)數(shù)量積為0求解.解:(1)BC=(-2,-1,2)且cBC,設(shè)c=BC=(-2,-,2)(R).|c|=(-2)2+(-)2+(2)2=3|=3,解得=1.c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)a=AB=(1,

20、1,0),b=AC=(-1,0,2),ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).(ka+b)(ka-2b),(ka+b)(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-52.跟蹤訓(xùn)練3.解:(1)由ab,得(+1,1,2)=k(6,2m-1,2),+1=6k,1=k(2m-1),2=2k,解得=k=15,m=3.=15,m=3.(2)|a|=5,且ac,(+1)2+12+(2)2=5,(+1,1,2)(2,-2,-)=0,化簡,得52+2=3,2-22=0,解得=-1.因此,a=(0,1,-2).例4思路分析建立空間直

21、角坐標(biāo)系,寫出B,M,N等點(diǎn)的坐標(biāo),從而得BM,BN 的坐標(biāo).然后利用模的公式求得BM,BN的長度.對于(2),可利用夾角公式求得cosMBN,再求出sinMBN的值,然后套用面積公式計(jì)算.解:以C為原點(diǎn),以CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).則B(0,1,0),M(1,0,1),N0,12,1.(1)BM=(1,-1,1), BN=0,-12,1,|BM|=12+(-1)2+12=3,|BN|=02+-122+12=52.故BM的長為3,BN的長為52.(2)SBMN=12|BM|BN|sinMBN.cosMBN=cos=BMBN|BM|BN|=323

22、52=155,sinMBN=1-1552=105,故SBMN=12352105=64.即BMN的面積為64.跟蹤訓(xùn)練4.答案:2562解析:以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方體棱長為1,則E0,12,1,F1,0,12,AE=0,12,1,AF=1,0,12,EF=1,-12,-12,cos=AEAF|AE|AF|=125252=25,cosEAF=25,EF=|EF|=62.一題多變空間向量的平行與垂直 典例 解:如圖所示,以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,則A(1,0,0

23、),E0,0,12,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由題意,可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a,1), 因?yàn)?B1P=PD1,所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0),所以3a-3=-a,解得a=34,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為34,34,1.由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b,b,0),因?yàn)镻QAE,所以PQAE=0,所以(b-34,b-34,-1)(-1,0,12)=0,即-(b-34)-12=0,解得b=14,所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(14,14,0),因?yàn)锽D=DQ,所以(-1,-1,0)=(14,14,0),所以4=-1,故=-4.延伸探究1解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長為1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(c,c,0),因?yàn)锽1QEQ,所以B1QEQ=0,所以(c-1,c-1,-1)c,c,-12=0,即c(c-1)+c(c-1)+12=0,4c2-4c+1=0,解得c=12,