2018中考數(shù)學專題復習 第二十一講 圓的認識

1、第二十一講圓的認識一、圓的定義及圓的軸對稱性一、圓的定義及圓的軸對稱性1.1.定義定義: :在一個平面內(nèi)在一個平面內(nèi), ,線段線段OAOA繞它固定的一個端點繞它固定的一個端點O O旋轉旋轉_,_,另一個端點另一個端點A A所形成的圖形所形成的圖形. .2.2.軸對稱性軸對稱性: :圓是圓是_,_,任何一條任何一條_都是它的對稱軸都是它的對稱軸. .一周一周軸對稱圖形軸對稱圖形直徑所在直直徑所在直線線二、垂徑定理及推論二、垂徑定理及推論1.1.垂徑定理垂徑定理: :垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑_,_,并且平分弦所并且平分弦所對的對的_._.2.2.推論推論: :平分弦平分弦( (不是直徑不是直徑

2、) )的直徑的直徑_,_,并且平并且平分弦所對的分弦所對的_._.平分弦平分弦兩條弧兩條弧垂直于弦垂直于弦兩條弧兩條弧三、圓周角定理及推論三、圓周角定理及推論1.1.定理定理: :在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,同弧或等弧所對的圓周角同弧或等弧所對的圓周角_,_,都等于這條弧所對的圓心角的都等于這條弧所對的圓心角的_._.相等相等一半一半2.2.推論推論: :(1)(1)半圓半圓( (或直徑或直徑) )所對的圓周角是所對的圓周角是_,90_,90的圓周的圓周角所對的弦是角所對的弦是_._.(2)(2)在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,如果兩個圓周角如果兩個圓周角_,_,它們所對它們所對的弧一

3、定的弧一定_._.直角直角直徑直徑相等相等相等相等四、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)四、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對角圓內(nèi)接四邊形的對角_._.互補互補【自我診斷】【自我診斷】( (打打“”或或“”)”)1.1.直徑是圓中最長的弦直徑是圓中最長的弦. .( )( )2.2.平分弦的直徑一定垂直于弦平分弦的直徑一定垂直于弦. .( )( )3.3.相等的圓心角所對的弦相等相等的圓心角所對的弦相等. .( )( )4.904.90的圓心角所對的弦是直徑的圓心角所對的弦是直徑. .( )( )5.5.一條弦所對的圓周角一定是銳角一條弦所對的圓周角一定是銳角. .( )( )6.6.如圖如圖,AB,AB是是

4、O O的直徑的直徑,AOC=110,AOC=110, ,則則D=35D=35. . ( )( )考點一考點一 垂徑定理及其推論垂徑定理及其推論【示范題【示范題1 1】(2017(2017長沙中考長沙中考) )如圖如圖,AB,AB為為O O的直徑的直徑, ,弦弦CDABCDAB于點于點E,E,已知已知CD=6,BE=1,CD=6,BE=1,則則O O的半徑為的半徑為_._.【思路點撥】【思路點撥】連接連接OC,OC,由垂徑定理知由垂徑定理知, ,點點E E是是CDCD的中點的中點, ,CE= CD,CE= CD,在在RtRtOCEOCE中中, ,利用勾股定理即可得到關于利用勾股定理即可得到關于半

5、徑的方程半徑的方程, ,解方程求得圓的半徑即可解方程求得圓的半徑即可. .12【自主解答】【自主解答】連接連接OC,OC,如圖所示如圖所示:AB:AB是是O O的直徑的直徑, , CDAB,CE= CD= CDAB,CE= CD= 6=3,OEC=906=3,OEC=90, ,設設O O的半徑為的半徑為x.x.則則OC=x,OE=x-1,OC=x,OE=x-1,在在RtRtOCEOCE中中, ,根據(jù)根據(jù)勾股定理得勾股定理得:CE:CE2 2+OE+OE2 2=OC=OC2 2, ,即即3 32 2+(x-1)+(x-1)2 2=x=x2 2, ,解得解得x=5.x=5.所以所以O O的半徑為的

6、半徑為5. 5. 答案答案: :5 51212【答題關鍵指導】【答題關鍵指導】 垂徑定理運用中的垂徑定理運用中的“兩注意兩注意”(1)(1)兩條輔助線兩條輔助線: :一是過圓心作弦的垂線一是過圓心作弦的垂線, ,二是連接圓二是連接圓心和弦的一端心和弦的一端( (即半徑即半徑),),這樣把半徑、弦心距、弦的這樣把半徑、弦心距、弦的一半構建在一個直角三角形中一半構建在一個直角三角形中, ,運用勾股定理求解運用勾股定理求解. .(2)(2)方程思想方程思想: :在直接運用垂徑定理求線段的長度時在直接運用垂徑定理求線段的長度時, ,常常將未知的一條線段設為常常將未知的一條線段設為x,x,利用勾股定理構

7、造關于利用勾股定理構造關于x x的方程解決問題的方程解決問題. .【變式訓練】【變式訓練】1.(20171.(2017瀘州中考瀘州中考) )如圖如圖,AB,AB是是O O的直徑的直徑, ,弦弦CDABCDAB于點于點E,E,若若AB=8,AE=1,AB=8,AE=1,則弦則弦CDCD的長是的長是( () ) A. A. B.2 B.2 C.6C.6D.8D.877【解析】【解析】選選B.B.連接連接OC,OC,則則OC=4,OE=3,OC=4,OE=3,在在RtRtOCEOCE中中,CE= ,CE= 因為因為ABCD,ABCD,所以所以CD=2CE=2 .CD=2CE=2 .2222OCOE4

8、37.72.(20172.(2017大連中考大連中考) )如圖如圖, ,在在O O中中, ,弦弦AB=8 cm,OC AB=8 cm,OC AB,AB,垂足為垂足為C,OC=3cm,C,OC=3cm,則則O O的半徑為的半徑為_cm._cm.【解析】【解析】連接連接OA,OCAB,AB=8,AC=4,OC=3,OA,OCAB,AB=8,AC=4,OC=3,OA= OA= 答案答案: :5 52222OCAC345.3.(20173.(2017眉山中考眉山中考) )如圖如圖,AB,AB是是O O的弦的弦, ,半徑半徑OCABOCAB于點于點D,D,且且AB=8 cm,DC=2 cm,AB=8 c

9、m,DC=2 cm,則則OC=_cm.OC=_cm.【解析】【解析】連接連接OA,OA,OCAB,OCAB,AD= AB=4 cm,AD= AB=4 cm,設設O O的半徑為的半徑為R,R,在在RtRtOADOAD中中, ,由勾股定理得由勾股定理得,OA,OA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2, ,12RR2 2=4=42 2+(R-2)+(R-2)2 2, ,解得解得R=5cm,R=5cm,OC=5 cm.OC=5 cm.答案答案: :5 5考點二考點二 圓周角與圓心角圓周角與圓心角 【考情分析】【考情分析】圓周角定理及其推論和圓心角、弧、弦圓周角定理及其推論和圓心角、弧、弦之間的關

10、系是中考命題的熱點之間的關系是中考命題的熱點, ,常常結合垂徑定理、常常結合垂徑定理、直角三角形、全等三角形、相似三角形等進行命題直角三角形、全等三角形、相似三角形等進行命題, ,呈現(xiàn)形式多樣化呈現(xiàn)形式多樣化, ,有選擇題、填空題和解答題有選擇題、填空題和解答題. .命題角度命題角度1:1:在同圓或等圓中在同圓或等圓中, ,圓周角、弧、弦之間的圓周角、弧、弦之間的關系關系【示范題【示范題2 2】(2017(2017宜昌中考宜昌中考) )如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD內(nèi)接內(nèi)接于于O,ACO,AC平分平分BAD,BAD,則下列結論正確的是則下列結論正確的是( () )A.AB=ADA.

11、AB=ADB.BC=CDB.BC=CDC. C. D.BCA=ACDD.BCA=ACDAB DA【思路點撥】【思路點撥】根據(jù)圓周角、弧、弦的關系對各選項進根據(jù)圓周角、弧、弦的關系對各選項進行逐一判斷即可行逐一判斷即可. .【自主解答】【自主解答】選選B.A.ACBB.A.ACB與與ACDACD的大小關系不確的大小關系不確定定,AB,AB與與ADAD不一定相等不一定相等, ,故本選項錯誤故本選項錯誤;B.AC;B.AC平分平分BAD,BAC=DAC,BC=CD,BAD,BAC=DAC,BC=CD,故本選項正確故本選項正確; ;C.ACBC.ACB與與ACDACD的大小關系不確定的大小關系不確定,

12、 , 不一不一定相等定相等, ,故本選項錯誤故本選項錯誤;D.BCA;D.BCA與與DCADCA的大小關系不的大小關系不確定確定, ,故本選項錯誤故本選項錯誤. .ABAD與命題角度命題角度2:2:利用同弧所對的圓心角與圓周角之間的關利用同弧所對的圓心角與圓周角之間的關系求圓周角或圓心角的度數(shù)系求圓周角或圓心角的度數(shù)【示范題【示范題3 3】(2017(2017臨沂中考臨沂中考) )如圖如圖,BAC,BAC的平分線的平分線交交ABCABC的外接圓于點的外接圓于點D,ABCD,ABC的平分線交的平分線交ADAD于點于點E,E,(1)(1)求證求證:DE=DB.:DE=DB.(2)(2)若若BAC=

13、90BAC=90,BD=4,BD=4,求求ABCABC外接圓的半徑外接圓的半徑. .【思路點撥】【思路點撥】(1)(1)由角平分線得出由角平分線得出ABE=CBE, ABE=CBE, BAE=CAD,BAE=CAD,得出得出 由圓周角定理得出由圓周角定理得出DBC DBC =CAD,=CAD,證出證出DBC=BAE,DBC=BAE,再由三角形的外角性質(zhì)得再由三角形的外角性質(zhì)得出出DBE=DEB,DBE=DEB,即可得出即可得出DE=DB.DE=DB.BDCD，(2)(2)由由(1)(1)得得: ,: ,得出得出CD=BD=4,CD=BD=4,由圓周角定理得由圓周角定理得出出BCBC是直徑是直徑

14、,BDC=90,BDC=90, ,由勾股定理求出由勾股定理求出BC= BC= 即可得出即可得出ABCABC外接圓的半徑外接圓的半徑. .BDCD22BDCD4 2，【自主解答】【自主解答】(1)BE(1)BE平分平分ABC,ADABC,AD平分平分BAC,BAC,ABE=CBE,BAE=CAD,ABE=CBE,BAE=CAD, ,DBC=CAD,DBC=BAE, ,DBC=CAD,DBC=BAE,DBE=CBE+DBC,DEB=ABE+BAE,DBE=CBE+DBC,DEB=ABE+BAE,DBE=DEB,DE=DB.DBE=DEB,DE=DB.BDCD(2)(2)連接連接CD,CD,如圖所示

15、如圖所示: :由由(1)(1)得得: ,CD=BD=4,: ,CD=BD=4,BAC=90BAC=90,BC,BC是直徑是直徑,BDC=90,BDC=90, ,BC= BC= ABCABC外接圓的半徑外接圓的半徑= = BDCD22BDCD4 2，14 22 2.2【答題關鍵指導】【答題關鍵指導】 1.1.解決與圓有關的角度的相關計算時解決與圓有關的角度的相關計算時, ,一般先判斷角一般先判斷角是圓周角還是圓心角是圓周角還是圓心角, ,再轉化成同弧所對的圓周角或再轉化成同弧所對的圓周角或圓心角圓心角, ,利用同弧所對的圓周角相等利用同弧所對的圓周角相等, ,同弧所對的圓周同弧所對的圓周角是圓心

16、角的一半等關系求解角是圓心角的一半等關系求解. .2.2.在圓中當有直徑這一條件時在圓中當有直徑這一條件時, ,往往要用到直徑所對往往要用到直徑所對的圓周角是直角這一條件的圓周角是直角這一條件, ,含含4545角角, ,可設法構造等腰可設法構造等腰直角三角形直角三角形; ;含含3030或或6060角角, ,則設法構造含有則設法構造含有3030角角的直角三角形的直角三角形. .【變式訓練】【變式訓練】1.(20171.(2017青島中考青島中考) )如圖如圖,AB,AB是是O O的直徑的直徑, ,點點C,D,EC,D,E在在O O上上, ,若若AED=20AED=20, ,則則BCDBCD的度數(shù)

17、為的度數(shù)為( () ) A.100A.100B.110B.110C.115C.115D.120D.120【解析】【解析】選選B.B.連接連接AC,AC,因為因為ABAB是是O O的直徑的直徑, ,所以所以ACB ACB =90=90, ,因為因為AED=20AED=20, ,所以所以ACD=20ACD=20, ,所以所以BCD= BCD= ACB +ACD=110ACB +ACD=110. .2.(20172.(2017重慶中考重慶中考A A卷卷) )如圖如圖,BC,BC是是O O的直徑的直徑, ,點點A A在在圓上圓上, ,連接連接AO,AC,AOB=64AO,AC,AOB=64, ,則則A

18、CB=_.ACB=_.【解析】【解析】AO=OC,ACB=OAC,AO=OC,ACB=OAC,AOB=64AOB=64,ACB+OAC=64,ACB+OAC=64,ACB=64,ACB=642=322=32. .答案答案: :32323.(20173.(2017紹興中考紹興中考) )如圖如圖, ,一塊含一塊含4545角的直角三角角的直角三角板板, ,它的一個銳角頂點它的一個銳角頂點A A在在O O上上, ,邊邊AB,ACAB,AC分別與分別與O O交交于點于點D,E,D,E,則則DOEDOE的度數(shù)為的度數(shù)為_._.【解析】【解析】BAC=45BAC=45, ,由圓周角定理可得由圓周角定理可得D

19、OE= DOE= 2BAC=902BAC=90. .答案答案: :9090考點三考點三 圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形 【示范題【示范題4 4】(2017(2017廣東中考廣東中考) )如圖如圖, ,四邊形四邊形ABCDABCD內(nèi)接內(nèi)接于于O,DA=DC,CBE=50O,DA=DC,CBE=50, ,則則DACDAC的大小為的大小為( () ) A.130A.130B.100B.100C.65C.65D.50D.50【思路點撥】【思路點撥】先根據(jù)補角的性質(zhì)求出先根據(jù)補角的性質(zhì)求出ABCABC的度數(shù)的度數(shù), ,再再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出ADCADC的度數(shù)的度數(shù), ,由等腰三角

20、由等腰三角形的性質(zhì)求得形的性質(zhì)求得DACDAC的度數(shù)的度數(shù). .【自主解答】【自主解答】選選C.CBE=50C.CBE=50, ,ABC=180ABC=180-CBE=180-CBE=180-50-50=130=130, ,四邊形四邊形ABCDABCD為為O O的內(nèi)接四邊形的內(nèi)接四邊形, ,D=180D=180-ABC=180-ABC=180-130-130=50=50, ,DA=DC,DAC= =65DA=DC,DAC= =65. .180D2【答題關鍵指導】【答題關鍵指導】 圓內(nèi)接四邊形的角的圓內(nèi)接四邊形的角的“兩種兩種”關系關系(1)(1)對角互補對角互補: :若四邊形若四邊形ABCDABCD為為O O的內(nèi)接四邊形的內(nèi)接四邊形, ,則則A