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1、圓錐曲線三種弦長問題的探究般弦長計算問題:2X例1、橢圓8弋a(chǎn)2右1a b0,直線l1:X b1被橢圓C截得的弦長為2、3 ,且e守,過橢圓C的右焦點且斜率為的直線12被橢圓C截的弦長AB,求橢圓的方程;弦 AB的長度思路分析:把直線12的方程代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理和弦長公式求解解析:由I,被橢圓C截得的弦長為 2.2,得a2 b28,又ef,即2 c 2 a2 O2,所以a 3b3聯(lián)立得6,b22,所以所求的橢圓的方程為x2.橢圓的右焦點F 2,0,二12的方程為:y .3 x代入橢圓C的方程,化簡得,5x218x 6由韋達(dá)定理知,Xi18X2,X1X25從而XiX2由弦長公式,得2x,
2、 x24xi x2AB.1 k2Xi2.65X22-65即弦AB的長度為亠65點評:此題抓住1,的特點簡便地得出方程, 再根據(jù)e得方程,從而求得待定系數(shù)a2,b2,得出橢圓的方程,解決直線與圓錐曲線的弦長問題時,常用韋達(dá)定理與弦長公式。 二、中點弦長問題: 例2、過點P 4,1作拋物線y2 8x的弦AB恰被點P平分,求AB的所在直線方程及弦 AB的長度。思路分析:因為所求弦通過定點P,所以弦AB所在直線方程關(guān)鍵是求出斜率 k,有P是弦的中點,所以可用作差或韋達(dá)定理求得,然后套用弦長公式可求解弦長 解法1:設(shè)以P為中點的弦AB端點坐標(biāo)為 A Xj, y, , B x2, y2 ,,22那么有y1
3、8x1, y28x2,兩式相減,得y1y?%y?8花x?又 XiX28, yiy 2y2yiX2Xi4,所以所求直線AB的方程為y 14 x 4,即 4x y 150.解法2:設(shè)AB所在的直線方程為 y k x 41y k x 412由,整理得ky2 8y 32k 8 0.y2 8x8設(shè)A/,% , B X2,y2 ,由韋達(dá)定理得y yk又 P 是 AB 的中點, Il 匕 1-2 k 42k所以所求直線 AB的方程為4x y 150.4x2yy 158x整理得,2 ry 2y 300,那么 y1 y 2,%y230有弦長公式得,AB J|y1 y21k2y12y24y2,5272點評:解決弦的中點有兩種常用方法,一是利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式來構(gòu)造條件;二是利用端點在曲線上,坐標(biāo)滿足方程,作差構(gòu)造中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系求解,然后可套用弦長公式求解弦長三、焦點弦長問題:例3、同例1、由12過右焦點,有焦半徑公式的弦長為AB 2a e x1 x24/65y.3x2代入橢圓C的方程2 x2y 1,化簡得,5x218x 6062由韋達(dá)定理知,x1x218,W2655另解:.橢圓的右焦點F 2,0 ,12的方程為:4J6即弦AB的長度為U5點評:在解決直線與
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