概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式整理大全

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第一章隨機(jī)大事和概率（1） ）排列組合公式從 m個人中挑出 n 個人進(jìn)行排列的可能數(shù)；從 m個人中挑出 n 個人進(jìn)行組合的可能數(shù)；加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，其次種方法（2） ）加法和 可由 n 種方法來完成，就這件事可由m+n 種方法來完成；乘法原理乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：mn某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，其次個步驟可由 n 種方法來完成，就這件事可由 mn 種方法來完成；重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）（3） ）一些常 對立大事（至少有一個）見排列次序問題假如一個試驗(yàn)在相同條件

2、下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止（4） ）隨機(jī)試 一個，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它顯現(xiàn)哪個結(jié)果，就稱這種試驗(yàn)和隨機(jī)事件驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)；試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)大事；在一個試驗(yàn)下，不管大事有多少個，總可以從其中找出這樣一組大事， 它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必需發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個大事；任何大事，都是由這一組中的部分大事組成的；（5） ）基本領(lǐng) 這樣一組大事中的每一個大事稱為基本領(lǐng)件，用來表示；件、樣本空間和大事基本領(lǐng)件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示；一個大事就是由 中的部分點(diǎn)（基本領(lǐng)件）組成的集合；通常用大寫字母 a，b， c， 表示大事，它們是 的子集；為必定大事，

3、. 為不行能大事；不行能大事（ .）的概率為零，而概率為零的大事不肯定是不行能大事； 同理，必定大事（ ）的概率為 1，而概率為 1 的大事也不肯定是必定大事；關(guān)系：（6） ）大事的 假如大事 a的組成部分也是大事 b的組成部分，（ a 發(fā)生必有大事 b 發(fā)關(guān)系與運(yùn)算生）：假如同時有 ， ，就稱大事 a與大事 b等價，或稱 a等于 b：a=b；a、b 中至少有一個發(fā)生的大事： a b，或者 a+b；屬于 a而不屬于 b的部分所構(gòu)成的大事，稱為 a與 b的差，記為 a-b， 也可表示為 a-ab或者 ，它表示 a發(fā)生而 b不發(fā)生的大事；a、b 同時發(fā)生： a b，或者 ab；a b=.，就表示

4、a與 b不行能同時發(fā)生，稱大事 a與大事 b互不相容或者互斥；基本領(lǐng)件是互不相容的；-a 稱為大事 a 的逆大事，或稱 a 的對立大事，記為 ；它表示 a 不發(fā)生的大事；互斥未必對立；運(yùn)算：結(jié)合率： abc=abcabc=abc安排率： ab c=acbcabc=acbc德摩根率：，設(shè) 為樣本空間，為大事，對每一個大事 都有一個實(shí)數(shù) pa，如滿意以下三個條件：1 0 pa 1，2 p =1（7） ）概率的公理化定義（8） ）古典概型3 對于兩兩互不相容的大事， ，有常稱為可列（完全）可加性；就稱 pa 為大事 的概率；1 ，2 ；設(shè)任一大事 ，它是由 組成的，就有pa =如隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限

5、不行數(shù)并且每個結(jié)果顯現(xiàn)的可能性勻稱，同時（9） ）幾何概 樣本空間中的每一個基本領(lǐng)件可以使用一個有界區(qū)域來描述，就稱此隨型（10） ）加法公式（11） ）減法公式機(jī)試驗(yàn)為幾何概型；對任一大事a，；其中 l 為幾何度量（長度、面積、體積）；pa+b=pa+pb-pab當(dāng) pab0 時， pa+b=pa+pbpa-b=pa-pab（12） ）條件概率當(dāng) b a 時， pa-b=pa-pb當(dāng) a= 時， p =1- pb定義 設(shè) a、b 是兩個大事，且 pa0，就稱 為大事 a 發(fā)生條件下，大事 b發(fā)生的條件概率，記為；條件概率是概率的一種，全部概率的性質(zhì)都適合于條件概率；例如 p/b=1 p /a

6、=1-pb/a（13） ）乘法乘法公式：12n更一般地，對大事 a，a ，a，如 pa a a0 ，就有公式 ；兩個大事的獨(dú)立性1 2n-1設(shè)大事 、 滿意 ，就稱大事 、 是相互獨(dú)立的；如大事 、 相互獨(dú)立，且 ，就有（14） ）獨(dú)立性如大事 、 相互獨(dú)立，就可得到 與 、 與 、 與 也都相互獨(dú)立；必定大事 和不行能大事 . 與任何大事都相互獨(dú)立；. 與任何大事都互斥；多個大事的獨(dú)立性設(shè) abc是三個大事，假如滿意兩兩獨(dú)立的條件， pab=papb ； pbc=pbpc ；pca=pcpa 并且同時滿意 pabc=papbpc那么 a、b、c相互獨(dú)立；對于 n 個大事類似；（15） ）全概

7、公式（16） ）貝葉斯公式設(shè)大事 滿意1 兩兩互不相容， ，2 ， 就有；設(shè)大事 ， ， 及 滿意1 ， ， 兩兩互不相容， 0， 1，2， ，2 ， ， 就，i=1 ， 2， n；此公式即為貝葉斯公式；，（ ， ， ），通常叫先驗(yàn)概率； ，（ ， ， ），通常稱為后驗(yàn)概率；貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷；（17） ）伯努利概型我們作了 次試驗(yàn)，且滿意u每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或 不發(fā)生；u次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) 發(fā)生與否是互不影響的；這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗(yàn)；用 表

8、示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，就發(fā)生的概率為，用 表示 重伯努利試驗(yàn)中 顯現(xiàn) 次的概率， ；其次章隨機(jī)變量及其分布（ 1 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的可能取值為 xkk=1,2, 且取各個值的概率， 即大事）離x=xk 的概率為散型 px=xk=pk ，k=1,2, ，隨 就稱上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律；有時也用分布列的形式機(jī) 給出：變量 ；的 明顯分布律應(yīng)滿意以下條件： 分布 （1） ， ，（2） ；律（ 2 設(shè) 是隨機(jī)變量 的分布函數(shù)，如存在非負(fù)函數(shù)，對任意實(shí)數(shù) ，有）連 續(xù) ，型 就稱 為連續(xù)型隨機(jī)變量； 稱為 的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密隨 度；機(jī)變 密度函數(shù)具有下面 4 個性質(zhì)：

9、 量的 1；分 2；布密度（ 3）離散 積分元 在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中與 所起的作用相類似；連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系（ 4 設(shè) 為隨機(jī)變量， 是任意實(shí)數(shù)，就函數(shù)）分布函 稱為隨機(jī)變量 x 的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)；數(shù)可以得到 x 落入?yún)^(qū)間 的概率；分布函數(shù) 表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間 （ ，x 內(nèi)的概率；分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1；2是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；3，；4，即 是右連續(xù)的；5；對于離散型隨機(jī)變量，； 對于連續(xù)型隨機(jī)變量，；（ 5 0- px=1=p, px=0=q）八1大 分分 布布二在 重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)大事發(fā)生的概率為 ；大事 發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)

10、項(xiàng)變量，設(shè)為，就 可能取值為 ；分布，其中 ，就稱隨機(jī)變量 聽從參數(shù)為 ， 的二項(xiàng)分布；記為 ；當(dāng) 時， ， ，這就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）分布是二項(xiàng)分布的特例；泊設(shè)隨機(jī)變量的分布律為松分， ， ，布就稱隨機(jī)變量 聽從參數(shù)為 的泊松分布，記為 或者 p ；泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（ np=，n）；超幾何隨機(jī)變量 x聽從參數(shù)為 n,n,m 的超幾何分布，記為 hn,n,m ；分布幾，其中 p0， q=1-p；何分隨機(jī)變量 x聽從參數(shù)為 p 的幾何分布，記為 gp；布均設(shè)隨機(jī)變量的值只落在 a ，b 內(nèi)，其密度函數(shù)在a ，b 上為常數(shù) ，即勻分布 axb其他，就稱隨機(jī)變量 在a

11、 ，b 上聽從勻稱分布，記為xua，b ；分布函數(shù)為axb0，xb ；當(dāng) ax1x2 b時， x落在區(qū)間（ ）內(nèi)的概率為；指,數(shù)分布 0,其中 ，就稱隨機(jī)變量 x 聽從參數(shù)為 的指數(shù)分布；x 的分布函數(shù)為,x0 ；記住積分公式：正設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為態(tài)分，布其中 、 為常數(shù)，就稱隨機(jī)變量聽從參數(shù)為 、 的正態(tài)分布或高斯（ gauss）分布，記為 ；具有如下性質(zhì)：1的圖形是關(guān)于 對稱的；2當(dāng) 時， 為最大值； 如 ，就 的分布函數(shù)為；參數(shù) 、 時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為， ，分布函數(shù)為；是不行求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用； -x 1- x 且 0 ；假如 ，就

12、 ；（ 6 下分位表： ；）分位 上分位表： ；數(shù)（ 7 離已知 的分布列為）函散數(shù) 型，分的分布列（互不相等）如下： 布，如有某些 相等，就應(yīng)將對應(yīng)的相加作為 的概率；連先利用 x的概率密度 f xx 寫出 y 的分布函數(shù) fyy pgx y ，再利續(xù)用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出f yy ；型第三章二維隨機(jī)變量及其分布（1） ）聯(lián)合離散型假如二維隨機(jī)向量 （x，y）的全部可能取值為至多可列個有序?qū)Γ?x,y ），就稱 為離散型隨分布機(jī)量；設(shè) = （x，y）的全部可能取值為 ，且大事 = 的概率為 pij, , 稱為 = （x， y）的分布律或稱為 x和 y的聯(lián)合分布律；聯(lián)合分布有時也用下面的

13、概率分布表來 表示：y1y2yjp11p12p1jp21p22p2jpi1yxx1x2xi這里 pij 具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij 0（i,j=1,2,）；（2）連續(xù)型對于二維隨機(jī)向量 ，假如存在非負(fù)函數(shù) ，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū) 域 d，即 d=x,y|axb,cyx1 時，有 f（x2 ,y ）fx1 ,y;當(dāng) y2y1 時，有 fx,y 2 fx,y 1;（3）f（x,y ）分別對 x 和 y 是右連續(xù)的，即（4） （4）（5） 對于.（4） ） 離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5） ）邊緣 離散型x 的邊緣分布為分布；y 的邊緣分布為；連續(xù)型x 的邊緣分布密度為y 的邊緣

14、分布密度為（6） ）條件 離散型在已知 x=xi 的條件下， y取值的條件分布為分布在已知 y=yj 的條件下， x取值的條件分布為連續(xù)型在已知 y=y的條件下， x 的條件分布密度為；在已知 x=x的條件下， y 的條件分布密度為（7） ）獨(dú)立 一般型fx,y=f xxf yy性離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型fx,y=fxxfyy直接判定，充要條件：可分別變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布0隨機(jī)變量的函數(shù)如 x1,x 2, xm,x m+1, xn 相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，就：h（x1，x2, xm）和 g（xm+1, xn）相互獨(dú)立；特例：如 x與 y獨(dú)立，就： h（ x）和 g（y）獨(dú)立；

15、例如：如 x與 y獨(dú)立，就： 3x+1和 5y-2 獨(dú)立；（8） ）二維 設(shè)隨機(jī)向量（ x，y）的分布密度函數(shù)為勻稱分布其中 sd為區(qū)域 d的面積， 就稱（x，y）聽從 d上的勻稱分布， 記為（x，y） u（d）；例如圖 3.1 、圖 3.2 和圖 3.3 ；y1d 1o1x圖 3.1yd211o2x圖 3.2y d3dcoabx圖 3.3（9） ）二維 設(shè)隨機(jī)向量（ x，y）的分布密度函數(shù)為正態(tài)分布（10） ） 函數(shù)分布其中 是 5 個參數(shù)，就稱（ x，y）聽從二維正態(tài)分布， 記為（ x，y） n（由邊緣密度的運(yùn)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍為正態(tài)分布，即 x n（但是如 xn

16、（ ，x ，y未必是二維正態(tài)分布；z=x+y依據(jù)定義運(yùn)算：對于連續(xù)型， f zz 兩個獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布（）；n 個相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合， 仍聽從正態(tài)分布；，z=max,minx1,x 2, xn 如 相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為，就z=max,minx1,x 2, xn 的分布函數(shù)為：分布設(shè) n 個隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明它們的平方和的分布密度為我們稱隨機(jī)變量 w聽從自由度為 n 的 分布，記為 w ，其中所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)；分布滿意可加性：設(shè)就t 分布設(shè) x， y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證

17、明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機(jī)變量 t 聽從自由度為 n 的 t 分布， 記為 ttn ；f 分布設(shè) ，且 x與 y獨(dú)立，可以證明 的概率密度函數(shù)為我們稱隨機(jī)變量 f 聽從第一個自由度為n1，其次個自由度為 n2 的 f 分布，記為 f fn 1, n 2.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特點(diǎn)（ 1）一維隨機(jī)變量的 期望數(shù)字特 期望就是平均值征離散型連續(xù)型設(shè) x是離散型隨機(jī)變量， 其分設(shè) x是連續(xù)型隨機(jī)變量， 其概率布律為 p pk ，k=1,2, ,n ，密度為 fx，（要求肯定收斂）（要求肯定收斂）函數(shù)的期望y=gxy=gx方差dx=ex-ex2，標(biāo)準(zhǔn)差，矩對于正整數(shù) k，稱隨機(jī)變量對于正整數(shù) k，稱隨

18、機(jī)變量 xx的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為 x的的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為 x的 kkk 階原點(diǎn)矩，記為 vk, 即k =ex= , k=1,2,.對于正整數(shù) k，稱隨機(jī)變量x 與 e（x）差的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為 x的 k 階中心矩，記為 ，即= ， k=1,2,.階原點(diǎn)矩，記為 vk, 即k=ex =kk=1,2,.對于正整數(shù) k，稱隨機(jī)變量 x 與 e（x）差的 k 次冪的數(shù)學(xué)期望為 x的 k 階中心矩，記為 ， 即=k=1,2,.2切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量 x具有數(shù)學(xué)期望 e（ x）= ，方差 d（ x）= ，就對于任意正數(shù) ，有以下切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知 x的分布的情形下

19、，對概率的一種估量，它在理論上有重要意義；（ 2）期（ 1）ec=c望的性質(zhì)（ 2）ecx=cex（ 3）ex+y=ex+ey ，（ 4）exy=ex ey，充分條件： x和 y獨(dú)立；充要條件： x和 y不相關(guān)；（ 3）方（ 1）dc=0 ；ec=c差的性質(zhì)（2） ）dax=a dx ；eax=aex22（ 3）dax+b= adx ；eax+b=aex+b22（ 4）dx=ex -e x（ 5）dxy=dx+dy ，充分條件： x和 y獨(dú)立；充要條件： x和 y不相關(guān)；dxy=dx+dy 2ex -exy-ey，無條件成立；而 ex+y=ex+ey ，無條件成立；（4） ）常期望方差見分布的

20、期望 0-1 分布p和方差 二項(xiàng)分布np泊松分布 幾何分布 超幾何分布勻稱分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt 分布0n2（5） ）二期望維隨機(jī)變量的數(shù)字特 函數(shù)的期望 征方差協(xié)方差對于隨機(jī)變量 x與 y，稱它們的二階混合中心矩為 x 與 y 的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號 相對應(yīng)， x與 y的方差 d（x）與 d（ y）也可分別記為與 ；相關(guān)系數(shù)對于隨機(jī)變量 x與 y，假如 d（ x） 0, dy0 ，就稱為 x與 y的相關(guān)系數(shù)，記作 （有時可簡記為 ）；| |1，當(dāng) | |=1時，稱 x 與 y 完全相關(guān)： 完全相關(guān)而當(dāng) 時，稱 x與 y不相關(guān)；以下五個命題是等價的： ；covx,y=0;exy

21、=exey;dx+y=dx+dy;dx-y=dx+dy.協(xié)方差矩陣混合矩對于隨機(jī)變量 x與 y，假如有 存在，就稱之為 x 與 y 的 k+l階混合原點(diǎn)矩，記為 ； k+l 階混合中心矩記為：（6） ）協(xié)icov x, y=cov y, x;方差的性質(zhì)iicovax,by=ab covx,y;(iii) covx 1+x2, y=covx 1,y+covx 2,y;(iv) covx,y=exy-exey.（7） ）獨(dú)（ i ）如隨機(jī)變量 x 與 y 相互獨(dú)立，就；反立和不 之不真；相關(guān)（ ii ）如（ x，y） n（ ），就 x 與 y 相互獨(dú)立的充要條件是 x 和 y 不相關(guān)；第五章大數(shù)定

22、律和中心極限定理（1） ）大數(shù)定律 切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量 x1， x2 ，相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù) c所界： d（xi ）ci=1,2, , 就對于任意的正數(shù) ，有特別情形：如 x1，x2，具有相同的數(shù)學(xué)期望e（xi ）=，就上式成為伯努利大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律設(shè) 是 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中大事 a發(fā)生的次數(shù)， p 是大事 a在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，就對于任意的正數(shù)，有伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n 很大時， 大事 a發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小， 即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)固性；設(shè) x1，x2， xn，是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且 e（ xn）=，就對

23、于任意的正數(shù) 有（2） ）中心極限定列維林德伯設(shè)隨機(jī)變量 x1， x2 ，相互獨(dú)立，聽從同一分布，且具理格定理 有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，就隨機(jī)變量的分布函數(shù) fn x 對任意的實(shí)數(shù) x，有棣莫弗拉普拉斯定理此定理也稱為 獨(dú)立同分布 的中心極限定理；設(shè)隨機(jī)變量 為具有參數(shù) n, p0p1 的二項(xiàng)分布， 就對于任意實(shí)數(shù) x, 有（3） ）二項(xiàng)定理 如當(dāng) ，就超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布；（4） ）泊松定理 如當(dāng) ，就其中 k=0，1，2， n，；二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布；第六章 樣本及抽樣分布（1） ）數(shù)理統(tǒng) 總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指計的基本概念標(biāo)的全體稱為總體

24、（或母體）；我們總是把總體看成一個具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）；個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）；樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本；樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量， 一般用 n 表示；在一般情形下， 總是把樣本看成是 n 個相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡潔隨機(jī)樣本；在泛指任 一次抽取的結(jié)果時， 表示 n 個隨機(jī)變量（樣本）；在詳細(xì)的一次抽取之后，表示 n 個詳細(xì)的數(shù)值（樣本值）；我們稱之為樣本的兩重性；樣本函數(shù)和統(tǒng)計量設(shè) 為總體的一個樣本，稱（ ）為樣本函數(shù)，其中 為一個連續(xù)函數(shù)；假如中不包含任何未知參數(shù)，就稱 （ ）為一個統(tǒng)計量；常見統(tǒng)計量 樣本

25、均值及其性質(zhì)樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本 k 階原點(diǎn)矩樣本 k 階中心矩， ， ,其中 ，為二階中心矩；（2） ）正態(tài)總 正態(tài)分布設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，就樣本函數(shù)體下的四大分布t 分布設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，就樣本函數(shù)其中 tn-1表示自由度為 n-1 的 t 分布；設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，就樣本函數(shù)其中 表示自由度為 n-1 的 分布；f 分布設(shè) 為來自正態(tài)總體 的一個樣本，而 為來自正態(tài)總體的一個樣本，就樣本函數(shù)其中表示第一自由度為 ，其次自由度為 的 f 分布；（3） ）正態(tài)總 與 獨(dú)立；體下分布的性質(zhì)第七章參數(shù)估量（1） ）點(diǎn) 矩估量設(shè)總體 x 的分布中包含有未知數(shù)

26、 ，就其分布函數(shù)可以表成 它的 k 階原點(diǎn)矩 中也包含了未知參數(shù) ，即 ；又設(shè) 為總體 x 的估量n 個樣本值，其樣本的k 階原點(diǎn)矩為這樣，我們依據(jù)“當(dāng)參數(shù)等于其估量量時，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原就建立方程，即有由上面的 m個方程中，解出的 m個未知參數(shù) 即為參數(shù)（ ）的矩估量量；極大似然估量如 為 的矩估量， 為連續(xù)函數(shù)，就為 的矩估量；當(dāng)總體 x 為連續(xù)型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布密度為，其中 為未知參數(shù)；又設(shè)為總體的一個樣本，稱為樣本的似然函數(shù)，簡記為 ln.當(dāng)總體 x 為離型隨機(jī)變量時，設(shè)其分布律為，就稱為樣本的似然函數(shù)；如似然函數(shù) 在 處取到最大值，就稱 分別為 的最大似然估量值，相應(yīng)

27、的統(tǒng)計量稱為最大似然估量量；如 為 的極大似然估量， 為單調(diào)函數(shù)，就為 的極大似然估量；（2） ）估 無偏性設(shè) 為未知參數(shù) 的估量量；如 e （ ）= ，就稱 為 的無偏估計量的評比標(biāo)準(zhǔn)計量；e（ ）=e（x）， e （s2）=d（ x）有效性設(shè) 和 是未知參數(shù) 的兩個無偏估量量；如 ，就稱 有效；一樣性設(shè) 是 的一串估量量，假如對于任意的正數(shù)，都有就稱 為 的一樣估量量（或相合估量量）；（3） ）區(qū) 置信區(qū)間如 為 的無偏估量，且 就 為 的一樣估量；只要總體的 ex 和 dx存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的一樣估量量；設(shè)總體 x 含有一個待估的未知參數(shù)；假如我們從樣本 動身，間估量和置信度找出兩個統(tǒng)計量 與 ，使得區(qū)間 以 的概率包含這個待估參數(shù) ，即那么稱區(qū)間 為 的置信區(qū)間， 為該區(qū)間的置信度（或置信水平）；單正態(tài)總體的期望和方差的區(qū)間估量設(shè) 為總體 的一個樣本，在置信度為下，我們來確定的置信區(qū)間 ；詳細(xì)步驟如下：（ i ）挑選樣本函數(shù)；（ ii ）由置信度 ，查表找分位數(shù)；（ iii）導(dǎo)出置信區(qū)間 ；已知方差，估量均值（i ）挑選樣本函數(shù)ii查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間未知方差，估量均值（i ）挑選樣本函數(shù)ii查表找分位數(shù)（iii）導(dǎo)出置信區(qū)間方差的區(qū)間估量（i ）挑選樣本函數(shù)（ii ）查表