2021年高中數(shù)學(xué)人教版必修第一冊(cè)：3.4《函數(shù)的應(yīng)用（一）》精品講義(含解析)

1、3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法考點(diǎn)一 一次函數(shù)模型【例1】（2020全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí)）某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y（元）與日產(chǎn)量x（套）之間的關(guān)系為y6x30 000.而出廠價(jià)格為每套12元，要使該廠不虧本，至少日生產(chǎn)文具盒（ ）A2 000套B3 000套C4 000套D5 000套【答案】D【解析】因利潤(rùn)z12x(6x30 000),所以z6x30 000,由z0解得x5 000,故至少日生產(chǎn)文具盒5 000套.故選：D【一隅三反】1某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為50元，其成本價(jià)為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)過(guò)程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計(jì)兩套方

2、案對(duì)污水進(jìn)行處理，并準(zhǔn)備實(shí)施.方案一：工廠的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)2元，并且每月排污設(shè)備損耗為30000元；方案二：工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污費(fèi).問(wèn)：（1）工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時(shí)，你作為廠長(zhǎng)，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下應(yīng)選擇哪種方案？通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明.（2） 若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，你作為廠長(zhǎng)，又該如何決策呢？【答案】見(jiàn)解析【解析】設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時(shí)，依方案一的利潤(rùn)為y1，依方案二的利潤(rùn)為y2，由題意知y1=5025x20.5x30000=24x30000，y2=5025x140.5x=18x.（1

3、） 當(dāng)x=3000時(shí)，y1=42000，y2=54000，因?yàn)閥1y2，所以應(yīng)選擇方案一處理污水考點(diǎn)二 二次函數(shù)模型【例2】（2020浙江高一課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量（單位：千克）與銷(xiāo)售單價(jià)（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷(xiāo)售單價(jià)為元/千克時(shí)，每日可售出該商品千克.（1）求的值；（2）若該商品的進(jìn)價(jià)為元/千克，試確定銷(xiāo)售單價(jià)的值，使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，并求出利潤(rùn)的最大值.【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值等于440.【解析】（1）因?yàn)?且時(shí)，.所以解得. . （2）由（1）可知，該商品每日的銷(xiāo)售量. 所以商場(chǎng)每日

4、銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)： 因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，且開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為. 所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且最大值等于440. 所以當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格定為6元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為440元.【一隅三反】1（2020全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí)）某商店進(jìn)貨單價(jià)為45元，若按50元一個(gè)銷(xiāo)售，能賣(mài)出50個(gè)，若銷(xiāo)售單價(jià)每漲1元，其銷(xiāo)售量就減少2個(gè)，為了獲得最大利潤(rùn)，此商品的最佳售價(jià)應(yīng)為每個(gè)_元.【答案】60【解析】設(shè)漲價(jià)x元，銷(xiāo)售的利潤(rùn)為y元，則，當(dāng)，即銷(xiāo)售單價(jià)為60元時(shí)，y取得最大值.故答案為：602（2019安徽金安.六安一中高一月考）某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型

5、產(chǎn)品的收益與投資額成正比，且投資1萬(wàn)元時(shí)的收益為萬(wàn)元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，且投資1萬(wàn)元時(shí)的收益為0.5萬(wàn)元，（1）分別寫(xiě)出兩種產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；（2）該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，問(wèn)：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬(wàn)元？【答案】（1）；（2）投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬(wàn)元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬(wàn)元，投資收益最大為3萬(wàn)元.【解析】（1）依題意設(shè)，；（2）設(shè)投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬(wàn)元，則投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬(wàn)元，當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，收益最大萬(wàn)元，20萬(wàn)元資金，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品為萬(wàn)元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品為萬(wàn)元，投資收益最大為3

6、萬(wàn)元.考點(diǎn)三 分段函數(shù)模型【例3】（2019黃梅國(guó)際育才高級(jí)中學(xué)高一月考）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)，其中x（臺(tái)）是儀器的月產(chǎn)量（1）將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？（總收益總成本利潤(rùn)）【答案】（1）；（2）每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元【解析】（1）月產(chǎn)量為臺(tái)，則總成本為元，從而（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元【一隅三反】1（2020浙江高一課時(shí)練習(xí)）2018年1

7、0月24日，世界上最長(zhǎng)的跨海大橋港珠澳大橋正式通車(chē)。在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v（單位：千米/時(shí)）是車(chē)流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到220輛/千米，將造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米，車(chē)流速度為100千米/時(shí)研究表明：當(dāng)時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí)）可以達(dá)到最大？并求出最大值.【答案】（1）；（2）當(dāng)車(chē)流密度為110輛/千米時(shí)，車(chē)流量最大，最大值為6050輛/時(shí).【解析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，v(x)=100，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則解得

8、：，（2）由題意，當(dāng)時(shí)，的最大值為當(dāng)時(shí)，的最大值為當(dāng)車(chē)流密度為110輛/千米時(shí)，車(chē)流量最大，最大值為6050輛/時(shí).2（2020賓縣第二中學(xué)高二期中（理）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬(wàn)元，經(jīng)預(yù)測(cè)可知，市場(chǎng)對(duì)這種產(chǎn)品的年需求量為500件，當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位：百件)時(shí)，銷(xiāo)售所得的收入約為(萬(wàn)元)（1）若該公司的年產(chǎn)量為x(單位：百件)，試把該公司生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量x的函數(shù)；（2）當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，當(dāng)年所得利潤(rùn)最大？【答案】（1）f（x）；（2）475件.【解析】（1）當(dāng)05時(shí),產(chǎn)品只能售出500件.所以f（x）即f（x）（2）當(dāng)05時(shí),f（x）120.25510.75(萬(wàn)元).故當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí),當(dāng)年所得利潤(rùn)最大.3（2020全國(guó)高一專(zhuān)題練習(xí)）某商品在某月的30天內(nèi)每件銷(xiāo)售價(jià)格（元）與時(shí)間（天）的函數(shù)關(guān)系式是，該商品的日銷(xiāo)售量（件）與時(shí)間（天