2021年高中數(shù)學(xué)人教版必修第一冊(cè)：4.1.1《n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪》教案設(shè)計(jì)

1、【新教材】4.1.1 n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪教學(xué)設(shè)計(jì)（人教A版）學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則。有了這些知識(shí)作儲(chǔ)備，教科書通過實(shí)際問題引入分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，說明了擴(kuò)張指數(shù)范圍的必要性。課程目標(biāo)1. 理解n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念2. 掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；3. 掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：n次方根、根式的概念與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；2.邏輯推理：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；4.數(shù)學(xué)建模：通過與初中所學(xué)的

2、知識(shí)進(jìn)行類比，得出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，和指數(shù)冪的性質(zhì)。 重點(diǎn)：（1）根式概念的理解；（2） 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的理解；（3） 掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).難點(diǎn)：根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用類比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。一、 情景導(dǎo)入我們已經(jīng)知道是正整數(shù)指數(shù)冪，它們的值分別為.那么，的意義是什么呢？這正是我們將要學(xué)習(xí)的知識(shí).下面，我們一起將指數(shù)的取值范圍從整數(shù)推廣到實(shí)數(shù).為此，需要先學(xué)習(xí)根式的知識(shí). 要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本104-106頁，思考并完成以下問題(1)n次方根是怎樣定

3、義的？(2)根式的定義是什么？它有哪些性質(zhì)？(3)有理數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？怎樣理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？(4)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化遵循哪些規(guī)律？(5)如何利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、新知探究1n次方根定義一般地，如果xna，那么X叫做a的n次方根，其中n1，且nN*個(gè)數(shù)n是奇數(shù)a0x0x僅有一個(gè)值，記為a0x0n是偶數(shù)a0x有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，記為a0x不存在2根式(1)定義：式子 叫做根式，這里n叫做 根指數(shù) ，a叫做 被開方數(shù) (2)性質(zhì)：(n1，且nN*)()n .3分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a

4、(a0，m，nN*，且n1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a(a0，m，nN*，且n1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0 , 0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 沒有意義 4有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)arasars(a0，r，sQ)(2)(ar)s(a0，r，sQ)(3)(ab)r(a0，b0，rQ)四、典例分析、舉一反三題型一 根式的化簡(jiǎn)(求值)例1 求下列各式的值【答案】解題技巧：（根式求值）（1）化簡(jiǎn)nan時(shí),首先明確根指數(shù)n是奇數(shù)還是偶數(shù),然后依據(jù)根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn);化簡(jiǎn)(na)n時(shí),關(guān)鍵是明確na是否有意義,只要na有意義,則(na)n=a.(2)在對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí),若被開方數(shù)中含有字母參數(shù),則要注意字母

5、參數(shù)的取值范圍,即確定 中a的正負(fù),再結(jié)合n的奇偶性給出正確結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練一1.化簡(jiǎn)(1)(x，nN*)；(2).【答案】見解析【解析】(1)x，x0.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，|x|x；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x.綜上可知，(2)a，12a0，.題型二 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的簡(jiǎn)單計(jì)算問題例2求值【答案】見解析【解析】解題技巧：(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算技巧)1.對(duì)于既含有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,又含有根式的式子,一般把根式統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,以便于計(jì)算.如果根式中的根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.2.對(duì)于計(jì)算題的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來表示,但結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù),也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).跟蹤訓(xùn)練二1.計(jì)算(1

6、)12527-23 ; (2)0.008-23 ; (3)812 401-34; (4)(2a+1)0; (5)56-35-1-1.【答案】見解析 【解析】(1)12527-23=5333-23=5-23-2=3252=925.(2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=15-2=52=25.(3)812 401-34=3474-34=3-37-3=7333=34327.(4)(2a+1)0=1,a-12,無意義,a=-12.(5)56-35-1-1=56-53-1=-56-1=-65.題型三 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化例3 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表或下列各式（a0）【答案】見解析 【解析

7、】解題技巧：（根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化）（1）根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子（2）在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題跟蹤訓(xùn)練三1下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是()A(x) (x0) B.y(y0)Cx (x0) Dx(x0)【答案】C【解析】 x (x0)；(y)2y (y0)；x(x3) (x0)；x(x0)題型四 利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值例4 計(jì)算:0.064-13-780+(-2)3-43+16-0.75+|-0.01|12.【答案】14380 【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4

8、+(24)-34+(0.12)12=0.4-1-1+116+18+0.1=14380.解題技巧：（利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值的方法）(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時(shí)，若能明確被開方數(shù)的符號(hào)，則可以對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)運(yùn)算(3)對(duì)于含有字母的化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示跟蹤訓(xùn)練四1.計(jì)算:2350+2-2214-12-(0.01)0.5;2 .化簡(jiǎn):3a72a-33a-83a153a-3a-1(a0).【答案】見解析【解析】(1)原式=1+144912110012=1+16110=1615.(2)原式=3a72a-32a-83a1533a-32a-12=3a2a733a-2=a23a7312a-23=a23a76a-23=a23-76+23=a16=6a.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書設(shè)計(jì)4.1.1 n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.n次