第六章 隨機(jī)變量函數(shù)及其分布

1、隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題問題：已知隨機(jī)變量：已知隨機(jī)變量 X X 的概率特性的概率特性 分布分布 函數(shù)函數(shù) 或密度函數(shù)（分布律）或密度函數(shù)（分布律）Y = g Y = g ( ( X X ) )求求 隨機(jī)因變量隨機(jī)因變量Y Y 的概率特性的概率特性方法方法：將與：將與 Y Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X X 的事件的事件為一元函數(shù)，那么為一元函數(shù)，那么Y = g Y = g ( ( X X ) )也是隨機(jī)變量，也是隨機(jī)變量，一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律第一節(jié)第一節(jié)、 一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其的分布一維隨機(jī)變量的函數(shù)及其的分布或或 Yg(X

2、)PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中其中g(shù)(xk)有相同的，其對應(yīng)概率合并。）有相同的，其對應(yīng)概率合并。）XPkY=g(X) kxxx21 kppp21 )()()(21kxgxgxg例例1 已知 X 的概率分布為X pk-1 0 1 221418181求 Y 1= 2X 1 與 Y 2= X 2 的分布律解解Y 1pi-3 -1 1 321418181Y 2pi1 0 1 421418181Y 2pi0 1 421838111,2k 0,1,kYkXYk12(,)XX例2 設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)定義隨機(jī)變量求的聯(lián)合分布律.的泊松分布，對解 依假設(shè)11()e0,1,2,!P Yiii（

3、）,12(0,0)(1,2)P XXP YY1(1)(0)(1)2eP YP YP Y，12(0,1)(1,2)0P XXP YY ，12(1,0)(1,2)P XXP YY11(12)(2)e2PYP Y，12(1,1)(1,2)P XXP YY(2)1(0)(1)(2)P YP YP YP Y 1111512ee1e .22 1 , 11 , 01YYX2 , 12 , 02YYX因此12(,)XX有聯(lián)合分布律：1X2X0 10 112e121e01251e2、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù) （1 1）一般方法）一般方法 若若X X f(x), -f(x), -

4、 x + x0時(shí)， t tT TP PF F( (t t) ) t tT TP P1 1 =1- 在在t t時(shí)刻之前無汽車過橋時(shí)刻之前無汽車過橋PXt01 te 1于是于是 000)( )(ttetFtft )(tPXt)!)()(tkektkXP第二節(jié)、第二節(jié)、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布律二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布律一、一、設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y），）， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, (X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj)pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或或 為一個(gè)二元

5、函數(shù)，則Z的分布律為),(yxgz ijjipyxgzP),(XY12120.20.10.30.4U 2 3 4 P 0.2 0.4 0.4V 1 2 P 0.2 0.8VU23120.2000.4400.4求（1）U=X+Y(2)V=max(X,Y)(3)(U,V)的聯(lián)合分布p(x,y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)UV233412220.20.30.10.4書例7：后面還會看到正態(tài)分布，二項(xiàng)分布也具有可加性)(iYXP)0,() 1, 1(), 0(YiXPiYXPiYXPijjiYjXP0),(ijjiYPjXP0)()()!(!21201jiejejiijjijjijjiji

6、ie021)()!( !21ijjijjiCie021)(!21!)()(2121iei所以 ,泊松分布具有可加性,)(21PYXX,Y相互獨(dú)立且服從 ，證明X+Y服從)(),(21PP)(21P二、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù)二、幾個(gè)常用函數(shù)的密度函數(shù) (1)和的分布和的分布 已知已知(X, Y)f(x, y), (x, y) R2, 求求ZXY的密度。的密度。 ( )(, )( ,).Zfzf zy y dyf x zx dx或z x+y=z x+y z 若若X X與與Y Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則Z ZX XY Y的密度函數(shù)的密度函數(shù) .dx)xz(f )x(fdy)y(f )yz(f)z(f

7、YXYXZ 或zYXzdxdyyxfzYXPzZPzF),()()()( zzyuxyzdudyyyufdudyyyufdxdyyxf),(),(),(此式為卷積公式此式為卷積公式1111例 X,Y相互獨(dú)立且同時(shí)服從0,1上的均勻分布,求Z=X+Y的密度函數(shù)其他 , 010 , 10 , 1),(yxyxf解 聯(lián)合密度函數(shù)為0)(, 0zFz當(dāng)zYXdxdyyxfzFz),()(, 10當(dāng)yzzzdxdy02021當(dāng), 21 zzYXdxdyyxfzF),()(11111yzzdxdy1222zz密度函數(shù)的間斷點(diǎn)將z分為), 2),2 , 1 ),1 , 0 ,0 ,2z , 121 , 12

8、21z0 ,20 , 0)( 22zzzzzzF其他 , 02z1 ,210 ,)(zzzzf所求密度函數(shù)為),(21)(22xexfxX所以由卷積公式得所以由卷積公式得Z=X+Y概率密度為概率密度為 解解因?yàn)橐驗(yàn)閄,Y獨(dú)立且其概率密度分別為獨(dú)立且其概率密度分別為dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221【書例8】),(21)(22yeyfyY1、z在在(-,+)上取值上取值;2、x在在(-,+)上積分上積分;3、考慮被積函數(shù)的非零區(qū)域、考慮被積函數(shù)的非零區(qū)域;4、在、在xoz系中綜合上述各點(diǎn)確系中綜合上述各點(diǎn)確定定z的分段情形的分段情形.dxeezxz22)2(421

9、4221ze2zxtdteetz2242122)2(2221ze所以所以ZN(0,2). ).(z例 ，則 222211,NYNX122121,NYX, 0,100,5010)(其它tttf 解解因?yàn)橐驗(yàn)閄,Y獨(dú)立獨(dú)立,所以所以和分布和分布概率密度可由概率密度可由卷卷積公式積公式計(jì)算計(jì)算:dxxzfxfzfYXZ)()()( 計(jì)算積分計(jì)算積分思路思路:1.被積函數(shù)非零區(qū)域被積函數(shù)非零區(qū)域;2. z取任意實(shí)取任意實(shí)數(shù)數(shù);3.x在在(-,+)上積分上積分;4.綜合上述就綜合上述就z分段分段.【例】(典型題), 0,100,5010)(其它xxxfX例2-續(xù)1 由邊緣概率密度確定由邊緣概率密度確定

10、的表達(dá)式的表達(dá)式,特別是其非零區(qū)域特別是其非零區(qū)域 : )()(xzfxfYX由題目條件得由題目條件得:, 0,100,50)(10)(其它xzxzxzfY, 010,100,50)(105010)()(其它其它xzxxxzxxzfxfYX故得故得: 計(jì)算卷積積分計(jì)算卷積積分: 函數(shù)自變量為函數(shù)自變量為z,積分變量為積分變量為x,當(dāng)當(dāng)z取值范圍確取值范圍確定后定后,x由由-積分至積分至+ (只需在非零區(qū)域內(nèi)一段上積只需在非零區(qū)域內(nèi)一段上積分分).zZdxxzxzf050105010)(zdxxzxz02)10100(25001100 z150006060032zzz例2-續(xù)22010 z101

11、050105010)(zZdxxzxzf15000)20(3z10102)10100(25001zdxxzxz200zz或或, 0)()( xzfxfYX因?yàn)橐驗(yàn)樗运? 0)(zfZ例2-續(xù)3.0,2010,15000)20(,100,1500060600)(332其它zzzzzzzfZ綜上可綜上可得得:例2-續(xù)4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互相互獨(dú)立獨(dú)立，其，其分布函數(shù)分布函數(shù)分別為分別為),max()(maxzYXPzMPzF)(),(yFxFYX 現(xiàn)求隨機(jī)變量現(xiàn)求隨機(jī)變量M=maxX,Y,N=minX,Y的的分布函數(shù)分布函數(shù). 由分布函數(shù)的定義得；由分布函數(shù)的定義得；,zYPzXP

12、zYzXP);()(zFzFYX1)(minzNPzNPzF,1),min(1zYzXPzYXP1 1 1zYPzXP1zYPzXP)(1 )(1 1zFzFYX)(1 )(1 1)()()()(minmaxzFzFzFzFzFzFYXYX 于是，于是，極大極大(小小)分布分布的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 特別特別,當(dāng)當(dāng)X,Y獨(dú)立且同分布時(shí)獨(dú)立且同分布時(shí),有有2min2max)(1 1)()()(zFzFzFzF 上述結(jié)果可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量情形上述結(jié)果可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量情形.例例 一設(shè)備開機(jī)后無故障工作時(shí)間X服從參數(shù)0.2的指數(shù)分布，設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動關(guān)機(jī)；而在無故障情況下，工作

13、2小時(shí)便關(guān)機(jī)，試求該設(shè)備每次開機(jī)后，觀察到的無故障工作時(shí)間Y的分布函數(shù).,2,2,2,XXYXmin,2YX 解 依假設(shè)即.( )()0YF yP Yy0y 當(dāng)時(shí)， 時(shí)， 當(dāng)20 y)()(yYPyFy)2 ,(min(yXP)2,(min(1yXP)(1yXP)(yXPyxdxe02 . 02 . 0ye2 . 01當(dāng)2y1)(yFy02 . 012 . 0dxex0.200( )1 e0212.yYyFyyy，Y的分布函數(shù)為1max(, ),min(, )UX Y VX Y1 e0( )00 xXxFxx ，；00( )0111.YyFyyyy，例例 設(shè)X與Y獨(dú)立，X服從參數(shù)的指數(shù)分布，Y

14、服從區(qū)間（0，1）上均勻分布。.解解 依假設(shè) X有分布函數(shù) Y有分布函數(shù)，分別求U,V的密度函數(shù)( )()UF uP Uu(max,)( )( )XYPX YuFu F u0,0,(1 e) ,01,1 e ,1;uuuuuu( )()VF vP Vv(min,)1 (1( )(1( )XYPX YvFvF v 0,0,1 (1)e ,01,1,1.vvvvv 思考題思考題1A 0B 1C 2D 3答案答案 B,Z=0間斷間斷設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),Y的概率密度為 ，記 為隨機(jī)變量Z=XY 的分布函數(shù)，則 的間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 21) 1()0(YpYP)(zF

15、z)(zFz2)()(, 0 xzFzz2)(1)(, 0 xzFzz思考題思考題2設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為其他 , 030 ,9)(2xxxf令隨機(jī)變量2 , 1 2X1 ,1 , 2XXXY（1）求Y的分布函數(shù)（2） 求概率)(YXP)()(, 21yYPyFy)21 ,() 1(YyYPYP)1 ()2(yXPXPydxxdxx12322992 , 121 ,2719271 , 0)(3yyyyyFy)21 () 1()(XPXPYXP278思考題思考題3答案 A設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且X的分布函數(shù)為F(x),則Z=max(X,Y)的分布函數(shù)為)( 2xFA)()( yFxFB2)(-(1-1 xFC)(1)(-(1 yFxFD思考題思考題4（1）設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且X的概率分布為 ，Y的概率密度函數(shù)為 ，記Z=X+Y ) 1 , 0 , 1( ,31iiXP 其他, 010 , 1yyfy(1) 求021XZP（2）求Z的概率密