食堂排隊(duì)分析的數(shù)學(xué)模型 課程感受

1、 食堂排隊(duì)分析的數(shù)學(xué)模型吳佳平（數(shù)學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué) 31090519）在學(xué)校里，我們常常可以看到這樣的情景：下課后，許多同學(xué)爭相跑向食堂去買飯，小小的賣飯窗口前沒過幾分鐘便排成了長長的隊(duì)伍，本來空蕩蕩的食堂也立即變得擁擠不堪。饑腸漉漉的同學(xué)們見到這種長蛇陣，怎能不怨聲載道。增加窗口數(shù)量，減少排隊(duì)等待時(shí)間，是學(xué)生們十分關(guān)心的問題。然而就食堂的角度來說，雖說增加窗口數(shù)量可以減少排隊(duì)等待時(shí)間，提高學(xué)生對該食堂的滿意度，從而贏得更多的學(xué)生到該食堂就餐，但是同時(shí)也會(huì)增加食堂的運(yùn)營成本，因此如何在這兩者之間進(jìn)行權(quán)衡，找到最佳的窗口數(shù)量，對學(xué)生和食堂雙方來說都是很重要的。摘要 1、首先，我們分析調(diào)查到

2、的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生流符合泊松分布，服務(wù)時(shí)間符合指數(shù)分布，由此我們的模型就變成了排隊(duì)論中典型的mmn模型，根據(jù)mmn模型中的各效率指標(biāo)的公式，我們可得到學(xué)一食堂擁擠情況的各方面數(shù)據(jù)。 2、根據(jù)模型求解得到的數(shù)據(jù)，我們對模型進(jìn)行了更精確的量化分析。我們發(fā)現(xiàn)，解決本模型的關(guān)鍵就在于分析顧客平均排隊(duì)時(shí)間，我們對其與窗口數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了擬合，并就兩者之間關(guān)系進(jìn)行了靈敏度分析。 3、針對窗口數(shù)與顧客平均排隊(duì)時(shí)間之間的關(guān)系，我們從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度進(jìn)行了分析，即比較增加窗口后成本的增加量與減少排隊(duì)等待時(shí)間所帶來的收益之間的大小關(guān)系，最后得出學(xué)一食堂設(shè)置7個(gè)窗口最為合理。進(jìn)一步，我們結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的寡頭競爭原理，分析

3、了現(xiàn)在6個(gè)窗口設(shè)置的原因。 關(guān)鍵詞 排隊(duì)論 mmn模型 靈敏度 等待損失 模型的建立與分析 由于周六周日學(xué)校沒課，故學(xué)生去食堂的時(shí)間較為分散，很少發(fā)生排長隊(duì)的現(xiàn)象，我們在此就不做分析了。我們僅就周一至周五的食堂擁擠情況進(jìn)行分析。觀察發(fā)現(xiàn)，一般打到飯的同學(xué)都能找到座位吃飯，故我們可認(rèn)為，食堂里的座位數(shù)是足夠的，無需添加新的桌椅。所以解決食堂擁擠狀況，主要是解決排長隊(duì)的問題。我們將就此問題建立模型，進(jìn)行分析。 調(diào)查數(shù)據(jù) 我們統(tǒng)計(jì)了從6月6日到6月10日（周一到周五）12：05至12：25高峰期學(xué)莘子園的學(xué)生流分布情況：共統(tǒng)計(jì)了3059人次的數(shù)據(jù)，見下表： 表一 每10秒到達(dá)人數(shù) 1 2 3 4 5

4、 7 頻數(shù) 257 441 894 956 350 161 由概率論的知識(shí)可知，若分布滿足，則該分布為泊松分布。（其中為泊松分布的密度，為泊松分布的參數(shù)） 由上表可得=3.39。經(jīng)檢驗(yàn)，該分布近似于泊松分布。雖然我們僅僅調(diào)查了一周的數(shù)據(jù)，但考慮到學(xué)生到食堂就餐具有較大的穩(wěn)定性，所以認(rèn)為調(diào)查的數(shù)據(jù)還是較為可靠的。另外在非高峰時(shí)段很少發(fā)生排隊(duì)現(xiàn)象，故在此我們也不做分析。 模型假設(shè) 1、由于學(xué)校學(xué)生多，而食堂少，在中午時(shí)段，學(xué)生又大都集中在12：05至12：25這一時(shí)間段趕去食堂吃飯，故我們可認(rèn)為在該時(shí)間段中學(xué)生源是無限的，且學(xué)生單獨(dú)到來且相互獨(dú)立。 2、學(xué)生對菜色沒有特別偏好，每個(gè)窗口對學(xué)生來說都

5、是一樣的。 3、食堂實(shí)行先來先服務(wù)原則，且學(xué)生可自由在隊(duì)列間進(jìn)行轉(zhuǎn)移，并總向較短的隊(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)移，沒有學(xué)生會(huì)因?yàn)殛?duì)列過長而離去，故可認(rèn)為排隊(duì)方式是單一隊(duì)列等待制。 4、食堂共有6個(gè)窗口，經(jīng)我們觀察可發(fā)現(xiàn)，每個(gè)窗口服務(wù)員的工作效率是隨機(jī)的，很難對其進(jìn)行精確的分析。所以我們由一般統(tǒng)計(jì)規(guī)律，認(rèn)為其滿足指數(shù)分布，平均每個(gè)學(xué)生的服務(wù)時(shí)間是15秒，且服務(wù)員之間無差異。 5、以10秒為一個(gè)時(shí)間單位。 模型建立 基于以上的假設(shè)，我們的模型符合排隊(duì)論中的多通道等待模型（m/m/n）。該模型的特點(diǎn)是：服務(wù)系統(tǒng)中有n個(gè)服務(wù)員，顧客按泊松流來到服務(wù)系統(tǒng)，到達(dá)強(qiáng)度為；服務(wù)員的能力都是，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，如

6、果所有服務(wù)員都忙著，顧客便參加排隊(duì)，等待服務(wù)，一直等到有服務(wù)員為他服務(wù)為止。 這個(gè)系統(tǒng)的效率指標(biāo)有： 顧客到達(dá)強(qiáng)度 每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間 服務(wù)員能力系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度，即平均每單位時(shí)間中系統(tǒng)可以為顧客服務(wù)的時(shí)間比例 空閑概率系統(tǒng)中排隊(duì)顧客的平均數(shù)：顧客平均排隊(duì)時(shí)間：顧客平均逗留時(shí)間：系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)：模型求解 由我們調(diào)查的數(shù)據(jù)可知=3.39，=1.5，n=6，代入以上各式可得： 服務(wù)員能力=0.67，系統(tǒng)服務(wù)強(qiáng)度=5.09，因?yàn)?所以極限存在。 空閑概率：=0.031 系統(tǒng)中排隊(duì)顧客的平均數(shù)：=27 顧客平均排隊(duì)時(shí)間：=7.96 顧客平均逗留時(shí)間：=9.46 系統(tǒng)中顧客的平均數(shù)：=32.09 由

7、此可見，當(dāng)我們中午在12：05至12：25這個(gè)時(shí)間段去莘子園吃飯時(shí)，一進(jìn)門就會(huì)發(fā)現(xiàn)里面已經(jīng)人滿為患，幾乎不可能找到空閑的窗口。而且，已經(jīng)有32個(gè)同學(xué)正在排隊(duì)買飯。27個(gè)人正在排隊(duì)等待，平均一個(gè)窗口5人。當(dāng)我們開始排隊(duì)時(shí)，要過80秒鐘才輪到我們，要過95秒鐘我們才能吃上可口的飯菜，來填飽我們的肚子。為了檢驗(yàn)我們的數(shù)據(jù)與事實(shí)相符，我們特地親身體驗(yàn)了一番，下表是我們的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 表二 時(shí)間 6月13日12：14 6月14日12：106月15日12：126月16日12：10排隊(duì)等待人數(shù) 4 5 4 6 排隊(duì)等待時(shí)間 80 85 70 75 模型分析 對于學(xué)生來說，中午的時(shí)間是很有限的（12點(diǎn)下課，1點(diǎn)

8、上課），能盡快吃上飯對我們來說是很重要的。同時(shí)，學(xué)生在食堂排隊(duì)的平均逗留時(shí)間w0很大程度上可以決定學(xué)生對食堂的選擇，所以食堂工作人員也希望能盡可能的滿足學(xué)生的需求。研究學(xué)生平均逗留時(shí)間w0，將是解決本模型的關(guān)鍵所在。平均逗留時(shí)間w0是由平均排隊(duì)時(shí)間w和平均服務(wù)時(shí)間組成。我們認(rèn)為15秒的平均服務(wù)時(shí)間對于服務(wù)員來說已經(jīng)是極限了，如果再加快速度反而可能手忙腳亂，增大出錯(cuò)的可能性，到時(shí)反而會(huì)降低效率，故我們認(rèn)為平均服務(wù)時(shí)間t不可改變，是個(gè)常數(shù)。至于平均排隊(duì)時(shí)間w，我們由公式可知它是由顧客到達(dá)強(qiáng)度，每個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間和窗口數(shù)n來決定的，由于學(xué)生對于食堂的選擇都有一定的偏好，即一般都會(huì)去同一個(gè)食堂吃飯

9、，所以我們可以認(rèn)為學(xué)生流是穩(wěn)定的，即為常數(shù)，由上面的分析又可知t也是常數(shù)，因此能對平均排隊(duì)時(shí)間構(gòu)成影響的就只有窗口數(shù)n了，下面我們將就n的取值對w的影響進(jìn)行分析： 由matlab我們可以得到它們兩者之間的散點(diǎn)圖：散點(diǎn)圖： 注：在上圖中我們把w的單位改成了秒。 從圖中可看出我們各點(diǎn)之間的變化規(guī)律較為平穩(wěn)，所以我們有可能用多次多項(xiàng)式將其擬合，所以我們又用matlab對其進(jìn)行了三次多項(xiàng)式的擬合，從而得到了它們的擬合圖： 擬合圖： 它們之間的二次多項(xiàng)式關(guān)系式是： 從圖中可以看出，隨著窗口數(shù)的增加，平均排隊(duì)等待時(shí)間急劇減少，當(dāng)窗口數(shù)達(dá)到5以后時(shí)，變化趨于平緩。從擬合圖中，我們只能看出窗口數(shù)與平均排隊(duì)等待

10、時(shí)間的大致關(guān)系，為了得到更精確的分析，我們將用靈敏度的觀點(diǎn)進(jìn)行討論。 由于窗口數(shù)n只能是整數(shù)，我們得到如下表的對應(yīng)關(guān)系： 表三（單位：秒） 窗口數(shù)n 6 7 8 9 10 平均排隊(duì)時(shí)間w 27 5.23 1.64 0.58 0.21 下面我們分析平均排隊(duì)時(shí)間對窗口數(shù)的靈敏度： 靈敏度=由此我們可得不同的窗口數(shù)n下的靈敏度： 表四 窗口數(shù)n 6 7 8 9 10 靈敏度 0 29.13 17.51 16.45 17.62 由此可見，平均排隊(duì)時(shí)間w對窗口數(shù)十分敏感，均達(dá)到了16以上，其中以窗口數(shù)從6變成7時(shí)尤為明顯，其平均排隊(duì)時(shí)間由27秒變?yōu)?.23秒。而其他幾種情況雖也很敏感，但是平均排隊(duì)時(shí)間變

11、化的絕對值很小，大小不超過4秒鐘。 窗口數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì) 從以上的靈敏度分析可知，當(dāng)窗口數(shù)超過7時(shí)，即使增加再多的窗口，其平均排隊(duì)時(shí)間變化的絕對值大小也只在5秒左右，而這么小的時(shí)間間隔我們認(rèn)為對學(xué)生是不會(huì)造成什么影響的。但是增加窗口會(huì)給食堂帶來巨大的成本壓力，他們自然也不可能增加。至于小于6個(gè) 窗口時(shí)，從圖中可看出，平均排隊(duì)時(shí)間會(huì)大大增加，這會(huì)引起學(xué)生的極大不滿，造成學(xué)生的大量流失，當(dāng)然也是不合理的。至此，我們可看出，最佳的窗口設(shè)置是6個(gè)或7個(gè)。 對于學(xué)生方面來說，當(dāng)然是排隊(duì)等待時(shí)間越短越好，即7個(gè)窗口比6個(gè)好。對于食堂方面來說，窗口數(shù)的增加一方面會(huì)導(dǎo)致成本的增加，另一方面會(huì)縮短排隊(duì)時(shí)間，即意味著

12、它能為更多學(xué)生服務(wù)，所以它是否會(huì)增加窗口數(shù)就取決于成本和收益的大小關(guān)系。 一般來說，每增加一個(gè)窗口，需要多配備三名服務(wù)人員以及一些配套的設(shè)施。所以增加窗口數(shù)所帶來的成本等于新增服務(wù)人員的工資加上配套設(shè)施的維修與清洗費(fèi)。新增窗口得到的收益是很難估量的。在此我們引入等待損失的概念，即由于排隊(duì)等待食堂所減少的收益。如食堂每分鐘可得收益a元，但是由于隊(duì)列過長，顧客不得不排隊(duì)等待服務(wù)，這意味著食堂無法及時(shí)為這些顧客服務(wù)，每等待1分鐘，食堂就損失a元。所以我們得到等待損失等于食堂單位時(shí)間收益乘以平均等待時(shí)間乘以顧客數(shù)。 我們調(diào)查得知北京市餐飲行業(yè)服務(wù)人員的每月平均工資為700元，即每周平均175元。至于配

13、套設(shè)施的維修與清洗，我們可大致認(rèn)為其每周不超過300元。由此可知每增加一個(gè)窗口，食堂的成本就得增加825元。 至于食堂從每個(gè)學(xué)生身上可獲得多少利潤，因?yàn)閷W(xué)生要的菜不同，而且菜的利潤也不同，所以是很難確定的，故我們由一般規(guī)律假定其每十秒鐘可得0.5元利潤。所以，學(xué)生因等待而使食堂發(fā)生的損失，q=0.33059w，當(dāng)窗口數(shù)從6變?yōu)?時(shí)，食堂可少損失q=0.13059w=0.53059(2.7-0.523)=3329.72元。由此可知最佳的窗口數(shù)為7。 然而事實(shí)是學(xué)一食堂的窗口數(shù)是6，在這么長的實(shí)踐時(shí)間里，難道是食堂人員沒有發(fā)覺當(dāng)窗口數(shù)增加到7時(shí)，其利潤會(huì)更多嗎？還是有其它原因呢？其實(shí)從理論上來講，

14、單從一個(gè)食堂來講，7個(gè)窗口是最合適的。但是事實(shí)上由于整個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)是一定的，故我們的假設(shè)中的第一條，學(xué)生源是無限的是不太合理的。當(dāng)莘子園增加窗口時(shí)，必然會(huì)奪走其它食堂的學(xué)生，因此其它食堂也一定會(huì)同樣增加窗口，使學(xué)生在各食堂間進(jìn)行從新分配，最后達(dá)到新的平衡。可能到頭來，雖說莘子園減少了平均排隊(duì)等待時(shí)間，但學(xué)生并沒有增加多少，利潤也沒多大變化，這是得不償失的。所以學(xué)校食堂之間的競爭有些類似于經(jīng)濟(jì)學(xué)中寡頭的競爭，他們?yōu)榱司鹑∽畲蟮睦麧?，彼此之間達(dá)成了某種默契，把實(shí)際價(jià)格定得比理論價(jià)格要高。反映在我們食堂的窗口數(shù)設(shè)置上，就是莘子園選擇了6個(gè)窗口，而不是7個(gè)窗口。我們認(rèn)為學(xué)校食堂應(yīng)以為學(xué)生服務(wù)為宗旨

15、，不應(yīng)只看重經(jīng)濟(jì)利益，所以強(qiáng)烈建議莘子園增設(shè)一個(gè)窗口，以滿足學(xué)生的需求。 附錄 在計(jì)算系統(tǒng)中各效率指標(biāo)和進(jìn)行擬合時(shí)，我們用到了matlab，其程序如下： 計(jì)算空閑概率p0和系統(tǒng)中排隊(duì)顧客的平均數(shù)l： 主程序： a=3.39; b=1.5; n=6 7 8 9 10; p=a*b; p0=f(n,p); l=f1(n,p,p0); m文件f.m function p0=f(n,p) for k=1:5 sum=1;a=1; for i=1:n(k) for j=1:i a=a*j; end sum=sum+pi/a; end p0(k)=(sum+p(n(k)+1)/(a*(n(k)-p)(-1

16、) end m文件f1.m function l=f1(n,p,p0) for k=1:5 a=1; for i=1:n(k) a=a*i; end l(k)=p(n(k)+1)*p0(k)/(n(k)*a*(1-p/n(k)2) end 進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合： w=l/a; plot(n,10.*w,*r) k3=polyfit(n,10*w,3); y3=polyval(k3,n); x=4:0.1:10; y3=polyval(k3,x); plot(n,10*w,*r,x,y3,b) 課程感受1. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是利用計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以數(shù)學(xué)理論作為實(shí)驗(yàn)依據(jù)，以數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型作為實(shí)驗(yàn)對象，以計(jì)算機(jī)程序?yàn)閷?shí)驗(yàn)手段，以數(shù)值計(jì)算、符號(hào)演算和圖形演示等為實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，以實(shí)例分析、模擬仿真、歸納總結(jié)等為主要實(shí)驗(yàn)方法，以輔助學(xué)數(shù)學(xué)、輔助用數(shù)學(xué)和輔助做數(shù)學(xué)為實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，由于計(jì)算機(jī)的引入和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)包的應(yīng)用，為數(shù)學(xué)的思想與方法注入了更多、更廣泛的內(nèi)容，使學(xué)生擺脫了繁重的乏味的數(shù)學(xué)演算和數(shù)值計(jì)算，促