初中數(shù)學(xué)與整數(shù)有關(guān)的含參數(shù)一元二次方程的解法

1、初中數(shù)學(xué)與整數(shù)有關(guān)的含參數(shù)一元二次方程的解法 對(duì)于一個(gè)含參數(shù)的一元二次方程來(lái)說(shuō)，要判斷它是否有整數(shù)根或有理根，基本依據(jù)是判別式，而必須具體問(wèn)題具體分析。這里經(jīng)常要用到一些整除性質(zhì)。一元二次方程的整數(shù)解歷來(lái)是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，題型多變、難度大是這類問(wèn)題的特點(diǎn)。但其解法仍然是有章可循的。一、巧用求根公式法例1、試確定m為何值時(shí)，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x720有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根。解：首先，m2-10，則m1又=36(m-3)20，所以m3用求根公式可得 x1，x2是正整數(shù)， m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。解得m=2這時(shí)x1=6，x2=4。評(píng)析：

2、一般來(lái)說(shuō)，利用求根公式可以先把方程的根求出來(lái)，然后利用整數(shù)的性質(zhì)以及整除性理論，就比較容易求解問(wèn)題，這是最自然、最常規(guī)的解法。二、巧用因式分解法例2、已知方程a2x2 - ( 3a2- 8a )x + 2a2-13a +15 = 0（其中a是非負(fù)整數(shù)）至少有一個(gè)整數(shù)根，求a的值。.分析：觀察本題方程，可先用因式分解法將原方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不定方程ax2a +3=0和axa + 5 =0，然后利用整除的知識(shí)，求出非負(fù)整數(shù)a的值。解：原方程可化為： a2x2(3a28a)x(2a3)(a5)0方程左邊分解因式,得 (ax2a3)(axa5)0 原方程至少有一個(gè)整數(shù)根， a的值為3，或5，或1。例3、當(dāng)

3、k為何整數(shù)時(shí)，關(guān)于x的二次方程x23kx+2k26=0兩根都為整數(shù)。分析：利用因式分解法將原方程轉(zhuǎn)化為多個(gè)不定方程，然后利用整除的知識(shí)，求出整數(shù)k的值.解：由x23kx+2k26=0，得 (x-2k)(x-k) = 6 x、k為整數(shù)， 原方程化為 或 或 或 由于x2k與xk同號(hào)，故得八個(gè)不定方程組，解得k =1，1，5，5。評(píng)析：利用因式分解可以把原方程進(jìn)行完全分解或部分分解，轉(zhuǎn)化成幾個(gè)不定方程，然后利用整數(shù)的性質(zhì)可以來(lái)解決。三、巧用判別式來(lái)解決例4、設(shè)m是不為零的整數(shù)，關(guān)于x的二次方程mx2-(m-1)x10有有理根，試求m的值解：一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程有有理根，那么它的判別式一定是完全

4、平方數(shù)令 =(m-1)2-4mn2，其中n是非負(fù)整數(shù)，于是可得 m2-6m+1=n2， (m-3)2-n2=8， 即 (m-3n)(m-3-n)8由于m-3nm-3-n，并且(m-3n)+(m-3-n)=2(m-3) 是偶數(shù)， m-3n與m-3-n同奇偶， 或 或 （舍去）所以當(dāng)時(shí)，這是方程的兩根為和。評(píng)析：一個(gè)整系數(shù)的一元二次方程如果有整數(shù)根或有理根，那么它的判別式一定是完全平方數(shù)，然后利用平方數(shù)的性質(zhì)、解不定方程等手段可以將問(wèn)題解決四、巧用求根公式與判別式的結(jié)合來(lái)解決例5、試求所有這樣的正整數(shù)a，使得方程ax2-2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個(gè)整數(shù)解。解：首先要使=-2(2a-

5、1)2-4a4(a-3)=32a+4是一個(gè)完全平方數(shù) 32a+4=22(8a+1)， 8a+1必須是完全平方數(shù)。 8a+1是奇數(shù)， 設(shè)8a+1=(2k-1) 2,k是整數(shù) 則 a0， k1或k1或k1或k0不符，舍去 k=5,3,2,-3,-1 對(duì)應(yīng)的a=10,3,1,6,1。 當(dāng)a=1,3,6,10時(shí)，方程ax2-2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一個(gè)整數(shù)解。例6、關(guān)于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一個(gè)整數(shù)解，且a是整數(shù)，求a的值解：當(dāng)a=0時(shí)，原方程變成-6x-2=0，無(wú)整數(shù)解當(dāng)a0時(shí)，方程是一元二次方程，它至少有一個(gè)整數(shù)根，說(shuō)明判別式4(a-3)2-4a(a-

6、2)4(9-4a)為完全平方數(shù)，從而9-4a是完全平方數(shù)令9-4a=n2，則n是正奇數(shù)，且n 3（否則a = 0） 又由求根公式可得 要使x1為整數(shù)，而n為正奇數(shù)，只能n=1，從而a=2要使x2為整數(shù)，即n-34，n可取1，5，7，從而a=2，-4，-10 綜上所述，a的值為2，-4，-10評(píng)析：本題是前面兩種方法的“綜合”既要用判別式是平方數(shù)，又要用直接求根有時(shí)候，往往是幾種方法一同使用五、巧用韋達(dá)定理法例7、已知關(guān)于x的方程x2(a-6)xa=0的兩根都是整數(shù)，求a的值解：設(shè)兩個(gè)根為x1，x2，不妨設(shè)x1 x2，由韋達(dá)定理得從上面兩式中消去a得：x1x2+x1+x26，即 (x11)(x2

7、+1)=7， 或 可解得 或a = x1x2 = 0或16例8、求所有有理數(shù)r，使得方程rx2+(r+1)x(r-1)=0的所有根是整數(shù)。分析：首先對(duì)r=0和r0進(jìn)行討論當(dāng)r=0時(shí)，是關(guān)于x的一次方程；當(dāng)r0時(shí)，是關(guān)于x的二次方程，由于r是有理數(shù)，處理起來(lái)有些困難，這時(shí)用直接求根或用判別式來(lái)做，均不能奏效可用韋達(dá)定理，先把這個(gè)有理數(shù)r消去解：當(dāng)r=0時(shí)，原方程為x-1=0，則可得 x=1當(dāng)r0時(shí)，原方程是關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)它的兩個(gè)整數(shù)根為x1，x2，且x1x2，則消去r得 x1x2-x1-x22， (x1-1)(x2-1)=3或 可解得 或綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程的所以根都是整數(shù)。評(píng)析：利用

8、韋達(dá)定理，結(jié)合整數(shù)的性質(zhì)，確定因數(shù)，求得參數(shù)的值；或者把參數(shù)消去，得到的是關(guān)于x1，x2的不定方程，而求解這個(gè)對(duì)稱的不定方程往往是容易入手的六、巧用主元分析法例9、已知方程x2(m1)x2m10的兩個(gè)根都是整數(shù)，求m的整數(shù)值。分析：本題待定字母m是整數(shù)，且指數(shù)為一次，可把原方程整理成關(guān)于m的一次方程。通過(guò)對(duì)方程解的整數(shù)分析即可獲得結(jié)論。解：原方程可化為關(guān)于m的一次方程：(x2)mx2x-10 因?yàn)閤，m都是整數(shù)，所以 x21 或1 即 x1或x3代入求得相應(yīng)的m=1或5故當(dāng)m=1或m=5時(shí)，方程的兩根均為整數(shù)。評(píng)析：從解題過(guò)程中知，當(dāng)關(guān)于x的一元二次方程中，如果參數(shù)是一次的，可以先對(duì)這個(gè)參數(shù)來(lái)

9、求解。對(duì)所求的解如果能分離整數(shù)部分，則先分離整數(shù)部分，再利用整數(shù)的性質(zhì)解決；或者借助不等式（組）和整數(shù)的性質(zhì)也可以求解。七、巧用方程之間關(guān)系法例10、已知方程各有兩個(gè)整數(shù)根， 和且0 ，0 。 (1)求證：x10,x20,x|10,x|20；(2)求證：b-1cb1；(3)求b，c的所有可能的值解：(1) 由x1x2 0知，x1 與x2 同號(hào)若x1 0，則x2 0，這時(shí)，b 0；與矛盾，；同理可證 (2) 由(1)知，x10，x20，所以x1-1，x2-1由韋達(dá)定理可得 cb-1同理 cb+1， b-1cb+1(3) 由(2)可知，b與c的關(guān)系有如下三種情況： 當(dāng)c = b1時(shí)，由韋達(dá)定理知 , 解得 ， b = 5 ，c = 6 當(dāng)c = b時(shí)，由韋達(dá)定理知 ，從而b = 4，c = 4 當(dāng)c = b1時(shí)，由韋達(dá)定理知 綜上所述，共有三組解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)評(píng)析：在解決多個(gè)方程有關(guān)的一些競(jìng)賽題時(shí)，除了要考慮到每個(gè)方程中本身所具有的有關(guān)條