B_6_1_6.1-代數(shù)系統(tǒng)

1、主講教師主講教師 董旭初董旭初七七格與布爾代數(shù)六六群、環(huán)、域抽象代數(shù)Abstract algebraIn algebra, which is a broad division of mathematics, abstract algebra (occasionally called modern algebra) is the study of algebraic structures. Algebraic structures include groups, rings, fields, modules, vector spaces, lattices, and algebra over a

2、 field. The term abstract algebra was coined in the early 20th century to distinguish this area of study from the other parts of algebra. -Quoted from WIKIPEDIAAbstract algebraThe permutations of Rubiks Cube have a group structure; the group is a fundamental concept within abstract algebra. - Quoted

3、 from WIKIPEDIA ”The notion of a group, viewed only 30 years ago as the epitome of sophistication, is today one of the mathematical concepts most widely used in physics, chemistry, biochemistry, and mathematics itself.” - Alexey SosinskyAbstract algebra第六章 群、環(huán)、域 第六章 群、環(huán)、域6.1 代數(shù)系統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng)6.2 群的定義群的定義6.3

4、子群及其陪集子群及其陪集6.4 群的同態(tài)與同構(gòu)群的同態(tài)與同構(gòu)6.5 環(huán)環(huán)6.6 域的特征域的特征 素域素域6.7 多項(xiàng)式多項(xiàng)式6.8 有限域有限域一、一、代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)Abstraction & Generalization Abstraction: the process of formulating a concept of a common property by disregarding the differences between a number of particular instances . - Quoted from The

5、Harper Collins Dictionary of MathematicsAbstraction & Generalization Abstraction: the process of formulating a concept of a common property by disregarding the differences between a number of particular instances . - Quoted from The Harper Collins Dictionary of MathematicsAbstraction & Generalizatio

6、nGeneralization is the process to derive broader results from one or more particular cases. We can extend our reasoning beyond the range in which these results originated. 2+1=3+一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算1+2=3、2.3+（- -1.2）=1.1、有理數(shù)的有理數(shù)的+ +、集合的集合的、命題的命題的 、 、 a,bb,c=a,b,c、a,bb,c=b、a,bb,c=a、P P=1、P P=0 、一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算對(duì)

7、對(duì) a a、bQbQ，有，有 a a+b+bQQ、a ab bQQ。有理數(shù)的有理數(shù)的+ +、集合的集合的、命題的命題的 、 、 對(duì)對(duì) A A、BB (S)(S)，有，有 A AB B (S)(S)、A AB B (S)(S)、A AB B (S)(S)。對(duì)對(duì) G G、H0,P,H0,P, P,1P,1，有，有 G G H0,P,H0,P, P,1P,1、G G H0,P,H0,P, P,1P,1、 G0,P,G0,P, P,1P,1。一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算定義定義6.1.16.1.1 設(shè)設(shè)S S是一個(gè)是一個(gè)非空非空集合，將映射集合，將映射f f ：S SS SS S稱稱為為S S的一個(gè)二元代

8、數(shù)運(yùn)算。即對(duì)于的一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算。即對(duì)于S S中中任意任意兩個(gè)元素兩個(gè)元素a a、b b，通過(guò)，通過(guò)f f可唯一確定可唯一確定S S中中一個(gè)元素一個(gè)元素c c：f(a,b)=cf(a,b)=c。 若將二元代數(shù)運(yùn)算若將二元代數(shù)運(yùn)算f f記為記為* *，則將，則將f(a,b)=cf(a,b)=c記為記為a a* *b=cb=c。封閉性封閉性一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算( (* *) )例例1 1對(duì)于自然數(shù)集合對(duì)于自然數(shù)集合N N：加法加法、乘法乘法是二元是二元代數(shù)運(yùn)算，代數(shù)運(yùn)算，減法減法和和除法除法不是二元代數(shù)運(yùn)算。因?yàn)椋翰皇嵌鷶?shù)運(yùn)算。因?yàn)椋鹤匀粩?shù)自然數(shù)0 0不可以作除數(shù)。兩個(gè)自然數(shù)相減或不可以作

9、除數(shù)。兩個(gè)自然數(shù)相減或相除的結(jié)果未必是自然數(shù)。相除的結(jié)果未必是自然數(shù)。一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算( (* *) )例例2 2對(duì)于整數(shù)集合對(duì)于整數(shù)集合Z Z：加法加法、乘法乘法、減法減法是是二元代數(shù)運(yùn)算，二元代數(shù)運(yùn)算，除法除法不是二元代數(shù)運(yùn)算。因?yàn)椋翰皇嵌鷶?shù)運(yùn)算。因?yàn)椋赫麛?shù)整數(shù)0 0不可以作除數(shù)。兩個(gè)整數(shù)相除的結(jié)果不可以作除數(shù)。兩個(gè)整數(shù)相除的結(jié)果未必是整數(shù)。未必是整數(shù)。一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算( (* *) )例例3 3對(duì)于有理數(shù)集對(duì)于有理數(shù)集Q Q、實(shí)數(shù)集、實(shí)數(shù)集R R、復(fù)數(shù)集、復(fù)數(shù)集C C：加法加法、乘法乘法、減法減法是二元代數(shù)運(yùn)算，是二元代數(shù)運(yùn)算，除法除法不是這不是這些集合上的二元代數(shù)運(yùn)

10、算。些集合上的二元代數(shù)運(yùn)算。一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)C C 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)R R 有理數(shù)有理數(shù)Q Q 整數(shù)整數(shù)Z Z 自然數(shù)自然數(shù)N N+ 運(yùn)算運(yùn)算數(shù)系數(shù)系一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算( (* *) )例例4 4對(duì)于非零實(shí)數(shù)集對(duì)于非零實(shí)數(shù)集R R* *，乘法乘法、除法除法是是R R* *上的上的二元代數(shù)運(yùn)算；二元代數(shù)運(yùn)算；加法加法和和減法減法不是不是R R* *上的二元代數(shù)運(yùn)上的二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)非零實(shí)數(shù)相加或相減可能得算，因?yàn)閮蓚€(gè)非零實(shí)數(shù)相加或相減可能得0 0。一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算( (* *) )例例5 5 A=x|x=2A=x|x=2n n,n,n NN乘法乘法是是A A上的二元

11、代數(shù)運(yùn)算；上的二元代數(shù)運(yùn)算；加法加法不是不是A A上的二元代數(shù)運(yùn)算。上的二元代數(shù)運(yùn)算。一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算( (* *) )例例6 6實(shí)數(shù)矩陣的實(shí)數(shù)矩陣的加法加法和和乘法乘法是實(shí)矩陣集合上的是實(shí)矩陣集合上的二元代數(shù)運(yùn)算。二元代數(shù)運(yùn)算。( (* *) )例例7 7設(shè)設(shè)S S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，(S) (S) 是是S S的冪集，的冪集，則集合的則集合的交運(yùn)算交運(yùn)算、并運(yùn)算并運(yùn)算是是(S)(S)上的二元代數(shù)上的二元代數(shù)運(yùn)算。運(yùn)算。( (* *) )例例8 8邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞 、 、都是集合都是集合0,10,1上的二元代數(shù)運(yùn)算。上的二元代數(shù)運(yùn)算。一、代數(shù)運(yùn)算一、代數(shù)運(yùn)算（1）類似地

12、，可定義）類似地，可定義S上的上的n元代數(shù)運(yùn)算元代數(shù)運(yùn)算： Sn到到S的映射。的映射。 例如：邏輯聯(lián)結(jié)詞例如：邏輯聯(lián)結(jié)詞 是集合是集合0,1上的上的一元代數(shù)運(yùn)算。一元代數(shù)運(yùn)算。 矩陣求逆運(yùn)算不是實(shí)矩陣集合矩陣求逆運(yùn)算不是實(shí)矩陣集合上的代數(shù)運(yùn)算，但它是非奇異實(shí)矩陣集合上的代數(shù)運(yùn)算，但它是非奇異實(shí)矩陣集合上的一元代數(shù)運(yùn)算。上的一元代數(shù)運(yùn)算。（2）代數(shù)運(yùn)算）代數(shù)運(yùn)算f的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镾n、值域在、值域在S內(nèi)，內(nèi)，我們說(shuō)運(yùn)算我們說(shuō)運(yùn)算f對(duì)集合對(duì)集合S是是封閉封閉的。的。n元代數(shù)運(yùn)算必元代數(shù)運(yùn)算必須具有須具有封閉性封閉性二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律例例9有理數(shù)的加法和乘法有理數(shù)的加法和乘法，對(duì)，對(duì) a、b、

13、cQ，有：，有： a+(b+c)=(a+b)+c a+b=b+a a+b=a+c b=c b+a=c+a b=c ab=ba a(bc)=(ab)c ab=ac，a0 b=c ba=ca，a0 b=c a(b+c)=(ab)+(ac) (b+c)a=(ba)+(ca)加法結(jié)合律加法結(jié)合律加法交換律加法交換律加法消去律加法消去律乘法交換律乘法交換律乘法結(jié)合律乘法結(jié)合律乘法消去律乘法消去律乘法對(duì)加法的分配律乘法對(duì)加法的分配律二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律定義定義6.1.2 設(shè)設(shè) * * 是集合是集合S S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于于S S中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素a a、b b，等

14、式，等式 a a* *b=bb=b* *a a 都成立，都成立，則稱運(yùn)算則稱運(yùn)算“* *”滿足交換律。滿足交換律。二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律定義定義6.1.3 設(shè)設(shè) * * 是集合是集合S S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于于S S中任意三個(gè)元素中任意三個(gè)元素a a、b b、c c，等式，等式 (a(a* *b)b)* *c=ac=a* *(b(b* *c)c)都成立，則稱運(yùn)算都成立，則稱運(yùn)算“* *”滿足結(jié)合律。滿足結(jié)合律。二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律定義定義6.1.4 設(shè)設(shè) * * 是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，上的二元代數(shù)運(yùn)算，a是是S中的中的元素，如果元素，如果a* *a=a，則

15、稱，則稱a是關(guān)于運(yùn)算是關(guān)于運(yùn)算 * * 的冪等元。的冪等元。如果如果S中每個(gè)元素都是關(guān)于中每個(gè)元素都是關(guān)于 * * 的冪等元，則稱運(yùn)算的冪等元，則稱運(yùn)算“* *”滿足等冪律。滿足等冪律。二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律定義定義6.1.5 設(shè)設(shè)* *和和 + 是集合是集合S上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于如果對(duì)于S中任意三個(gè)元素中任意三個(gè)元素a、b、c，等式，等式a* *(b+c)=(a* *b)+(a* *c)，（左分配律），（左分配律）(b+c)* *a=(b* *a)+(c* *a)，（右分配律），（右分配律）都成立，則稱運(yùn)算都成立，則稱運(yùn)算 * * 對(duì)對(duì) + 滿足分配律。滿足分配

16、律。 二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律定義定義6.1.6 設(shè)設(shè) * * 和和 + 是集合是集合S上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于如果對(duì)于S中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素a、b，等式，等式 a* *( (a+b)=a， a+(a* *b)=a都成立，則稱運(yùn)算都成立，則稱運(yùn)算 * * 和和 + 滿足吸收律。滿足吸收律。二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律( (* *) )例例1010（1 1）對(duì)于整數(shù)集）對(duì)于整數(shù)集Z Z以及其上關(guān)于整數(shù)的加法、乘法、減法運(yùn)算來(lái)說(shuō)：以及其上關(guān)于整數(shù)的加法、乘法、減法運(yùn)算來(lái)說(shuō)： 加法、乘法都滿足結(jié)合律和交換律；加法、乘法都滿足結(jié)合律和交換律； 乘法對(duì)加法滿足分配律，但加法對(duì)乘法

17、不滿足分配律；乘法對(duì)加法滿足分配律，但加法對(duì)乘法不滿足分配律； 減法不滿足結(jié)合律，也不滿足交換律；減法不滿足結(jié)合律，也不滿足交換律； 加法、乘法、減法都不滿足等冪律，也不滿足吸收律。加法、乘法、減法都不滿足等冪律，也不滿足吸收律。（2 2）對(duì)于）對(duì)于n n階實(shí)矩陣集合以及其上關(guān)于矩陣的階實(shí)矩陣集合以及其上關(guān)于矩陣的加法、乘法運(yùn)算來(lái)說(shuō)加法、乘法運(yùn)算來(lái)說(shuō)： 加法滿足結(jié)合律，也滿足交換律；加法滿足結(jié)合律，也滿足交換律； 乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律；乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律； 加法、乘法都不滿足等冪律，也不滿足吸收律。加法、乘法都不滿足等冪律，也不滿足吸收律。（3 3）設(shè)）設(shè)S S是一個(gè)非空

18、集合，是一個(gè)非空集合，(S)(S)是是S S的冪集，則對(duì)的冪集，則對(duì)(S)(S)以及其上以及其上關(guān)于集合的交運(yùn)算關(guān)于集合的交運(yùn)算、并運(yùn)算、并運(yùn)算來(lái)說(shuō)：來(lái)說(shuō)： 、都滿足結(jié)合律，交換律；都滿足結(jié)合律，交換律； 對(duì)對(duì)、對(duì)對(duì)都滿足分配律；都滿足分配律； 、都滿足等冪律、吸收律。都滿足等冪律、吸收律。二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律定義定義6.1.7 設(shè)設(shè) * * 是集合是集合S S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對(duì)于于S S中任意三個(gè)元素中任意三個(gè)元素a a、b b、c c，（1 1）若）若 a a* *b=ab=a* *c c，則，則b=cb=c，（左消去律），（左消去律）（2 2）若）若 b b

19、* *a=ca=c* *a a，則，則b=cb=c，（右消去律），（右消去律）就稱就稱 * * 滿足消去律。滿足消去律。二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律( (* *) )例例1111（1 1）整數(shù)集合）整數(shù)集合Z Z上的加法滿足消去律，乘上的加法滿足消去律，乘法不滿足消去律。比如：法不滿足消去律。比如：3 30=50=50 3=50 3=5。（2 2）n(nn(n2)2)階實(shí)矩陣集合上的加法滿足消去律，階實(shí)矩陣集合上的加法滿足消去律，但乘法不滿足消去律，比如：但乘法不滿足消去律，比如： 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 = = = = 0 0

20、0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)定義定義6.1.8 設(shè)設(shè)S S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，f f1 1、f fm m是是S S 上上的若干代數(shù)運(yùn)算，把的若干代數(shù)運(yùn)算，把S S及其運(yùn)算及其運(yùn)算f f1 1、f fm m看成一看成一個(gè) 整 體 來(lái) 看 ， 叫 做 一 個(gè) 代 數(shù) 系 統(tǒng) ， 記 為 （個(gè) 整 體 來(lái) 看 ， 叫 做 一 個(gè) 代 數(shù) 系 統(tǒng) ， 記 為 （S,fS,f1 1,f,fm m）。）。三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)( (* *) )例例1212 設(shè)設(shè)Z Z為整數(shù)集，為整數(shù)集，Z Z0 0為偶數(shù)集，

21、為偶數(shù)集，N N為自然數(shù)集，為自然數(shù)集，+ +、是數(shù)的加法和乘法，則是數(shù)的加法和乘法，則 (Z,+)(Z,+)、(Z,(Z,) )、(Z,+,(Z,+,) )都是代數(shù)系統(tǒng)；都是代數(shù)系統(tǒng)； (Z(Z0 0,+),+)、(Z(Z0 0, ,) )、(Z(Z0 0,+,+,) )都是代數(shù)系統(tǒng)；都是代數(shù)系統(tǒng)； (N,+)(N,+)、(N,(N,) )、(N,+,(N,+,) )都是代數(shù)系統(tǒng)。都是代數(shù)系統(tǒng)。如果用如果用 、分別表示求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的、分別表示求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的運(yùn)算，那么運(yùn)算，那么 ( (Z Z0 0, , , ,) )、(Z,(Z, , ,) )也是代數(shù)系統(tǒng)。也是代數(shù)系統(tǒng)

22、。三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)( (* *) )例例1313設(shè)設(shè)S S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，(S)(S)是是S S的冪集，的冪集，、是是(S)(S)上的集合交運(yùn)算和并運(yùn)算，則上的集合交運(yùn)算和并運(yùn)算，則 (S),)(S),)是代數(shù)系統(tǒng)。是代數(shù)系統(tǒng)。( (* *) )例例1414設(shè)設(shè) 、 是真值集合是真值集合0,10,1上的合取、析上的合取、析取運(yùn)算取運(yùn)算，則，則 (0,1,(0,1, , , ) )是代數(shù)系統(tǒng)。是代數(shù)系統(tǒng)。三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng) 例例15有理數(shù)的加法和乘法有理數(shù)的加法和乘法，對(duì)，對(duì) aQ，有：，有： a+0=a a1=a三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)定義定義 設(shè)設(shè)* *是集合是

23、集合S S上的二元代數(shù)運(yùn)算，若存在上的二元代數(shù)運(yùn)算，若存在e el S S（或或e er S)S)使得對(duì)使得對(duì)S S中任意元素中任意元素a a都有都有e el* *a=a(a=a(或或a a* *e er=a)=a)，則稱則稱e el( (或或e er) )是是S S中關(guān)于中關(guān)于* *運(yùn)算的左（或右）單位元。運(yùn)算的左（或右）單位元。若若e e S S關(guān)于關(guān)于* *運(yùn)算既為左單位元又為右單位元，則稱運(yùn)算既為左單位元又為右單位元，則稱e e為為S S中關(guān)于中關(guān)于* *運(yùn)算的單位元。運(yùn)算的單位元。 單位元也叫壹元，常記為符號(hào)單位元也叫壹元，常記為符號(hào)1 1；左單位元、右；左單位元、右單位元也叫左壹、

24、右壹。單位元也叫左壹、右壹。三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng) 例例16有理數(shù)的加法和乘法有理數(shù)的加法和乘法，對(duì)，對(duì) aQ，有：，有： a0=0三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)定義定義 設(shè)設(shè)* *是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，若存在上的二元代數(shù)運(yùn)算，若存在 l S（或或 r S)使得對(duì)使得對(duì)S中任意元素中任意元素a都有都有 l* *a= l(或或a* * r= r)，則稱則稱 l（或（或 r)是是S中關(guān)于中關(guān)于*運(yùn)算的左（或右）零元。若運(yùn)算的左（或右）零元。若S關(guān)于關(guān)于* *運(yùn)算既為左零元又為右零元，則稱運(yùn)算既為左零元又為右零元，則稱 為為S中中關(guān)于關(guān)于* *運(yùn)算的零元。運(yùn)算的零元。二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律 例例

25、17有理數(shù)的加法和乘法有理數(shù)的加法和乘法，對(duì)，對(duì) aQ，有：，有： a+(-a)=0 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，aa-1=1三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)定義定義 設(shè)設(shè)* *是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，上的二元代數(shù)運(yùn)算，e S是是S中關(guān)于中關(guān)于* *運(yùn)算的單位元。運(yùn)算的單位元。 對(duì)于對(duì)于a S，若存在，若存在al S （或（或ar S)使使得得al* *a=e（或（或a* *ar=e），則稱），則稱al（或（或ar)是是a關(guān)于關(guān)于* *運(yùn)算運(yùn)算的左（或右）逆元。若的左（或右）逆元。若a-1 S既是既是a關(guān)于關(guān)于* *運(yùn)算的左逆運(yùn)算的左逆元又為右逆元，則稱元又為右逆元，則稱a-1是是a關(guān)于關(guān)于* *運(yùn)算的逆

26、元。運(yùn)算的逆元。三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)( (* *) )例例1818（1 1）對(duì)于整數(shù)集合）對(duì)于整數(shù)集合Z Z以及其上關(guān)于整數(shù)的加法、乘法來(lái)說(shuō)：以及其上關(guān)于整數(shù)的加法、乘法來(lái)說(shuō)：加法單位元是加法單位元是0 0，沒(méi)有加法零元，任何整數(shù)，沒(méi)有加法零元，任何整數(shù)a a的加法逆元為的加法逆元為-a-a；乘法單位元是乘法單位元是1 1，乘法零元是，乘法零元是0 0，1 1的乘法逆元為的乘法逆元為1 1，-1-1的乘法的乘法逆元為逆元為-1-1，其余整數(shù)無(wú)乘法逆元。，其余整數(shù)無(wú)乘法逆元。（2 2）對(duì)于）對(duì)于n n階（階（n n2)2)實(shí)數(shù)矩陣集合實(shí)數(shù)矩陣集合M Mn n(R)(R)以及其上關(guān)于矩陣加以及

27、其上關(guān)于矩陣加法、乘法來(lái)說(shuō)：法、乘法來(lái)說(shuō)：加法單位元是加法單位元是n n階全階全0 0矩陣，沒(méi)有加法零元，任何矩陣矩陣，沒(méi)有加法零元，任何矩陣M M的加法的加法逆元是逆元是-M -M ；乘法單位元是乘法單位元是n n階單位矩陣，乘法零元是階單位矩陣，乘法零元是n n階全階全0 0矩陣，只有可矩陣，只有可逆矩陣逆矩陣M M有乘法逆元有乘法逆元M M-1-1。三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)對(duì)于任一集合對(duì)于任一集合S S上的任意二元運(yùn)算上的任意二元運(yùn)算* *，可以證明：，可以證明：（1 1）若）若S S中存在關(guān)于中存在關(guān)于* *運(yùn)算的左單位元運(yùn)算的左單位元e el和右單位元和右單位元e er，則，則e e

28、l=e=er=e=e，且，且e e為為S S中唯一的中唯一的* *運(yùn)算運(yùn)算單位元單位元。（2 2）若若S中存在關(guān)于中存在關(guān)于* *運(yùn)算的左零元運(yùn)算的左零元 l和右零元和右零元 r，則，則 l= r= ，且且 為為S中唯一的中唯一的* *運(yùn)算運(yùn)算零元。零元。（3 3）設(shè)）設(shè)S中存在關(guān)于中存在關(guān)于* *運(yùn)算的單位元運(yùn)算的單位元e e，* *運(yùn)算滿足結(jié)合律：運(yùn)算滿足結(jié)合律： 若若S S中某元素中某元素a a有左逆元有左逆元a al-1和右逆元和右逆元ar-1，則，則al-1=ar-1=a-1，且且a-1為為a在在S中唯一的中唯一的* *運(yùn)算逆元運(yùn)算逆元。 若若S中每個(gè)元素都有左逆元，則每個(gè)元素都有右

29、逆元，因中每個(gè)元素都有左逆元，則每個(gè)元素都有右逆元，因此每個(gè)元素在此每個(gè)元素在S中都有唯一的逆元。中都有唯一的逆元。 若若S中某元素中某元素a的逆元為的逆元為a-1，則，則a-1的逆元為的逆元為a。三、代數(shù)系統(tǒng)三、代數(shù)系統(tǒng)( (* *) )例例1919設(shè)設(shè)(A, )(A, )為代數(shù)系統(tǒng)，其中為代數(shù)系統(tǒng)，其中A=a,b,c,dA=a,b,c,d，運(yùn)算定義如下表所示：運(yùn)算定義如下表所示：?jiǎn)枺海▎?wèn)：（1 1）運(yùn)算）運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律嗎？滿足交換律和結(jié)合律嗎？ （2 2）A A中關(guān)于運(yùn)算中關(guān)于運(yùn)算的單位元、零元分別是什么？的單位元、零元分別是什么？A A中每個(gè)元素關(guān)于運(yùn)算中每個(gè)元素關(guān)于運(yùn)算 的逆元

30、分別是什么？的逆元分別是什么？ a b c d a b c da b a d ca b a d cb a b c db a b c dc d c a bc d c a bd c d b ad c d b a二、運(yùn)算律二、運(yùn)算律 例例20有理數(shù)的加法和乘法有理數(shù)的加法和乘法，對(duì)，對(duì) a、b、cQ，有：，有： 兩個(gè)有理數(shù)的和仍是有理數(shù)兩個(gè)有理數(shù)的和仍是有理數(shù) a+(b+c)=(a+b)+c a+0=a a+(-a)=0 a+b=b+a 兩個(gè)有理數(shù)的積仍是有理數(shù)兩個(gè)有理數(shù)的積仍是有理數(shù) a(bc)=(ab)c a(b+c)=(ab)+(ac) (b+c)a=(ba)+(ca) a1=a 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，

31、時(shí)，aa-1=1 ab=ba加法加法半群半群乘法乘法半群半群加加法法群群加加法法交交換換群群環(huán)環(huán)域域有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域加法封閉性加法封閉性加法結(jié)合律加法結(jié)合律加法有單位元加法有單位元0 0a a有加法逆元有加法逆元(-a)(-a)加法交換律加法交換律乘法封閉性乘法封閉性乘法結(jié)合律乘法結(jié)合律乘法對(duì)加法的分配律乘法對(duì)加法的分配律乘法有單位元乘法有單位元1 1非非0 0的的a a有乘法逆元有乘法逆元a a-1-1乘法交換律乘法交換律a+b=a+c b=c b+a=c+a b=cab=ac，a0 b=c ba=ca，a0 b=c整數(shù)環(huán)整數(shù)環(huán)加法消去律加法消去律乘法消去律乘法消去律 作業(yè)1一、名詞解釋一、名詞解釋(1)運(yùn)算、代數(shù)系統(tǒng)、半群、群、單位元、逆元、交換群；運(yùn)算、代