測(cè)度論基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)

1、測(cè)度論基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)1集合論1.1集合與基本運(yùn)算概念：具有一定性質(zhì)的對(duì)象構(gòu)成的全體（不嚴(yán)格定義）。中間含有的對(duì)象叫元素。全集：要研究的問題涉及到的最大集合?？占簺]有任何元素的集合。表達(dá)方法：X （集合元素x）|x應(yīng)該有的性質(zhì)元素與集合的關(guān)系：xA, x?A集合之間的關(guān)系只有包含或者不包含若對(duì)于任意元素 xA, xB則A包含于B （證明就用這個(gè)方法），A是B的子集（AB則 為B的真子集）包含的特殊情況相等：A=B就是A包含于B同時(shí)B包含于A真子集：A包含于B但AMB集合的運(yùn)算 單個(gè)元素的幕集2X對(duì)于一個(gè)集合X,它的幕集2X表示所有其子集為元素構(gòu)成的集合。這種以集合為元素的集合，也叫集合族。 兩個(gè)

2、集合的運(yùn)算交：AnB=x| x 6A 且 xB并：A UB=x| x CA 或 x B差：AB （或?qū)懗?A-B） =x| x A 且 x?B補(bǔ)：AC=UA （ U是問題要研究的全集）于是有等式 ab=a nBC積：（直積）AX B=（x,y）| x CA且yB （把A、B中元素構(gòu)成有序?qū)Γ?多個(gè)元素的運(yùn)算多個(gè)交？入giA入表示所有以入為角標(biāo)的集合的并，要求入 I,稱為指標(biāo)集。類似有多個(gè)并注：可以是無窮個(gè)1【例】An x| x , A=x| x0，則 A=?n=1 Ann集合的分析相關(guān)性質(zhì) 上限集：一列集合An，定義上限集為？n=1 ?k=n Ak。類似于數(shù)列的上極限。 下限集：一列集合An，

3、定義下限集為？n=1 ?k=n Ak。類似于數(shù)列的下極限。 集合列的極限：當(dāng)上限集等于下限集時(shí)極限存在，就是上限集（或下限集）。 單調(diào)集合列：若始終有 An包含于An+1，也就是集合越來越大，則為遞增集合列；反之，若始終有An+1包含于An，則為遞減列。若An為遞增列，則有極限lim An=? n=1 An ；若為遞減列，則有l(wèi)im An=?n=1 An。nxng1.2映射定義：X、Y是兩個(gè)集合，對(duì)任意x欣，存在唯一的y=f(x) Y與之對(duì)應(yīng)，則對(duì)應(yīng)法則f為X 到Y(jié)的一個(gè)映射，記為f:X tY。像集：對(duì)于X的一個(gè)子集A，像集f(x)| x A記為f(A)，顯然包含于Y原像集：對(duì)于Y的一個(gè)子集B

4、,原像集x| x A且f(x) B記為f-1 (B)滿射：f(X)=Y,即Y中所有元素都是像單射：X中不同元素一定對(duì)應(yīng) Y中不同的像雙射：既是單射又是滿射。雙射是一一對(duì)應(yīng)的映射。逆映射：對(duì)于雙射，建立一種Y到X的雙射，將像映射到原像上。記為f-1 ：Yt X復(fù)合映射：f：XT Y, g:YT乙它們的復(fù)合g o f:XT乙寫成g(f(X)函數(shù)，一個(gè)？(n維實(shí)數(shù)向量)到 R (實(shí)數(shù))上的映射性質(zhì)(映射與交并運(yùn)算順序可交換性)對(duì)于f:XTY, X若干個(gè)子集Aa, Y若干個(gè)子集Baf(UA a)=Uf(Aa)f-1 ( UBa)=Uf-1 (B a)f( nA a包含于(只有這一個(gè)不一定等于！ ！)n

5、f(A a)不等于的例子：A=1 , B=-1, f(x)=|x|，則 f(A nB)#f(A) n(B)f-1 (nBa)=nf-1 (B a)用集合相等定義可證明。1.3集合的勢(shì)對(duì)等：如果集合 A和B之間可以建立雙射，則 A對(duì)等于B。記為AB性質(zhì)：A到B有單射t A與B子集對(duì)等A到B有滿射t B與A子集對(duì)等 AB, BC,貝U AC (傳遞性) AC, BD，貝U AX BCX D判定：(康托一伯恩斯坦定理)若集合X與Y的一個(gè)真子集對(duì)等而且 Y與X的一個(gè)真子集對(duì)等，則XY基數(shù)：有限個(gè)元素的集合為元素個(gè)數(shù)。勢(shì)：若兩個(gè)集合對(duì)等，則定義它們的勢(shì)相等。在有限個(gè)元素的情況下，勢(shì)就是基數(shù)。無限個(gè)元素的

6、情況下，定義自然數(shù)集的勢(shì)是？。(阿列夫0)。A的勢(shì)用|A|表示。若A與B的一個(gè)子集對(duì)等，則|A| W|B|，若與B的真子集對(duì)等，則1.4可數(shù)集可數(shù)集：與自然數(shù)集對(duì)等的稱為可列集，元素有限的集合和可列集統(tǒng)稱可數(shù)集。性質(zhì)：任何無窮集合都包含可列子集 可數(shù)集的子集還是可數(shù)集 兩個(gè)可數(shù)集的交、并還是可數(shù)集 可數(shù)集和可數(shù)集的直積還是可數(shù)集定理：有理數(shù)集是可列集，實(shí)數(shù)不是可列集。(有理數(shù)可列證明就把每一個(gè)有理數(shù)p/q映射到(p,q)點(diǎn)，則有理數(shù)和ZX N對(duì)等。實(shí)數(shù)不可列證明方法有多種，可用閉區(qū)間 套定理、有限覆蓋定理、十進(jìn)制小數(shù)展開等方法)定義實(shí)數(shù)的勢(shì)是 c=?1-定理：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的間斷點(diǎn)集是可數(shù)集證明思路

7、：不妨設(shè)單調(diào)遞增。間斷點(diǎn)x0左右必有界，否則不單調(diào)。 f（xO-O）和f（xO+O）之間必有有理數(shù)rx0，而且x0不同的話每個(gè)區(qū)間（f（xO-O）,f（xO+O）不會(huì)相交，否則不單 調(diào)。所以間斷點(diǎn)和有理數(shù)子集rxO建立雙射，是可數(shù)的。不可數(shù)集性質(zhì)：一個(gè)集合子集不可數(shù)，則它不可數(shù)A不可數(shù)，B可數(shù)，則 AAUB2. n維歐式空間極其簡(jiǎn)單的性質(zhì)2.1定義向量與運(yùn)算：（略）這部分詳見線性代數(shù)或者解析幾何書定義的向量及運(yùn)算（加、減、模、內(nèi)積）、距離等。一些常用的集合：開球：B（x,r）（以x為球心，r為半徑的球內(nèi)部）就是y ?l|d（x,y）r （d（x,y）是x、y的距離） 閉球：上面改為 d（x,y

8、）wr有界集：包含于一個(gè)開球的集合。2.2分析相關(guān)的概念點(diǎn)列的極限點(diǎn)：風(fēng)在k趨于g時(shí)與定點(diǎn)x的距離趨向于0,則x為Xk極限點(diǎn)。聚點(diǎn)和導(dǎo)集：若對(duì)于xk，點(diǎn)xo為圓心的任何開球內(nèi)都有無數(shù)個(gè) xk中的點(diǎn)，則xo為xk聚 點(diǎn)。一個(gè)集合A的所有聚點(diǎn)構(gòu)成的集合叫A的導(dǎo)集，記為A若xo 3且不是A的聚點(diǎn)則為A的孤立點(diǎn)，孤立點(diǎn)集記為 AA注：聚點(diǎn)未必屬于集合，比如0,1所有有理數(shù)構(gòu)成的集合聚點(diǎn)是 0,1中所有數(shù)，包括無理數(shù)。 但是定義孤立點(diǎn)屬于集合。定理：若x0是點(diǎn)集A的聚點(diǎn)，則A中存在一個(gè)點(diǎn)列趨向x0。內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)（記為A）:存在一個(gè)以它為球心有一個(gè)開球包含在A中邊界點(diǎn)（記為？A）:以它為圓心有一個(gè)所有

9、開球不包含在A中，但都有A中的點(diǎn)（用幾何圖像很好理解）定理：AAA=?AA （用集合相等的定義證出）A=A U （?A AA）（用幾何圖像很好理解）閉包A的閉包定義為 A與A的并。稱A在A的閉包中稠密。（閉包在幾何圖像上可以理解為一個(gè) 圖形加上它的邊界組成的封閉圖形）有若干性質(zhì)，略2.3 n維歐式空間中的集合閉集：閉包等于自己的集合。開集：閉集的補(bǔ)集。閉集性質(zhì)：有限個(gè)閉集并還是閉集，任意個(gè)閉集交還是閉集。無限個(gè)閉集并可能是開集，比如？莒：，1專=(0,1)開集類似：有限個(gè)開集交還是開集，任意個(gè)開集并還是開集。為集和Gg集。F。集：可數(shù)個(gè)閉集的并。Gg集：可數(shù)個(gè)開集的交。性質(zhì)：F。集的補(bǔ)集是Gs

10、集注意：一個(gè)集合有可能既是Gg集又是F。集！比如半開半閉區(qū)間。與矩體的關(guān)系矩體：若干個(gè)R上的區(qū)間直積。半開半閉矩體就是若干個(gè)前開后閉區(qū)間的直積。性質(zhì)：開集一定是可列個(gè)互不相交的半開半閉矩體的并?？低屑疌。開始是0,1區(qū)間，然后挖掉中間的三分之一開區(qū)間得到0,1/3U2/3,1，再把每個(gè)區(qū)間挖掉中間1/3的開區(qū)間，如此往復(fù)，無數(shù)次的極限就是康托集?？低屑瘜?duì)應(yīng)三進(jìn)制小數(shù) 0.XXXXX中只有0,2數(shù)字，沒有1數(shù)字的小數(shù)。(這個(gè)結(jié)論可以從每 次區(qū)間的端點(diǎn)都保留在集合里來得到)性質(zhì)：康托集是非空有界閉集。 勢(shì)是?i。 是完全集C=C 沒有內(nèi)點(diǎn)。代數(shù)和博雷爾集 H弋?dāng)?shù)：設(shè)F是X的一些子集構(gòu)成的集合，而且

11、 ？ F;若A F則XA F;若一列 集合A. F，則？Q An F。則稱F是X的一個(gè)o代數(shù)。 博雷爾集：n維歐式空間的一切開集的最小。代數(shù)中的集合。2.4連續(xù)函數(shù)定義：設(shè)f是集合E上面的實(shí)值函數(shù)，若對(duì)任一點(diǎn)x0 E，任何? 0,均存在g使得x B(x0 g時(shí)|f-f( x)|t , xE(記為E(ft)是開集，則f在E上連續(xù)。大于號(hào)可換為大于等于、小于、小于等于。 若R任意開集在f的原像是開集，則f在E上連續(xù)?！伴_集”可換為“閉集”。2.5 n維歐式空間的完備性定理有柯西收斂準(zhǔn)則、閉集套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)原理，類似于R的情況，不詳細(xì)敘述。3. 勒貝格測(cè)度3.1勒貝格外側(cè)度勒貝格測(cè)度的定

12、義開矩體的體積n 維歐式空間中的開矩體I=(X1,X2 Xn )|X1 (a1,b1),X2 (a2,b2)Xn (a n,bn)= (a1,b1)X (a2,b2)x-x (an,bn) (an,bn)都是 R 中的開區(qū)間)定義它的體積 |I| = | 引-b 1| X | a2 - b2| X-X |an- bn|勒貝格外側(cè)度對(duì)于任意n維歐式空間的集合 E,總有可數(shù)個(gè)開矩體可以將其覆蓋。定義E外側(cè)度為可數(shù)個(gè)覆蓋它的開矩體體積和的下確界，記為m?(E)。性質(zhì)： 非負(fù)性：m?(E)A 0 平移不變性：m?(E)= m?(E+x), E+x為把集合E向右平移 子集的外側(cè)度：若Ei包含于E2，則m

13、?(Ei)w m?(E2) 集合的并的外側(cè)度：n維歐式空間中，m?(?k=1 Ek) 一些集合外側(cè)度的例子： m?(?)=0 單個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合外側(cè)度為 可數(shù)集的外側(cè)度是 0 定義：外側(cè)度為0的集合稱為零測(cè)集。 平面(2為歐式空間)上的任意直線外側(cè)度為 開矩體與它的閉包外側(cè)度相等，都等于它的體積。 側(cè)度)可測(cè)集勒貝格測(cè)度可測(cè)集：如果對(duì)于一個(gè) n維歐式空間中的集合 m?(T)= m?(EAT)+ m?(EC AT),則稱 E 為可測(cè)集。M(?)。理解：就是用任意一個(gè)集合 T去“檢驗(yàn)”這個(gè)E, 側(cè)度加起來還等于原來 T的外測(cè)度，那么E就是一X。=1 m (Ek)0 (即直線面積是 0)(而且還等于有

14、一部分邊界的矩體的外E,任意n維歐式空間中的集合 T,都有 維歐式空間中的所有可測(cè)集的全體記為與E相交的部分外側(cè)度和 E以外部分的外 個(gè)“可以用常理理解”的集合，不至于太“奇怪”，這樣的集合E叫做可測(cè)集。這個(gè)概念不要記錯(cuò)注1:不可測(cè)集一定是存在的，但是要舉出不可測(cè)集的例子非常麻煩，要有很多鋪墊，所以 略去。注2:條件可以減弱，只要把任意集合T換成任意開矩體I成立即可。證明略?？蓽y(cè)集例子： 零測(cè)集可測(cè)，顯然測(cè)度為0 開矩體可測(cè)勒貝格測(cè)度：當(dāng)一個(gè)集合E是可測(cè)集的時(shí)候，它的外側(cè)度定義為它的勒貝格測(cè)度，簡(jiǎn)稱測(cè)度，記為m(E)?？蓽y(cè)集族M(?)是n維歐式空間上的(代數(shù) 空集可測(cè) 若E可測(cè)，則EC可測(cè) 若

15、一列集合An可測(cè)，則？ An可測(cè)勒貝格測(cè)度的性質(zhì)可列可加性：若一列可測(cè)集合 An兩兩不交，則 m(?n=i An)=石=i m(A n)上連續(xù)：若遞增集合列 An都可測(cè)則m (limA n)=limm(An) nxn下連續(xù)：若遞減集合列 An都可測(cè)，而且？3測(cè)度有限，則m (limA n)=lim m( An)nx nx注：A1無測(cè)度無限時(shí)候不一定成立，比如注：康托集可測(cè)，測(cè)度為 0。(證明很容易，因?yàn)榭低屑且恍﹨^(qū)間的極限) 故測(cè)度為 0 的集合不一定可數(shù)，康托集不可數(shù)卻測(cè)度為0?？蓽y(cè)集的性質(zhì) 若E是可測(cè)集，則任給？ 0存在一個(gè)開集 G包含E,且m(E/F) 0存在一個(gè)閉子集 F且m(E/F

16、) ?證明思路：分情況討論(有界與無界)證明，有界時(shí)用定義的開矩體證明，無界時(shí)En = E nB(0, n)，開集Gn包含En且差集測(cè)度任意小，G=? n=i G。對(duì)于取補(bǔ)集再用證。 若E是可測(cè)集，則存在包含E且與E差集測(cè)度為0。這個(gè)集稱為E的包。 若E是可測(cè)集，則存在F。包含于E且與E差集測(cè)度為0。這個(gè)F。集稱為E的F 核。 證明較簡(jiǎn)單，用直接證。取 ？=1/n構(gòu)造集合列。3.2 測(cè)度的公理化定義 概率測(cè)度空間設(shè)X是非空集，F(xiàn)是X上的。代數(shù)，若存在把 F子集映射為非負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù)耳滿足： 解)=0 ； 若F中集合列An兩兩不交，就有 (? n=i An)=忘1卩(A 則稱 內(nèi)(X,F上的一個(gè)測(cè)

17、度，稱(X,F，M為一個(gè)測(cè)度空間。 很容易驗(yàn)證勒貝格測(cè)度滿足上述性質(zhì)，故是一個(gè)特殊的測(cè)度。性質(zhì) 單調(diào)性：若A包含于B則“)W KB) 次可加性：M?k：iEk)wli卩際) 上、下連續(xù)性(同勒貝格測(cè)度)概率若上述測(cè)度迅滿足卩(F=1，則稱為一個(gè)概率測(cè)度，簡(jiǎn)稱概率，記為P。上述集合X記為Q,稱為樣本空間，實(shí)際表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的集合；Q內(nèi)的元素為基本事件。概率滿足測(cè)度的所有性質(zhì)。在下面的討論中不涉及一般測(cè)度空間的性質(zhì)，只涉及勒貝格測(cè)度和少量概率的相關(guān)問題。4. 勒貝格可測(cè)函數(shù)4.1 廣義實(shí)數(shù)將看成兩個(gè)數(shù)加入實(shí)數(shù)系中，稱為廣義實(shí)數(shù)。定義土*的性質(zhì)和運(yùn)算 任意實(shí)數(shù)X, aXt)是可測(cè)集，則稱f在E

18、 上可測(cè)。E可測(cè)函數(shù)全體記為 M(E)。還有一些等價(jià)定義,即把上述大于號(hào)改成大于等于、小于、小于等于都等價(jià)。注：概率論中的“隨機(jī)變量”實(shí)際上就是樣本空間上對(duì)于概率測(cè)度來說的可測(cè)函數(shù)。而上述 的可測(cè)函數(shù)是n維歐式空間中相對(duì)于勒貝格測(cè)度而言的。定理：可測(cè)集上定義的連續(xù)函數(shù)可測(cè)。 可測(cè)集上的指示函數(shù)x E可測(cè)。（x E即E上恒為1,其余為0的函數(shù)） R上的單調(diào)函數(shù)可測(cè)。 E若為零測(cè)集則E上任何函數(shù)可測(cè)。 a,b上定義的間斷點(diǎn)集為零測(cè)集的函數(shù)可測(cè)。性質(zhì)：f為E上可測(cè)函數(shù)，則 E（f=旳、E（ft等價(jià)于任意有理數(shù) r, fr且gt-r;對(duì)于fg先證f2可(f+g) 2 -(f-g)2f/g只證1/g可測(cè)

19、。測(cè)，再用fg=來做;44.3可測(cè)函數(shù)列極限的可測(cè)性對(duì)于一列E上的可測(cè)函數(shù)fk, supfk、inffk均可測(cè)進(jìn)而fk上下極限都可測(cè)。幾乎處處成立的命題：指在集合E上，除去零測(cè)集E。以外，其他地方處處成立的命題（若E= ?則處處成立），記為a.e.E。注：一個(gè)函數(shù)幾乎處處等于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，未必幾乎處處連續(xù)，反例是狄利克雷函數(shù)。由于有理數(shù)集可數(shù)所以有理數(shù)集測(cè)度為0,狄利克雷函數(shù)幾乎處處等于0。但是狄利克雷函數(shù)不但不是幾乎處處連續(xù)，而且是處處都不連續(xù)?？蓽y(cè)函數(shù)列的三種收斂 fk在 E上幾乎處處收斂到f，記為fk t f a.e.E。注：若探討概率測(cè)度，則是隨機(jī)變量序列Xk t X的問題，稱為幾乎必然收斂（不