四川省各市2012年中考數(shù)學分類解析專題9：三角形

1、四川各市2012年中考數(shù)學試題分類解析匯編專題9：三角形選擇題1. （2012四川樂山3分）如圖，在RtABC中，C=90，AB=2BC，則sinB的值為【 】ABCD1【答案】C。【考點】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】RtABC中，C=90，AB=2BC，sinA=。A=30。B=60。sinB=。故選C。2. （2012四川樂山3分）如圖，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運動變化的過程中，有下列結論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；

2、四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化；點C到線段EF的最大距離為其中正確結論的個數(shù)是【 】A1個B2個C3個D4個【答案】B?！究键c】全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥窟B接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90。DFE是等腰直角三角形。故此結論正確。當E、F分別為AC、BC中點時，由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。四邊形CEDF是平行四邊形。又E、F分別為AC、BC中點，AC=BC，四邊

3、形CEDF是菱形。又C=90，四邊形CEDF是正方形。故此結論錯誤。 如圖2，分別過點D，作DMAC，DNBC，于點M，N， 由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。 由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL）。 由割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。 四邊形CEDF的面積不隨點E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結論錯誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。當DF與BC垂直，即DF最小時， EF取最小值2。此時點C到線段EF的最大距離為。故此結論正確。故正確的有2個：。故選B。3. （2012四川攀枝花3分）如圖，ABCADE且ABC=ADE，

4、ACB=AED，BCDE交于點O則下列四個結論中，1=2；BC=DE；ABDACE；A、O、C、E四點在同一個圓上，一定成立的有【 】A1個B2個C3個D4個4. （2012四川廣安3分）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：，堤壩高BC=50m，則應水坡面AB的長度是【 】A100m B100m C150m D50m【答案】A?！究键c】解直角三角形的應用（坡度坡角問題），銳角三角函數(shù)定義，勾股定理?！痉治觥康虊螜M斷面迎水坡AB的坡比是1：，BC=50，AC=50，（m）。故選A。5. （2012四川廣安3分）已知等腰ABC中，ADBC于點D，且AD=BC，則ABC底角的度數(shù)為【 】A4

5、5 B75 C45或75 D60【答案】C?！究键c】等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，三角形內角和定理?！痉治觥扛鶕?jù)題意畫出圖形，注意分別從BAC是頂角與BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形與直角三角形的性質，即可求得答案：如圖1：AB=AC，ADBC，BD=CD=BC，ADB=90。AD=BC，AD=BD。 B=45。即此時ABC底角的度數(shù)為45。如圖2，AC=BC，ADBC，ADC=90。AD=BC，AD=AC，C=30。CAB=B=（1800A）2=75。即此時ABC底角的度數(shù)為75。綜上所述，ABC底角的度數(shù)為45或75。故選C。6. （2012四川內江3分）如圖4所示

6、，ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則的值為【 】A. B. C. D.【答案】B?！究键c】網(wǎng)格問題，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理?！痉治觥咳鐖D：作點C關于AB的對稱點D，連接CD交AB于O，根據(jù)網(wǎng)格的特點，CDAB，在RtAOC中，則。故選B。7. （2012四川德陽3分）某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于客輪P的北偏東30方向，且相距20海里.客輪以60海里/小時的速度沿北偏聽偏西60方向航行小時到達B處，那么tanABP=【 】A. B.2 C. D.【答案】A?！究键c】解直角三角形的應用（方向角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】燈塔A位于客輪P的北偏東30方向，

7、且相距20海里，PA=20?？洼喴?0海里/小時的速度沿北偏西60方向航行小時到達B處，APB=90 ，BP=60=40。tanABP=。故選A。8. （2012四川綿陽3分）已知ABC中，C=90，tanA=，D是AC上一點，CBD=A，則sinABD=【 】。A B C D【答案】A?！究键c】勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義?！痉治觥咳鐖D，作DEAB于點E。CBD=A，。設CD=a，則BC=2a，AC=4a，AD=AC-CD=3a，在RtBCD中，。在RtABC中，。在RtADE中，設DE=x，則AE=2x，AE2+DE2=AD2，即x2+（2x）2=9a2，解得：x= ，即DE=。在RtBD

8、E中，。故選A。9. （2012四川巴中3分）如圖，已知AD是ABC的邊BC上的高，下列能使ABDACD的條件是【 】A. AB=AC B. BAC=90 C. BD=AC D. B=45【答案】A。【考點】全等三角形的判定?！痉治觥刻砑覣B=AC，符合判定定理HL。而添加BAC=90，或BD=AC，或B=45，不能使ABDACD。故選A。二、填空題1. （2012四川廣元3分） 已知等腰三角形的一個內角為80，則另兩個角的度數(shù)是 【答案】50，50或80，20。【考點】等腰三角形的性質，三角形內角和定理。【分析】分情況討論：（1）若等腰三角形的頂角為80時，另外兩個內角=（18080）2=5

9、0；（2）若等腰三角形的底角為80時，頂角為1808080=20。等腰三角形的一個內角為80，則另兩個角的度數(shù)是50，50或80，20。2. （2012四川德陽3分）如圖，點D、E分別是ABC的邊AB、AC的中點，連接DE，若DE=5，則BC= . 【答案】10?！究键c】三角形中位線定理?！痉治觥奎cD、E分別是ABC的邊AB、AC的中點，DEBC，DE=BC，DE=5，BC=10。3. （2012四川綿陽4分）如圖，BC=EC，1=2，要使ABCDEC，則應添加的一個條件為 （答案不唯一，只需填一個）?！敬鸢浮緼C=DC（答案不唯一）。【考點】開放型，全等三角形的判定【分析】由1=2，求出BC

10、A=ECD，又BC=EC，根據(jù)SAS可添加的條件為AC=DC；根據(jù)ASA可添加的條件為B=E；根據(jù)AAS可添加的條件為A=D。只需填一個即可。4. （2012四川巴中3分）已知一個圓的半徑為5cm，則它的內接正六邊形的邊長為 【答案】5cm。【考點】正多邊形和圓，正三角形的判定和性質。【分析】如圖，連接OA，OB，六邊形ABCDEF是正六邊形，AOB=360=60。又OA=OB，OAB是等邊三角形。AB=OA=OB=5cm，即它的內接六邊形的邊長為：5cm。5. （2012四川資陽3分）直角三角形的兩邊長分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是 【答案】8或10?！究键c】三角形的外接圓與外心

11、，勾股定理。【分析】由勾股定理可知：當直角三角形的斜邊長為16時，這個三角形的外接圓半徑為8；當兩條直角邊長分別為16和12，則直角三角形的斜邊長= ，因此這個三角形的外接圓半徑為10。綜上所述：這個三角形的外接圓半徑等于8或10。6. （2012四川自貢4分）如圖，ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD弧DE、弧EF的圓心依次是ABC，如果AB=1，那么曲線CDEF的長是 【答案】4?！究键c】新定義，等邊三角形的性質，三角形外角定理，弧長的計算。【分析】弧CD是以點A為圓心，AB=1為半徑，CAD=1200為圓心角的圓弧，長是；弧DE是以點B為圓心，BD=2為半徑，D

12、BE=1200為圓心角的圓弧，長是：；弧EF是以點C為圓心，CE=3為半徑，ECF=1200為圓心角的圓弧，長是：。則曲線CDEF的長是：。7. （2012四川南充3分）如圖，四邊形ABCD中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四邊形ABCD的面積是24cm2.則AC長是 cm. 【答案】4。【考點】等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，將ADC旋轉至ABE處，則AEC的面積和四邊形ABCD的面積一樣多為24cm2，,這時三角形AEC為等腰直角三角形，作邊EC上的高AF，則AF=EC=FC, SAEC= AFEC=AF2=24 。AF2=24。AC2=2AF2=48 A

13、C=4。三、解答題1. （2012四川成都8分）如圖，在一次測量活動中，小華站在離旗桿底部(B處)6米的D處，仰望旗桿頂端A，測得仰角為60，眼睛離地面的距離ED為1.5米試幫助小華求出旗桿AB的高度(結果精確到0.1米， )【答案】解：BD=CE=6m，AEC=60，AC=CEtan60=6=661.73210.4（米），AB=AC+DE=10.4+1.5=11.9（米）。答：旗桿AB的高度是11.9米?！究键c】解直角三角形的應用（仰角俯角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥扛鶕?jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，再根據(jù)AB=AC+DE即可得出結論。2. （2012四川樂山10

14、分）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭MN，在碼頭西端M的正西方向30 千米處有一觀察站O某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于O的北偏西30方向，且與O相距千米的A處；經過40分鐘，又測得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處（1）求該輪船航行的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】解：（1）過點A作ACOB于點C。由題意，得OA=千米，OB=20千米，AOC=30。（千米）。在RtAOC中OC=OAcosAOC=（千米），BC=OCOB=3020=10（千米）。在RtABC中，（千米）。輪船航行的

15、速度為：（千米/時）。（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭MN靠岸。理由是： 延長AB交l于點D。AB=OB=20（千米），AOC=30，OAB=AOC=30，OBD=OAB+AOC=60在RtBOD中，OD=OBtanOBD=20tan60=（千米）。OD=ON，該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭MN靠岸。 【考點】解直角三角形的應用（方向角問題），勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）過點A作ACOB于點C可知ABC為直角三角形根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理解答。（2）延長AB交l于D，比較OD與ON的大小即可得出結論。3. （2012四川攀枝花6分

16、）如圖，我漁政310船在南海海面上沿正東方向勻速航行，在A地觀測到我漁船C在東北方向上的我國某傳統(tǒng)漁場若漁政310船航向不變，航行半小時后到達B處，此時觀測到我漁船C在北偏東30方向上問漁政310船再航行多久，離我漁船C的距離最近？（假設我漁船C捕魚時移動距離忽略不計，結果不取近似值）【答案】解：作CDAB于DA地觀測到漁船C在東北方向上，漁船C在北偏東30方向上，CAB=45，CBD=60。在RtBCD中，CDB=90，CBD=60，CD=BD。在RtACD中，CDA=90，CAD=45，CD=AD。BD=AB+BD。漁政310船勻速航行，設漁政310船航速為v千米/分鐘，則AB=30v千米

17、。設漁政310船再航行t分鐘，離我漁船C的距離最近，則BD= vt千米。vt=30v +vt，解得t=15（+1）。答：漁政310船再航行15（+1）分鐘，離我漁船C的距離最近。【考點】解直角三角形的應用（方向角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥窟^點C作AB的垂線，設垂足為D由題易知CAB=45，CBD=60先在RtBCD中，得到CD=BD，再在RtACD中，得到CD=AD，據(jù)此得出BD=AB+BD，從而求出漁船行駛BD的路程所需的時間。4. （2012四川攀枝花12分）如圖所示，在形狀和大小不確定的ABC中，BC=6，E、F分別是ABAC的中點，P在EF或EF的延長線上，

18、BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分CBP，設BP=y，PE=x（1）當x=EF時，求SDPE：SDBC的值；（2）當CQ=CE時，求y與x之間的函數(shù)關系式；（3）當CQ=CE時，求y與x之間的函數(shù)關系式； 當CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時，直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式【答案】解：（1）E、F分別是ABAC的中點，x=EF，EFBC，且EF=BC。EDPCDB。SDPE：SDBC=1：36。（2）如圖，設CQ=a，DE=b，BD=c，則DP=yc。不妨設EQ=kCQ=ka（k0），則DQ=kab，CD=（k+1）ab。過Q點作QMBC于點M，作QNBP于點N。BQ平分CBP，QM=QN。

19、又，即 。EPBC，即。由式聯(lián)立解得：y=6kx 。當CQ=CE時，k=1，y與x之間的函數(shù)關系式為：y=6x。（3）當CQ=CE時，k=2，由（2）中式可知，y與x之間的函數(shù)關系式為：y=12x。當CQ=CE（n為不小于2的常數(shù)）時，k=n1，由（2）中式可知，y與x之間的函數(shù)關系式為：y=6（n1）x?！究键c】相似三角形的判定和性質，三角形的面積，角平分線的性質，三角形中位線定理，建立函數(shù)關系式?！痉治觥浚?）根據(jù)中位線定理、相似三角形的判定和性質可以求得SDPE：SDBC的值。（2）（3）問的解答，采用一般到特殊的方法解答中首先給出了一般性結論的證明，即當EQ=kCQ（k0）時，y與x滿

20、足的函數(shù)關系式為：y=6kx；然后將該關系式應用到第（2）（3）問中求解在解題過程中，充分利用了相似三角形比例線段之間的關系另外，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質得出了一個重要結論（2）中式子），該結論在解題過程中發(fā)揮了重要作用。5. （2012四川宜賓6分）如圖，點ABDE在同一直線上，AD=EB，BCDF，C=F求證：AC=EF【答案】證明：AD=EBADBD=EBBD，即AB=ED。 又BCDF，CBD=FDB 。ABC=EDF 。又C=F，ABCEDF（AAS）。AC=EF?！究键c】平行的性質，補角的性質，全等三角形的判定和性質?！痉治觥扛鶕?jù)BCDF證得CBD=FDB，利用鄰

21、角的補角相等證得ABC=EDF，然后根據(jù)AD=EB得到AB=CD，利用AAS證明兩三角形全等即可。6. （2012四川廣安8分）如圖，2012年4月10日，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在A地偵查發(fā)現(xiàn)，在南偏東60方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時13海里的速度向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民，此時，C地位于中國海監(jiān)船的南偏東45方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時30海里的速度趕往C地救援我國漁民，能不能及時趕到？（1.41，1.73，=2.45）7. （2012四川內江9分）水利部門為加強防汛工作，決定對某水庫大壩進行加固，大壩的橫截面是梯形ABCD

22、.如圖所示，已知迎水坡面AB的長為16米，B=600，背水坡面CD的長為米，加固后大壩的橫截面積為梯形ABED，CE的長為8米。（1） 已知需加固的大壩長為150米，求需要填土石方多少立方米？（2） 求加固后的大壩背水坡面DE的坡度。【答案】解：（1）如圖，分別過A、D作AFBC，DGBC，垂點分別為F、G。在RtABF中，AB=16米，B=60，即DG=。又CE=8，。又需加固的大壩長為150，需要填方：。答：需要填土石方立方米。（2）在RtDGC中，DC=，DG=，。GE=GC+CE=32。DE的坡度。答：加固后的大壩背水坡面DE的坡度為。【考點】解直角三角形的應用（坡度坡角問題），銳角三

23、角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理?！痉治觥浚?）分別過A、D作下底的垂線，設垂足為F、G在RtABF中，已知坡面長和坡角的度數(shù)，可求得鉛直高度AF的值，也就得到了DG的長；以CE為底，DG為高即可求出CED的面積，再乘以大壩的長度，即為所需的填方體積。（2）在RtCDG中，由勾股定理求CG的長，即可得到GE的長；RtDEG中，根據(jù)DG、GE的長即可求得坡角的正切值，即坡面DE的坡比。8. （2012四川內江12分）已知ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使DAF=60，連接CF（1）如圖1，當點D在

24、邊BC上時，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系【答案】解：（1）證明：四邊形AFED是菱形，AF=AD。ABC是等邊三角形，AB=AC=BC，BAC=60=DAF。BACDAC=DAFDAC，即BAD=CAF。在BAD和CAF中， AB=AC，BAD=CAF，AD=AF ，BADCAF（SAS）。CF=BD。CF+CD=BD+CD=BC

25、=AC。即BD=CF，AC=CF+CD。（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系是AC=CFCD。理由如下：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，BAC=DAF=60，BAC+DAC=DAF+DAC，即BAD=CAF。在BAD和CAF中，AC=AB，BAD=CAF ，AD=AF，BADCAF（SAS）。BD=CF。CFCD=BDCD=BC=AC，即AC=CFCD。（1） 補全圖形如下，AC、CF、CD之間的數(shù)量關系為AC=CDCF?！究键c】等邊三角形的性質，菱形的性質，全等三角形的判定和性質【分析】（1）根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，BAC=DAF=60

26、，求出BAD=CAF，由SAS證BADCAF，推出CF=BD即可。（2）求出BAD=CAF，根據(jù)SAS證BADCAF，推出BD=CF即可。（3）畫出圖形后，根據(jù)SAS證BADCAF，推出CF=BD即可：BAC=DAF=60，DAB=CAF，在BAD和CAF中， AB=AC，DAB=CAF， AD=AF，BADCAF（SAS）。CF=BD。CDCF=CDBD=BC=AC。9. （2012四川廣元7分）如圖，在AEC和DFB中，E=F，點A，B，C，D在同一直線上，有如下三個關系式：AEDF，AB=CD，CE=BF。（1）請用其中兩個關系式作為條件，另一個作為結論，寫出你認為正確的所有命題（用序號

27、寫出命題書寫形式：“如果，那么”）；（2）選擇（1）中你寫出的一個命題，說明它正確的理由。【答案】解：（1）命題1：如果，那么； 命題2：如果，那么。（2）命題1的證明：AEDF， A=D。 AB=CD，AB+BC=CD+BC，即AC=DB。在AEC和DFB中，E=F，A=D，AC=DB， AECDFB（AAS）。CE=BF（全等三角形對應邊相等）?！究键c】全等三角形的判定和性質，平行的性質，真假命題。【分析】（1）如果作為條件，作為結論，得到的命題為真命題；如果作為條件，作為結論，得到的命題為真命題，寫成題中要求的形式即可。（2）若選擇（1）中的如果，那么，由AE與DF平行，利用兩直線平行內

28、錯角相等得到一對角相等，再由AB=DC，等式左右兩邊都加上BC，得到AC=DB，又E=F，利用AAS即可得到三角形ACE與三角形DBF全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到CE=BF，得證。若選擇如果，那么，證明如下：AEDF， A=D。 AB=CD，AB+BC=CD+BC，即AC=DB，在AEC和DFB中，E=F，A=D，CE=BF ， AECDFB（AAS）。AC=DB（全等三角形對應邊相等），則AC-BC=DB-BC，即AB=CD。注：命題“如果，那么”是假命題。10. （2012四川廣元8分）如圖，A，B兩座城市相距100千米，現(xiàn)計劃要在兩座城市之間修筑一條高等級公路（即線段AB）。經測

29、量，森林保護區(qū)中心P點在A城市的北偏東30方向，B城市的北偏西45方向上。已知森林保護區(qū)的范圍在以P為圓心，50千米為半徑的圓形區(qū)域內，請問：計劃修筑的這條高等級公路會不會穿越保護區(qū)？為什么？【答案】解：作點P到直線AB的垂線段PE，則線段PE的長，就是點P到直線AB的距離，根據(jù)題意，APE=PAC=30，BPE=PBD=45，則在RtPAE和RtPBE中， BE=PE，而AE+BE=AB， 即， PE=，PE50，即保護區(qū)中心到公路的距離大于半徑50千米，公路不會穿越保護區(qū)?！究键c】解直角三角形的應用（方向角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥窟^點P作PEAB，E是垂足AE

30、與BE都可以根據(jù)三角函數(shù)用PE表示出來根據(jù)AB的長，得到一個關于PE的方程，解出PE的長從而判斷出這條高速公路會不會穿越保護區(qū)。11. （2012四川涼山8分）某校學生去春游，在風景區(qū)看到一棵漢柏樹，不知這棵漢柏樹有多高，下面是兩位同學的一段對話：小明：我站在此處看樹頂仰角為。小華：我站在此處看樹頂仰角為。小明：我們的身高都是1.6m.小華：我們相距20m。請你根據(jù)這兩位同學的對話，計算這棵漢柏樹的高度。 （參考數(shù)據(jù)：，結果保留三個有效數(shù)字）【答案】解：如圖所示，延長BC交DA于E。設AE的長為x m，在RtACE中，ACE=45，AEB=90，CAE=45， AE=CE=x。在RtABE中，

31、B=30，AE=x，即：。BECE=BC，BC=20， ，解得x=10+10。AD=AEDE=10+10+1.628.9（m）。答：這棵漢柏樹的高度約為28.9米?！究键c】解直角三角形的應用（仰角俯角問題），銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥垦娱LBC交DA于E設AE的長為x米，在RtACE中，求得CE=AE，然后在RtABE中求得BE，利用BECE=BC，解得AE，則AD=AE+DE。 12. （2012四川巴中10分）一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，ABCF，F(xiàn)=ACB=90，E=30，A=45，AC=，試求CD的長?！敬鸢浮拷猓哼^點B作BMFD于點M，在ACB中，ACB=90，A=45，AC= ，BC=AC=，ABC=45。ABCF，BCM=ABC=45。BM=BCsin45=，CM=BC=12。在EFD中，F(xiàn)=90，E=30，EDF=60。MD=BMtan60=。CD=CMMD=12?！究键c】解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥窟^點B作BMFD于點M，根據(jù)題意可求出BC