張量及應(yīng)用1-1

1、張量分析及其應(yīng)用第一章 張量代數(shù)第二章 張量分析第三章 張量應(yīng)用1.1 指標(biāo)記法1.1.1 求和約定、啞指標(biāo)第一章 張量代數(shù)n1kkkn1jjjn1iii2211xaxaxaxaxaxaSnn顯然，指標(biāo) i, j, k 與求和無(wú)關(guān)，可用任意字母代替。為簡(jiǎn)化表達(dá)式，引入Einstein求和約定：每逢某個(gè)指標(biāo)在一項(xiàng)中重復(fù)一次，就表示對(duì)該指標(biāo)求和，指標(biāo)取遍正數(shù)1，2，n。這樣重復(fù)的指標(biāo)稱(chēng)為啞標(biāo)。于是kkorjjoriixaxaxaSiiixba是違約的，求和時(shí)要保留求和號(hào)n1iiiixban 表示空間的維數(shù)，以后無(wú)特別說(shuō)明，我們總?cè)=3。例題332211iixaxaxaxa332211jjbbbb

2、332211mmeeeecccc雙重求和31i31jjiijxxaS簡(jiǎn)寫(xiě)成jiijxxaS 展開(kāi)式（9項(xiàng)）313321321131322322221221311321121111xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaS三重求和（27項(xiàng)）kkxxxaxxxaSjiijk31i31j31kjiijkjijixax 1.1.2 自由指標(biāo)例如指標(biāo) i 在方程的各項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱(chēng)之為自由指標(biāo)。一個(gè)自由指標(biāo)每次可取整數(shù)1, 3, , n，與啞標(biāo)一樣，無(wú) 特別說(shuō)明總?cè)=3。于是，上式表示3個(gè)方程的縮寫(xiě)：3132121111xaxaxax3232221212xaxaxax333232131

3、3xaxaxaxjijieeA3132121111eeeeAAAi 為自由指標(biāo)，j 為啞標(biāo)表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAAjijieeA3132121111eeeeAAAi 為自由指標(biāo)，j 為啞標(biāo)表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAAjkikijBAC 1313121211111k1k11BABABABACi ，j為自由指標(biāo)，k 為啞標(biāo)表示9個(gè)方程：2313221221112k1k12BABABABAC3313321231113k1k13BABABABAC1323122211211k2k21BABABABAC333332

4、3231313k3k33BABABABAC例外：111ECR 222ECR 333ECR iiiiiECECR出現(xiàn)雙重指標(biāo)但不求和時(shí)，在指標(biāo)下方加劃線 以示區(qū)別，或用文字說(shuō)明（如i不求和）。規(guī)定：這里 i 相當(dāng)于一個(gè)自由指標(biāo)，而 i 只是在數(shù)值上等于 i，并不與 i 求和。又如，方程333222111232221用指標(biāo)法表示，可寫(xiě)成iiiiiiiiiiii 不參與求和，只在數(shù)值上等于 i1.2 Kronecker 符號(hào)在卡氏直角坐標(biāo)系下，Kronecker 符號(hào)定義為：ji, 0ji, 1j i100010001333231232221131211其中 i，j 為自由指標(biāo)，取遍1，2，3；因此

5、， 可確定一單位矩陣：j i若j ijiee321,eee是相互垂直的單位矢量，則3332211iieeeeeeee，但3332211i i而，故i iiiee注意：3i ii i是一個(gè)數(shù)值，即j i的作用：1）換指標(biāo)；2）選擇求和。例1：kiAA kkkkiikAAA思路：把要被替換的指標(biāo) i 變成啞標(biāo)，啞標(biāo)能用任意字母，因此可用變換后的字母 k 表示例2：j ijkTTj ij ii ijkkiTTT例3：jnimBAnm 個(gè)數(shù)，項(xiàng)的和。jmimjninjnimnmBABABA813,4求特別地，j ijkkimimjjkki,1.3 置換符號(hào), 0, 1, 1kj iei, j, k,

6、為1，2，3的偶排列i, j, k, 為1，2，3的奇排列i, j, k, 不是1，2，3的排列例如：1312231123eee1132213321eee0232121111eee可見(jiàn)：i jkjkiki jj ikikjkj ieeeeeekj ie也稱(chēng)為三維空間的排列符號(hào)。321,eee若是右手卡氏直角坐標(biāo)系的單位基矢量kkj ijieeee則常見(jiàn)的恒等式nkmklknjmjl jnimil inmlkj ieel jmimjl ikmlkj ieel ikj lkj i2ee! 36kj ikj iee( i )( ii )( iii )( iv )證明：3332312322211312

7、11nmlkj inkmklknjmjl jnimil iAAAAAAAAAeeAAAAAAAAAj ij iA令即得（ i ），將（ i ）作相應(yīng)的指標(biāo)替換，展開(kāi)化簡(jiǎn)，將得其余三式。指標(biāo)任意排列，經(jīng)過(guò)行列調(diào)整總可用右邊表示，兩個(gè)置換符號(hào)分別反映行、列調(diào)換及指標(biāo)重復(fù)時(shí)的正、負(fù)及零二維置換符號(hào)33 j ieee其中, 02211 ee12112 ee從三維退化得到e)2, 1,(有下列恒等式ee,ee! 22 ee關(guān)鍵公式：nkmklknjmjl jnimil inmlkj iee10000mjl jmil i33m3l33 jmjl j3imil i3ml3 j ieeee二維關(guān)鍵公式：eee

8、e222eeee44222241.4 指標(biāo)記法的運(yùn)算mmiimmiicVbbUa1.4.1 代入設(shè)(1)(2)把（2） 代入（1）mmiicVb mn or elsennmmcVb nnmmiicVUa 3個(gè)方程，右邊為9項(xiàng)之和1.4 指標(biāo)記法的運(yùn)算mmmmbVqaUp1.4.2 乘積設(shè)則nnmmbVaUqp不符合求和約定mmmmbVaUqp1.4 指標(biāo)記法的運(yùn)算0ijj innT1.4.3 因式分解考慮第一步用in表示jnjj iinnj i,有換指標(biāo)的作用所以0jj ijj innT即0)(jj ij inT1.4 指標(biāo)記法的運(yùn)算j ij ikkj i2EET1.4.4 縮并使兩個(gè)指標(biāo)相等

9、并對(duì)它們求和的運(yùn)算稱(chēng)為縮并。如各向同性材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系i ikki ii ikki i232EEEETi ii i)23(ET縮并啞標(biāo)與求和無(wú)關(guān)，可用任意字母代替為平均應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系1.4 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.5 例題 熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換求和約定同樣適用于微分方程。不可壓縮牛頓流體的連續(xù)性方程：其普通記法0iixU0332211xUxUxU0zyxzUyUxU或1.4 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.5 例題 熟悉指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換不可壓縮牛頓流體的Navier-Stokes方程：寫(xiě)出其普通記法jjiiijijixx)(UxpbxUUtU1.4 指標(biāo)記法的運(yùn)算1.4.5 例題 熟悉

10、指標(biāo)記法和普通記法的轉(zhuǎn)換彈性力學(xué)平衡方程方程：寫(xiě)出其指標(biāo)記法0 xzxyxxxbzTyTxT0yzyyyxybzTyTxT0zzzyzxzbzTyTxT1.5 張量的定義1.5.1 坐標(biāo)系的變換關(guān)系（卡氏右手直角坐標(biāo)系）舊坐標(biāo)系：新舊基矢量夾角的方向余弦：321xxxO單位基矢量：,321eee新坐標(biāo)系：?jiǎn)挝换噶浚?21xxxO,321eeej ijijijiji),cos(),cos(| |eeeeeeee1.5.1 坐標(biāo)系的變換關(guān)系 舊新1e2e2e1e2e3e111221312213233233jijij i),cos(eeee圖解（二維）：,jj 122 111 11eeee2, 1

11、jcosj 1j 1在解析式中記：1.5.1 坐標(biāo)系的變換關(guān)系321331313322212312111321eeeeeeiiiiee從坐標(biāo)變換的角度研究標(biāo)量、矢量和張量（對(duì) i 求和，i為自由指標(biāo)）1.5.2 標(biāo)量（純量 Scalar）),(),(321321xxxxxx在坐標(biāo)變換時(shí)其值保持不變，即滿足如數(shù)學(xué)中的純數(shù)，物理中的質(zhì)量、密度、溫度等。時(shí)間是否標(biāo)量？1.5.3 矢量（Vector）,321321aaaaaa設(shè) a 為任意矢量，其在新、舊坐標(biāo)系下的分量分別為即iiii,aeaeaaiiiiieeeaaaiiiiaaiiiiiiiieeeeeaaaaiiiiaa（對(duì) i 求和）（對(duì) i

12、 求和）滿足以下變換關(guān)系的三個(gè)量 定義一個(gè)矢量ia1.5.3 矢量（Vector）iiiiaaiiiiaakkiiiiaa啞標(biāo)換成 k kkiiikkiaa比較上式兩邊，得kiiiki即該變換是正交的1.5.4 張量（Tensor）對(duì)于直角坐標(biāo)系j ijjiijiTTj iT321xxxO，有九個(gè)量按照關(guān)系變換成321xxxO中的九個(gè)量ji T則此九個(gè)量定義一個(gè)二階張量。將矢量定義加以推廣：（增加指標(biāo)和相應(yīng)的變換系數(shù)）iiiiaaj ijjiijiTT1.6 張量的分量 設(shè)ei為卡氏直角坐標(biāo)系xi軸的單位基矢量，a為任一矢量，其分量為ai，于是 iieaaaeeaiiia對(duì)于一個(gè)二階張量T，它

13、可以將a變換成另一個(gè)矢量b，即 jij ieTeT稱(chēng)為二階張量T的分量 令jij ieTeT可理解為矢量Tej在ei上的分量，即 ij ijeeTT因此，有下面三種等價(jià)的表達(dá)式： aTbjj ij ijiaTTab321333231232221131211321aaaTTTTTTTTTbbb333231232221131211TTTTTTTTT其中稱(chēng)為在基矢量組e1, e2, e3下二階張量 T 的矩陣。注意：矢量 a、b 及張量T本身與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，但其分量 ai, bi, Tij 通過(guò)基矢量組e1, e2, e3與坐標(biāo)系相關(guān)。 1.7.1 張量的加法和減法 設(shè)T、S均為二階張量，將它們的和、

14、差用下式表示： ST仍為二階張量。若a為一矢量，則 aSaTaST )(其分量為： j ij ijijijij i)()(ST eSeeTeeSTeST其矩陣形式為： STST1.7.2 張量和標(biāo)量的乘積 設(shè)T為二階張量， 為一標(biāo)量，它們的乘積記為 ，則 TTT仍為二階張量。因?yàn)楦鶕?jù)坐標(biāo)變換，有 j ij ji ij iTT j ij ji ij ij ji ij ij ji ij iTTTT 可見(jiàn)， 為二階張量。 T1.7.3 并矢積、并矢記法、基張量 矢量 a 和矢量 b 的并矢積 ab 定義為按下列規(guī)則變換任意矢量的變換： c)(bac(ab) 二階張量 一階 零階 關(guān)于是二階張量的證明

15、： 即證明 滿足張量的定義： 是一個(gè)線性變換。 abab設(shè)有任意矢量 ，及標(biāo)量 ，則由并矢積定義 dc,)()(dcbadc(ab)()(dcbadc(ab)()()()(dbacbadbcbad(ab)c(ab)可見(jiàn)： 滿足張量的定義。 ab 關(guān)于基矢量組 的分量： ab,321eee)()()()(jijijij ibaeebaeeabeabjiji)(bab ae有些文獻(xiàn)把 寫(xiě)成 abjij ij i)()(babaabab矩陣形式： 321321332313322212312111bbbaaabababababababababaab基矢量 的并矢積： 321,eee000000001001 00111ee00000001001000121ee 000001000001 01012ee000000100 10000131ee100000000 10010033ee于是，二階張量 可以表示成 ：T)()()(333321121111eeeeeeTTTT