概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)袁蔭棠PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)袁蔭棠概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)袁蔭棠教材：教材：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)袁蔭棠 編中國(guó)人民大學(xué)出版社參考書：參考書：1.1.概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)中山大學(xué) 數(shù)學(xué)力學(xué)系 編人民教育出版社2. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)李少輔 等編河南大學(xué)出版社第1頁/共152頁概率論是研究什么的？第2頁/共152頁不確定性現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）：在一定條件下，可能出現(xiàn)這種結(jié)果，也可能出現(xiàn)那種結(jié)果。事先不能預(yù)言會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象。第3頁/共152頁第4頁/共152頁對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測(cè)稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：1.可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； （必然性） 2.每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性,但在試驗(yàn)之前可 以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果

2、; （可示性）3.一次試驗(yàn)之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。 （偶然性） 隨機(jī)試驗(yàn)可表為E 第5頁/共152頁E1: 拋一枚硬幣，分別用“H” 和“T” 表示出正面和反面;E2: 將一枚硬幣連拋三次，考慮正反面出現(xiàn)的情況；E3:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E4:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；E5: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點(diǎn)擊次數(shù)；E6:在一批燈泡中任取一只，測(cè)其壽命;E7:任選一人，記錄他的身高和體重 。概率論中研究的隨機(jī)現(xiàn)象不是日常人們所談的偶然現(xiàn)象，它有特定的含義和特點(diǎn)。隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的例隨機(jī)事件第6頁/共152頁第7頁/共152頁第8頁/共152頁 1、樣本空間：實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)

3、果所組成的集合稱為樣本空間，記為 = ； 2、樣本點(diǎn): 試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為 . 3.由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集稱為一個(gè)基本事件,也記為 . EX EX 給出給出E1-E7的樣本空間的樣本空間第9頁/共152頁 1.定義定義 ： 試驗(yàn)中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機(jī)事件”, 簡(jiǎn)稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集任何事件均可表示為樣本空間的某個(gè)子集.稱事件事件A發(fā)生發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果是子集A中的元素 2.兩個(gè)特殊事件兩個(gè)特殊事件: 必然事件 、不可能事件.例如例如 對(duì)于試驗(yàn)E2 ，以下A 、 B、C即為三

4、個(gè)隨機(jī)事件:A“至少出一個(gè)正面” HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出現(xiàn)同一面”=HHH,TTTC=“恰好出現(xiàn)一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，試驗(yàn)E6中D“燈泡壽命超過1000小時(shí)”x:1000 xm),要求第要求第 i i 組恰組恰有有ni個(gè)球個(gè)球(i=1,m)，共有分法：，共有分法：1!.!mnnn第52頁/共152頁4 4 隨機(jī)取數(shù)問題隨機(jī)取數(shù)問題例例4 4 從從1 1到到200200這這200200個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè), ,(1)(1)求取到的數(shù)能被求取到的數(shù)能被6 6整除的概率整除的概率(2)(2)求取到的數(shù)能被求取到的

5、數(shù)能被8 8整除的概率整除的概率(3)(3)求取到的數(shù)既能被求取到的數(shù)既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率解解:N(S)=200,:N(S)=200,N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分別為的概率分別為:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25第53頁/共152頁319403200CP(A )=C12619413200C CP(A )=C21619423200C CP(A )=

6、C30619433200C CP(A )=CiA =i i=(0,1,2,3)“三個(gè)產(chǎn)品中恰有 個(gè)廢品”01 B=AA01 A A =且0101 P(B)=P(A +A )=P(A )+P(A )第54頁/共152頁iii=1i=1P(A )=P(A ) (1.4)第55頁/共152頁P(yáng)(A)P(B) 第56頁/共152頁第57頁/共152頁niijijki=11 ij n1 ij k nP(A )-P(A A )+P(A A A ) n-112n+(-1)P(A AA )第58頁/共152頁 注意到不論是對(duì)概率的直觀理解，還是頻率定義方式，作為事件的概率，都應(yīng)具有前述三條基本性質(zhì)，在數(shù)學(xué)上，

7、我們就可以從這些性質(zhì)出發(fā)，給出概率的公理化定義：第59頁/共152頁1.定義定義 若對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間中的每一事件A，均賦予一實(shí)數(shù)P(A)，集合函數(shù)P(A)滿足條件：(1) P(A) 0； （非負(fù)性）(2) P( )1； （規(guī)范性）(3) 可列可加性可列可加性：設(shè)A1，A2，, 是一列兩兩互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 則稱P(A)為事件A的概率概率。第60頁/共152頁2.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) (1) 有限有限可加性可加性：設(shè)A1，A2，An , 是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即AiAj ，(ij)

8、, i , j1, 2, , n ,則有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (3)事件差事件差 A、B是兩個(gè)事件，則P(A-B)=P(A)-P(AB) (2) 單調(diào)不減性單調(diào)不減性：若事件AB，則P(A)P(B) 第61頁/共152頁(4) 加法公式加法公式：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 該公式可推廣到任意n個(gè)事件A1，A2，An的情形；多出少補(bǔ)原理(5) 互補(bǔ)性互補(bǔ)性：P(A)1 P(A);(6) 可分性可分性：對(duì)任意兩事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) . 第62頁/共152頁()( )( )( )()()()()

9、30% 3 10%00080%P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 第63頁/共152頁例例1.3.21.3.2. .在在1 1 1010這這1010個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求個(gè)自然數(shù)中任取一數(shù)，求（1 1）取到的數(shù)能被）取到的數(shù)能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的數(shù)即不能被）取到的數(shù)即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的數(shù)能被）取到的數(shù)能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解:設(shè)A=“取到的數(shù)能被2整除”;B“取到的數(shù)能被3整除”故故1( )2P A 3( )10P B (1) ()

10、( )( )()P A BP APBP AB710(2) ()1()P ABP AB 3101()10P AB (3) ()( )()P ABP AP AB25第64頁/共152頁11243427C CC6=C7第65頁/共152頁第66頁/共152頁P(yáng)(B)=0.1第67頁/共152頁問問：第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？第一個(gè)人取得紅球的概率是多少？第第二二 個(gè)人取得紅球的概率是多少？個(gè)人取得紅球的概率是多少？11 0第68頁/共152頁若已知第一個(gè)人取到的是白球，則第二個(gè)人取到紅球的概率是多少？定義1.3 在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為事件A在給定B下的條件概率。簡(jiǎn)稱為A

11、對(duì)B的條件概率，記作P(A|B)。相應(yīng)的把P(A)稱為無條件概率若已知第一個(gè)人取到的是紅球，則第二個(gè)人取到紅球的概率又是多少？190第69頁/共152頁 P( B/A) =5% P(B/A)=20%例1、市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率為95%，乙廠產(chǎn)品的合格率為80%。第70頁/共152頁例2 設(shè)袋中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個(gè)，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率; （2）求第二次取到紅球的概率（3）求兩次均取到紅球的概率設(shè)A“第一次取到紅球”,B“第二次取到紅球”1(1) (|)4P B A 252

12、1 3 22(2) ( )5P BP 252 11(3) ()10P ABP第71頁/共152頁顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間中的兩個(gè)事件，其中A含有nA個(gè)樣本點(diǎn),AB含有nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率條件概率(p15) 一般地，設(shè)A、B是中的兩個(gè)事件，則 (1.9) (|)ABAnP B An()( )ABAnnnnP ABP A()()( )P ABp B AP A第72頁/共152頁“條件概率條件概率”是是“概率概率”嗎？嗎？何時(shí)何時(shí)P(A|B)=P(A)?P(A|B)=P(A)?何時(shí)何時(shí)P(A|B)P(A)?P(A|B)P(A)?何時(shí)何時(shí)P(A|

13、B)P(A)?P(A|B)0,則 P(AB)P(A)P(B|A). (1.10)若P(B)0,則 P(AB)P(B)P(A|B).式(1.10)就稱為事件A、B的概率乘法公式乘法公式。 式(1.10)還可推廣到三個(gè)事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). (1.11)第77頁/共152頁若用A、分別表示甲乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品為合格品，試寫出有關(guān)事件的概率。解：P(A)= 70% P()= 30% P(B/A)95% P(B/)=80%第78頁/共152頁m4P(A)=n104

14、312P(AB)=P(A)P(B A)=109906424P(AB)=P(A)P(B A)=109904323P(ABC)=P(A)P(B A)P(C AB)=109890第79頁/共152頁例例7 7 盒中有盒中有3 3個(gè)紅球，個(gè)紅球，2 2個(gè)白球，每次從盒中任取個(gè)白球，每次從盒中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4 4次次, ,試求第試求第1 1、2 2次取得白球且第次取得白球且第3 3、4 4次取得紅球的概率。次取得紅球的概率。解：設(shè)解：設(shè)A Ai i為第為第i i次

15、取球時(shí)取到白球，則次取球時(shí)取到白球，則34343121211212()() (|) (|) (|)P A A A AP A P AA P AA A P AA A A12()5P A 3123(|)7P AA A213(|)6P AA 43124(|)8P AA A A第80頁/共152頁第81頁/共152頁例例1.1.市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三，且三家工廠的次品率分別為家工廠的次品率分別為 2 2、1 1、3 3，試求市場(chǎng)上

16、該，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。品牌產(chǎn)品的次品率。123:BAAA設(shè)： ：買到一件次品買到一件甲廠的產(chǎn)品買到一件乙廠的產(chǎn)品買到一件丙廠的產(chǎn)品123( )()()()P BP BAP BAP BA112233(|) ()(|) ()(|) ()P B A P AP B A P AP B A P A11190.020.010.030.0225442400 第82頁/共152頁若用A、分別表示甲乙兩廠的產(chǎn)品，B表示產(chǎn)品為合格品，試寫出有關(guān)事件的概率。解：P(A)= 70% P()= 30% P(AB)=0.665 P(B/A)95% P(B/)=80% P(B)=0.24第83頁/共152頁定義定

17、義 :事件組事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間的一個(gè)劃分，若滿足：A1A2AnB1( );( ), (), ,1,2,., .niiijiAii A Aiji jn 第84頁/共152頁定理定理1.1(p17) 設(shè)設(shè)A1，, An是是 的一個(gè)的一個(gè)劃分，劃分，構(gòu)成一個(gè)完備事件組構(gòu)成一個(gè)完備事件組,且且P(Ai)0，(i1，n)，則對(duì)任何事件則對(duì)任何事件B 有有 式式(1.12)就稱為就稱為全概率公式全概率公式。1( )() (|)(1.12)niiiP BP A P B A第85頁/共152頁例例3 :有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有兩個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙

18、袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球個(gè)紅球，乙袋中有兩個(gè)紅球，一個(gè)白球這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中這六個(gè)球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳稳∫磺蚍湃胍掖?，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍瑔柎饲蚴羌t球的概率？取一球，問此球是紅球的概率？解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球；A2從甲袋放入乙袋的是紅球；B從乙袋中任取一球是紅球；甲乙112212317()(|)()(|)()234312P BP BAP AP BAP A第86頁/共152頁定理定理2 2 (p18) 設(shè)A1，, An是 的一個(gè)劃分，且P(Ai) 0，(i1，n)，則對(duì)任何事件B，有 式(1.13)就稱為貝葉斯公式貝葉斯公

19、式。思考：上例中，若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答答: :1111()(|) ()4(|)7( )712P ABP B A P AP A BP B1()(|)(|),(1,., )(1.13)()(|)jjjniiiP AP BAP ABjnP A P BA第87頁/共152頁例例4. 4. 市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一市場(chǎng)上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場(chǎng)占有率分別為1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工廠的次品率分別為，且三家工廠的次品率分別為 2 2、1 1、3 3，試求市場(chǎng)

20、上該品牌產(chǎn)品的次品率。，試求市場(chǎng)上該品牌產(chǎn)品的次品率。試判斷該次品是甲廠生產(chǎn)的概率試判斷該次品是甲廠生產(chǎn)的概率123( )()()()P BP BAP BAP BA11190.020.010.030.02254424001110.02P(A B)24P( AB )=9P(B)9400123 : :BAAA設(shè)： ：買到一件次品買到一件甲廠的產(chǎn)品買到一件乙廠的產(chǎn)品買到一件丙廠的產(chǎn)品第88頁/共152頁第89頁/共152頁已知已知: P(B: P(B0 0)=0.8, P(B)=0.8, P(B1 1)=0.1, P(B)=0.1, P(B2 2)=0.1)=0.1由Bayes公式:0(|)1P A

21、 B41914204(|)5CP A BC418242012(|)19CP A BC11120() (|)(|)() (|)iiiP B P A BP BAP B P A B40.150.08484120.810.10.1519第90頁/共152頁012A =A =A =3A =i3 i93i312C CP(B )= i=0,1,2,3C39-i3i312CP(CB )= i=0,1,2,3C第91頁/共152頁333i3i3ii=0i=0i3-i33939 i33i=01212P(C )=P(B C )=P(B )P(CB )C CC=0.146CC第92頁/共152頁條件概率 縮減樣本空間

22、 定義式 乘法公式 全概率公式 貝葉斯公式第93頁/共152頁第94頁/共152頁1.5 獨(dú)立試驗(yàn)概型獨(dú)立試驗(yàn)概型(一一)事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性第95頁/共152頁iP(A )0 (i=1,2,n)若jikjP(A /A A )=P(A ) (i=1,2,ni=1,2,nk=1,2,nijk ) ；jikjP(A /A A)=P(A )jijP(A /A )=P(A ) (i=1,2,nj=1,2,nij)；第96頁/共152頁等價(jià)于：根據(jù)定義1.4 設(shè)A、B是兩事件，P(B) 0,若P(A/B)=P(A)則稱事件A與B相互獨(dú)立。P(AB)=P(A)P(B)P(A/B)=P(A)P(A/B)

23、=P(A/B)第97頁/共152頁根據(jù)根據(jù)定義定義1.4和和1.5 若三個(gè)事件A、B、C滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), (2) P(AC)=P(A)P(C), (3) P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩兩兩相互相互獨(dú)立獨(dú)立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：(4) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱事件A、B、C相互獨(dú)立相互獨(dú)立。第98頁/共152頁關(guān)于獨(dú)立性的幾個(gè)結(jié)論如下：關(guān)于獨(dú)立性的幾個(gè)結(jié)論如下：2.以下四個(gè)命題等價(jià)：(1) AB事件 與 相互獨(dú)立(3) AB事件 與 相互獨(dú)立(2) AB事件 與 相互獨(dú)立(4) AB事件 與 相互獨(dú)立nniii=1i=1P(A

24、 )=1P(A ) (1.15)n12nii=1P(A AA )=P(A ) (1.14)第99頁/共152頁1.互斥的概念是事件本身的屬性； 獨(dú)立的概念是事件的概率屬性。2.兩事件互斥,即A與B不能同時(shí)發(fā)生； AB 獨(dú)立是指A與B的概率互不影響.P(A/B)=P(A)3.若0P(A)1, 0P(B)1, 互斥一定不獨(dú)立；獨(dú)立一定不互斥。第100頁/共152頁概率為1的事件與其他事件什么關(guān)系？概率為0的事件與其他事件什么關(guān)系？第101頁/共152頁解：設(shè)A、B分別表示甲、乙擊中目標(biāo)=P(A)P(B)=0.8 0.7P(AB)=P(A)P(B)=0.8 (1 0.7)P(AB)=P(A)P(B)

25、=(1 0.8) 0.7P(AB)=1 P(A)P(B)=1 0.2 0.3P(A+B)=1-P(A+B)=1 P(AB)0.94第102頁/共152頁P(yáng)(ABC)=P(ABC)=1 P(ABC)=1 0.9 0.8 0.85=0.388第103頁/共152頁P(yáng)(ABACBC)=P(AB)P(AC)P(BC)-2P(ABC)=0.1 0.2 0.2 0.15 0.1 0.15 2 0.1 0.2 0.15=0.059 第104頁/共152頁123C0.2 0.8 =0.3842213C0.20.8 =0.096第105頁/共152頁kkn-knCp(1 P) 第106頁/共152頁142513

26、5234A=AAA AAA AA A A根據(jù)加法法則：第107頁/共152頁1425135234P(A)=P(AA ) P(A A ) P(AA A ) P(A A A )12345 -P(A A A A A )12345123451234512345+P(A A A A A )P(A A A A A ) + P(A A A A A )+P(A A A A A )1245134512341235234512345-P(AAAA )-P(AAAA )-P(AAAA )-P(AAAA )-P(AAAA )-P(AAAAA )2345=p22p5p2p第108頁/共152頁解法二：設(shè)解法二：設(shè)A-L

27、至至R為通路為通路,Ai-第第i個(gè)繼電器通個(gè)繼電器通,i=1,2,5由全概率公式由全概率公式31425(|)()P A AP A AA A242pp31245( |)()()P A AP AA AA31245( |)() ()PA APA A PAA22(2)pp3333( )( |) ( )( |) ( )P AP A A P AP A A P A23452252pppp第109頁/共152頁一般地，設(shè)A1，A2，An是n個(gè)事件個(gè)事件，如果對(duì)任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 則稱n個(gè)事件個(gè)事件A1，A2，An相互獨(dú)立相互獨(dú)立。思考：思考：1.設(shè)事件A、B、C、D相互獨(dú)立，則2.一顆骰子擲4次至少得一個(gè)六點(diǎn)與兩顆骰子擲24次至少得一個(gè)雙六，這兩件事，哪一個(gè)有更多的機(jī)會(huì)遇到？答:0.518, 0.496ABCD 與獨(dú)立嗎？第110頁/共152頁1、加法公式的簡(jiǎn)化加法公式的簡(jiǎn)化：若事件A1，A2，An相互獨(dú)立, 則 (